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(第五模块)同角三角函数的基本关系式及诱导公式


第十七讲 同角三角函数的基本关系式及诱导公式

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走进高考第一关 基础关 教材回归

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1.

同角三角函数基本关系式 平方关系: _________________________________; 1. sin2α+cos2α=1
sin? tan? ? 商数关系:_________________________________ . cos?

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2. α相关角的表示 原点 (1)终边与角α的终边关于________对称的角可以表示 为π+α; x轴 (2)终边与角α的终边关于________对称的角可以表示 为-α(或2π-α);

y轴 (3)终边与角α的终边关于________对称的角可以表示 为π-α;
直线y=x (4)终边与角α的终边关于________对称的角可以表示

? -α. 2



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3. 诱导公式 (1)公式一 sinα cosα sin(α+k·2π)=________,cos(α+k·2π)=________,tan(α+k·2 tanα π)=________,其中k∈Z.

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(2)公式二
- sinα -cosα sin(π+α)=________,cos(π+α)=__________,tan( tanα π+α)=________.

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(3)公式三 - sinα cosα sin(-α)=__________,cos(-α)=__________,tan(-α)= -tanα ________.

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(4)公式四 -cosα sinα sin(π-α)=________,cos(π-α)=__________,tan(π-α)= -tanα ________.

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(5)公式五

sin( ? ? ) ? 2

?

cosα ________, cos(

?
2

sinα ? ? ) ? ________ .

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(6)公式六

- sinα cosα sin( ? ? ) ? ________, cos( ? ? ) ? ________ . 2 2

?

?

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即? ? k ?2? (k ? Z), ?? , ? ? ?的三角函数值, 等于?的
锐角 ________ 函数值, 前面加上一个把? 看成 ________ 时 同名

原函数值的符号;

?

2 于?的余弦(正弦) 函数值, 前面加上一个把? 看成锐角时 ________ 原函数值的符号.

? ?的正弦(余弦)函数值, 分别等

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总口诀为 : 奇变偶不变, 符号看象限, 其中“奇?偶” 是指“k ? ? ? (k ? Z)”中k的奇偶性“符号”是把任 ; 2 意角? 看作锐角时原函数值的符号.

?

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考点陪练

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4 1.若sin? ? , 且? 是第二象限角, 则tan?的值等于 ? 5 4 3 A. ? B. 3 4 3 4 C. ? D. ? 4 3
解析 : ? 为第二象限角, ? 3 ?4? 2 ? cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? , 5 ?5? ? tan? ?
答案:A
2

?

sin? 4 ? 5 ? 4 ? ?? ? ? ? ? . cos? 5 ? 3 ? 3

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2. sin330?等于 ? 3 A. ? 2 1 C. 2

?

1 B. ? 2 3 D. 2

1 解析 : sin330? ? sin(360? ? 30?) ? ?sin30? ? ? . 2
答案:B

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?? 1 ? ?? ? 3. 已知sin ? ? ? ? ? , 则cos ? ? ? ?的值为 ? 3? 3 ? ?6 ? 1 1 A. B. ? 3 3
C. 2 3 3 D. ? 2 3 3

?

?? ? 解析 : ? ? ? ? ? ?? ? ? , 6 2 ? 3?
?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ?sin ? ? ? ? 3 ?? 3? ?6 ? ? ?2 ? 1 ?? . 3
答案:B
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?

?

4. 点P(tan2008°,cos2800°)位于( A. 第二象限 B. 第一象限 C. 第四象限 D. 第三象限

)

解析:∵2008°=6×360°-152°,∴tan2008°=tan152°=tan28°>0, cos2008=cos152°<0,∴点P在第四象限.

答案:C

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5.若cos? ? 2 sin? ? ? 5 , 则tan? 等于 ? 1 A. 2 1 C. ? 2
答案:B

?

B. 2 D. ? 2

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?cos? ? 2 sin? ? ? 5 ? 解析 : ? 2 ? sin 2? ? (? 5 ? 2 sin? ) 2 ? 1, 2 ?sin ? ? cos ? ? 1 ? ? 2 5 sin? ? ? , ? ? 5 ?? .? tan? ? 2. ?cos? ? ? 5 ? 5 ?

