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双曲线常见题型归纳


Z 重 点 解析 数 学 H O N G D I A N J I E X I ⊙ 湖 北大 学附 属中 学 ⊙ 武 汉市 东湖 中学 章雄 钢 卢 昕 题型一 例1 运用双曲线的定义 某中心接到其 正东、 正西、 正北方向三个观 将 y = - x 代入上式, 得 x= ± 6 80 5 . ∵ |P B| > |PA | , ∴x = - 6 80 5 ,

y = 68 0 5, 即 P (- 6 80 5 , 68 0 5 ) , 故 PO = 6 8 0 10 . 答: 巨 响 发生 在 接 报中 心 的 西 偏北 4 5° 距中 心 68 0 10 m 处 . 点拨 时间 差即为距离差, 到两定点 的距离之差 为定值的点的轨迹是双曲线. 题型二 例2 求双曲线的标准方程 x2 - y = 1 有公 16 4 2 测点 的报告 : 正 西、 正北 两个观测 点同时 听到了 一声 巨 响, 正 东观 测点 听到 的 时间 比其 它两 个观 测点 晚 4s. 已知 各观测点 到该中 心的距离 都是 1 02 0m. 试确 定 该巨 响发 生的位 置(假 . 定当 时声音 传播 的速 度为 34 0m/s , 相关各点均在同一平面上 .) 解析 如图, 以接报中心为原点 O , 正东、 正北方 x 向为 轴、y 轴 正向, 建立 直角坐标 系 .设 A , B, C 分 别是 西、 东、 北观测 点, 则 A ( - 1 02 0, 0 ) ,B(1 02 0, 0) , C(0 , 1 02 0). y P A O C B x 已知 双曲线 C 与双曲 线 共焦点, 且过点 (3 2, 2 ) .求双曲线 C 的方程. 解析 设双曲线方程为 x2 - y2 = 1 , 则 c= 2 5 . a2 b (3 2 )2 a 2 2 - 22 = 1 . b 2 又双曲线过点 (3 2 , 2) , ∴ 设 P (x , y) 为巨响 发生点, 由 A , C 同时 听到巨响 声, 得 |P A | = |P C| , 故 P 在 A C 的垂直平分线 P O 上 , P O 的方 程为 y = - x , 因 为 B 点比 A 点晚 4s 听 到爆 炸声, 故 |P B| - |P A | = 34 0 × 4 = 1 36 0. 由双曲线定义知 P 点在以 A , B 为焦点的双曲线 x - y2 = 1 上, 依题意得 a = 6 80 , c = 10 20 , a2 b ∴ b = c - a = 10 20 - 6 80 = 5 × 3 40 . 故双曲线方程为 x2 6802 y = 1. 5× 3402 2 2 2 2 2 2 2 2 2 又 a 2 + b2 = (2 5 )2 , ∴ a 2 = 12 , b2 = 8 . 故所求双曲线的方程为 点拨 x2 - y =1. 12 8 求双曲线 的方程, 关 键是求 a , b . 在解题 2 过程中应 熟悉各元素 ( a, b, c, e 及准线) 之间的关系 , 并注意方程思想的应用 . 题型三 例3 求离心率或离心率的范围 - y2 = 1(a > 0 , b > 0 ) 的左 、 a b 2 已知 双曲线 x2 2 32 近代物理学之父、 近代科学之父、 实验物理学之父——伽利略 伽利雷 Z 右焦 点 分 别为 F 1, F 2 , 点 P 在 双 曲线 的 右 支上 , 且 |PF 1 | = 4|P F 2 | , 则此双曲线的离

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