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解读高考第二关 热点关 类型一:三角函数式的求值问题

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解题准备: 1. 解决给角求值问题的一般步骤为:

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2. 解决条件求值问题时,要注意发现所给值式和被求值式的 特点,寻找它们之间的内在联系,特别是角之间的联系,然后恰 当的选择诱导公式求解.

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典例1

2 ? 已知sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ( ? ? ? ? ). 3 2 求下列各式的值 :

?1? sin? ? cos? ; ? 2 ? sin
3

( ? ? ) ? cos ( ? ? ). 2 2
3

?

?

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分析:利用诱导公式先化简条件.
2 , ?解 ?由sin (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ? ? 3 2 得sin? ? cos? ? ① 3 2 将①两边平方, 得1 ? 2sin? ? ? ? , cos 9 7 故2sin? ? ? ? ? . cos 9 又

?
2

? ? ? ? ,? sin? ? 0, cos? ? 0.

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?1? (sin? ? cos? )
?

2

? 1 ? 2sin? ? ? cos

4 ? 7 ? 16 ? 1 ? ? ? ? ? ,? sin? ? cos? ? . 3 ? 9? 9 2 ? sin ( ? ? ) ? cos ( ? ? ) ? cos 3? ? sin 3? ? 2 2 ? (cos? ? sin? )(cos 2? ? cos? ? ? ? sin ? ) sin ?
3 3

?

4 ? 7? 22 ? ? ? ?1 ? ? ? ? . 3 ? 18 ? 27

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此类问题是给值求值.解决这类问题的方法是根据所给值式 和被求式的特点,发现它们之间的内在联系,特别是角之间的 关系,恰当地选择诱导公式.

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类型二:三角函数式的化简问题

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解题准备: 三角函数的诱导公式为我们进行三角函数的求值提供了有利 的方法及依据,在做题过程中,应熟练掌握“奇变偶不变,符号 看象限”的原则.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数的基本步骤是:

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sin(k? ? ? )cos ?? k ? 1? ? ? a ? ? ? (k ? Z). 典例2化简 : sin ?? k ? 1? ? ? a ? cos(k? ? ? ) ? ?

?分析? 化简时注意观察题设中的角出现了k? , 需 ? ? 讨论k是奇数还是偶数.

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评析:对角中含有kπ±α的三角函数化简时,要对k分为偶数 和奇数进行讨论,k为偶数时,参照2π±α进行化简,k为奇数时, 去掉偶数倍的π后,参照π±α进行化简.

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类型三:三角函数式的证明问题

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解题准备:
(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简.

(2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)凑合方法:即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以 消除其差异的方法,简言之,即化异为同的方法.

左边 (4)比较法 : 即设法证明“左边 ? 右边 ? 0”或“ ? 1” . 右边

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(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的充 分条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等 式成立.

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典例3已知sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tanβ=0.
?分析? 可由sin(? ? ? ) ? 1出发, 得到 ? ? 2 的左边, 然后利用诱导公式进行化简, 直至推得右边.
?解? ? sin(? ? ? ) ? 1,?? ? ? ? 2k? ? (k ? Z), ? ? 2 ?? ? 2k? ?

? ? 2k? ?

?

? ? (k ? Z), 将其代入被证式

?

?

2

? ? (k ? Z).

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? ? ? ? ? tan(2? ? ? ) ? tan? ? tan ? 2 ? 2k? ? ? ? ? ? ? ? ? tan? 2 ? ? ? ? ? tan(4k? ? ? ? 2? ? ? ) ? tan? ? tan(4k? ? ? ? ? ) ? tan? ? tan(? ? ? ) ? tan? ? ?tan? ? tan? ? 0. ? tan(2? ? ? ) ? tan? ? 0得证.

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评析:本题是条件等式的证明问题,证明条件等式,一般有两 种方法:一是从被证等式一边推向另一边的适当的时候,将条 件代入,推出被证式的另一边,这种方式称作代入法,二是直接 将条件等式变形,变形为被证的等式,这种方法称作推出法,证 明条件等式不论使用哪种方法都要盯住目标,据果变形.

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笑对高考第三关 成熟关 名师纠错

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误区一:忽视隐含的平方 关系,扩大解的范围而致错

m?3 4 ? 2m 典例1已知sin? ? , cos? ? , 其中 m?5 m?5 ?? ? ? ? ? , ? ? , 则下列结论正确的是 ? ? ?2 ? A. m ? ?3,9? B. m ? ( ??, 5) ? ?3, ? ? ? C.m ? 0, 或m ? 8 D.m ? 8

m?3 4 ? 2m ≥0, ≤0, ?错解?由已知有 ? ? m?5 m?5 解得m ? ?5, 或m≥3, 选B.
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剖析:条件给出了含有参数的正余弦的函数值,而参数值要 受到正余弦的平方关系“sin2θ+cos2θ=1”的限制,而上述解 法就忽视了这个制约关系,以致扩大了解的范围而错.

m?3 4 ? 2m ≥0, ≤0, ?正解?由已知有 ? ? m?5 m?5 ? m ? 3 ? ? 4 ? 2m ? 且? ? ?? ? ? 1, 故m ? 8, 选D. ? m?5? ? m?5 ?
2 2

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?评析? 如果在题设条件中出现了正余弦, 则要注意利 ? ? 用它们之间的平方关系.

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误区二:忽略角的范围,造成多解而致错

1 ? 典例2已知sin? ? cos? ? ,? ? ( , ? ), 求tan? . 5 2
1 cos ?解析? sin? ? cos? ? , 平方后整理得2sin? ? ? ? ? ? 5 24 2tan? 24 ? , 所以 ?? , 2 25 1 ? tan ? 25 所以12tan 2? ? 25tan? ? 12 ? 0, 4 3 解得tan? ? ? 或tan? ? ? . 3 4

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上面解答忽略了角的范围,扩大了三角函数值的取值范围,造
1 ? 成多解.这是因为由sin? ? cos? ? , ? ? ( , ? ) 5 2 知sin? ? 0, 且cos? ? 0, 而由平方后等式 24 2sin? ? ? ? ? , 而此式中 cos 25 ?sin? ? 0, ?sin? ? 0, 或? ? ?cos? ? 0, ?cos? ? 0.

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1 因? ? ( , ? ), sin? ? cos? ? ? 0, 2 5 4 故sin? ?| cos? |? 0, 所以只有tan? ? ? . 3
1 本题也可以这样求解 :由sin? ? cos? ? , 5 12 可得sin? ? ? ? ? , cos 25 1 4 ? ? sin? ? cos? ? sin? ? ? ? ? ? 5 5 由? ?? ?sin? ? ? ? ? 12 ?cos? ? ? 3 cos ? ? 25 5 ? ?

?

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3 ? ?sin? ? ? 5 , ? 或? ?cos? ? 4 , ? 5 ? 又由? ? ( , ? ), 知sin? ? 0, cos? ? 0, 2 4 3 4 所以sin? ? , cos? ? ? , 则tan? ? ? . 5 5 3

?

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解答关于含有“sinθ±cosθ,sinθcosθ”的问题时,一般都要 利用平方关系sin2θ+cos2θ=1,但必须注意对所求得的结果进 行检验,否则会造成多解.

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解题策略

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根据近几年三角部分的命题特点,复习时宜采用以下策略: (1)学习本讲内容,可以从两个方面入手,一方面是诱导公式的 灵活应用与特殊角的三角函数值的记忆;另一方面是同角三 角函数基本关系式的应用,对于诱导公式的考查,主要是根据 诱导公式将所求三角函数式转化为特殊角的三角函数,从而 求出函数值,对于同角三角函数基本关系式的考查,应做到灵

活运用公式进行化简?求值和证明,且做到对公式的正用?逆
用?变形应用等.

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(2)同角三角函数的基本关系式,正弦?余弦?正切的诱导公式, 常考常新,一般在选择题?填空题中考查,因此在复习时重点复 习基础知识?基本思想?基本方法.

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(3)解决本讲问题,要注意以下两种数学思想的运用. ①化归转化思想:化归思想主要体现在将任意角的三角函数 求值问题转化为锐角三角函数问题解决,同时异名化同名,异 角化同角也是转化思想的一个重要应用. ②分类讨论思想:分类讨论思想主要体现在应用诱导公式时 对k的讨论及求三角函数值时对角的象限的讨论应做到讨论

合理?自然,分类划分明确?清晰.

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快速解题

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典例 已知θ∈(0,π),且sinθ,cosθ是方程25x2-5x-12=0的两个根,求 sin3θ+cos3θ和tanθ-cotθ的值.

1 ?解题切入点?由根与系数的关系入手, sin? ? cos? ? , ? ? 5 12 sin? cos? ? ? , 将sin 3? ? cos 3? 与tan? ? cot? 用 25 sin? ? cos? , sin? cos? 表示.

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分析思维过程 ? 欲求sin 3? ? cos 3?的值需先分解因式, ? ? ? 1 出现sin? ? cos? 和sin? cos?的形式后, 即可代入 和 5 12 ? 求出值来.而tan? ? cot? 化为正弦, 余弦之比后, 25 同样可求出值来.

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4 3 ?快解 ? 方程25x ? 5x ? 12 ? 0的两根分别为 和 ? , ? ? 5 5 4 3 ?? ? (0, ? ),? sin? ? 0, cos? ? 0, 则sin? ? , cos? ? ? , 5 5
2

64 27 37 ? 4? ? 3? ? sin ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 125 125 125 ?5? ? 5? 4 ?3 sin? cos? 5 ? 5 ??4?3 tan? ? cot? ? ? ? 3 4 cos? sin? 3 4 5 5 7 ?? . 12
3 3

3

3

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方法与技巧:由题目的形式得知,很明确地会利用根与系数 的关系,将所求式表示成sinθ+cosθ?sinθcosθ的形式,求 tanθ-cotθ时,必须化为“弦”,否则用不上已求得的值. 由于sinθ,cosθ是方程的根,一般地,很自然的想到根与系数的 关系.其实此题直接求出两根更简单.

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?得分主要步骤? 只要求出两根的和与积, 分解因式后代入即可. ? ? 在求sin? ? cos?的步骤中, sin? ? cos? ? 0一定要说明. 4 3 同样, 快解法中, 得出sin? ? , cos? ? ? 也是由 5 5 ? ? (0, ? )确定的.
?易丢分原因? 求sin? ? cos?的过程中, 若不考虑? ? (0, ? ), ? ? 将sin? ? cos? 变为 (sin? ? cos? ) 2 是不行的. 4 求方程的根时, 若不考虑? ? (0, ? ), 会求得sin? ? , 5 3 cos? ? ? , 其结果也是两个值. 5

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教师备选

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1.

诱导公式的记忆 记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,意思是说角 “
k? 2

±α,k∈Z”的三角函数值:当k为奇数时,正弦变

余弦,余弦变正弦;当 k为偶数时,函数名不变,然后α的三角函数值前面加上 当视α为锐角时,原函数值的符号.

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2.三角函数的三类基本题型 (1)求值题型:已知一个角的某个三角函数值,求该角的 其他三角函数值. ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限,此 类情况只有一组解; ②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有

给出,解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角
所在象限,然后分不同的情况求解;

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③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的,这时一般有 两组解.

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(2)化简题型:化简三角函数式的一般要求是:能求出值的要求 出值来;函数种类尽可能少;化简后的式子项数最少,次数最低, 尽可能不含根号等. (3)证明题型:证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子 两端的差异,就是有目标地化简.

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3.利用两类公式求值化简,证明时应注意的几个问题 (1)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数 间的必然联系,诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间 的内在规律.它们对三角函数式的求值?化简?证明等具有重 要作用,需要熟练掌握,灵活应用.

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(2)同角三角函数的关系式的基本用途:根据一个角的某一个 三角函数值,求出该角的其他三角函数值(当然用三角函数的 定义求解会更方便);化简同角的三角函数式;证明同角的三角 恒等式. (3)诱导公式可将任意角的三角函数化成某个锐角的三角函数, 因此,常用于求值和化简.

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(4)在已知一个角的一个三角函数值,求这个角的其他三角函 数值时,要注意题设中的角的范围,需要时并就不同象限分别 求出相应的值. (5)在利用同角三角函数的基本关系化简?求值时,要注意用 “是否是同角”来区分和选用公式. (6)在应用诱导公式进行三角函数式的化简?求值时,应注意公

式中符号的选取.

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4. 利用两类公式求值?化简?证明的常用方法 (1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余5种三角函数 值时,要注意公式的合理选择,一般思路是按“倒?平?倒?商? 倒”的顺序很易求角,特别要注意开方时的符号选取.

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(2)在进行三角函数化简和三角恒等式的证明时,要细心观察 题目的特征,灵活?恰当地选用公式,一般思路是将切割化弦, 但在某些特殊问题中就不要化切割为弦,只须利用倒数关系

tan? ? cot? 即可, 否则解法较繁, 如“求证 ? cot? cot?” , tan? ? cot? 利用倒数关系可得简证.

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(3)证明三角恒等式的常用方法为:①从一边开始证得它等于 另一边,一般由繁到简;②证明左?右两边都等于同一个式子 (或值). (4)学会利用方程思想解三角题,对于 sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个 式子的值,其余二式的值可以求出.

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课时作业十七 同角三角函数的基本关系式及诱导公式

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一?选择题

sin? ? 3cos? 1. (基础题, 易)若tan? ? 2, 则 的值是 ? sin? ? cos? 1 5 A. ? B. ? 3 3 1 5 C. D. 3 3
答案:A

?

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sin? ? 3cos? tan? ? 3 1 解析 :由tan? ? 2, 则 ? ? ? , 选A. sin? ? cos? tan? ? 1 3

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2. (基础题, 易)若角?的终边落在直线x ? y ? 0上, 1 ? cos 2? 则 ? 的值为? cos? 1 ? sin 2?
A. -2 B. 2 C. -2或2

sin?

?

D. 0

答案:C

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解析 : 因角?的终边在x ? y ? 0, 所以当? 在第一象限时, 2 2 sin? ? cos? ? , 当? 在第三象限时, sin? ? cos? ? ? , 2 2 sin? ?2 ? 在第一象限 sin? 所以原式 ? ? ?? cos? cos? ??2 ? 在第三象限, ? 原式 ? 2或 ? 2, 故选C.

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3. (基础题, 易)已知cos(? ? ? ) ? ? 角, 则sin(?2? ? ? ) ? ? 12 A. ? 13 12 C. ? 13 12 B. 13 5 D. 12

?

5 , 且? 是第四象限的 13

答案:A

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5 5 解析 :由cos(? ? ? ) ? ? 得, cos? ? , 而? 为第四象限 13 13 12 2 角,? sin(?2? ? ? ) ? sin? ? ? 1 ? cos ? ? ? , 13 所以选A.

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4. (基础题,易)设f(x)=a sin(πx+α)+bcos(πx+β), 其中a,b,α?β都是非零实数,若f(2008)=-1,那么f(2009)等于 ( )

A. -1 B. 0 C. 1

D. 2
答案:C

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解析:∵f(2008)=a sin(2008π+α)+b·cos(2008π+β)=a sinα+bcosβ=-1, ∴f(2009)=a sin(2009π+α)+bcos(2009π+β)= -(a sinα+bcosβ)=1.

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5. (能力题,中)已知sinα+cosα=1,则sinnα+cosnα等于 ( ) A. 1 B. 0 C.
1 2 n ?1

D. 不能确定

答案:A

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?sin? ? cos? ? 1, ?sin? ? 1, 解析 :由 ? 2 解得 ? 2 ?cos? ? 0. ?sin ? ? cos ? ? 1, ?sin? ? 0, 或? ?cos? ? 1. ? sinn? ? cosn? ? 1.

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6. (能力题,中)若? ? ? 0,2? ?,且 1 ? cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? sin? ? cos? , 则?的取值范围是 ? A.? 0,? 2 ? ? 3? ? C. ?? , ? ? 2 ?
答案:B

?

?? ? B. ? , ? ? ?2 ? ? 3? ? D. ? , 2? ? ? 2 ?

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解析 : 1 ? cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? ?| sin? | ? | cos? |? sin? ? cos? ,? sin? ≥0, cos? ≥0, ? ? 是第二象限角(包括x轴负半轴和y轴正半轴). ?? ? ? 0≤? ? 2? ,? ? ? ? , ? ? . ?2 ?

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二?填空题 7. (基础题,易)已知tanα=2,则

2 sin? ? 3cos? ?1 1? ? ________; ? 4 sin? ? 9cos? 5 2 2 2 sin ? ? 3cos ? ? ________; ? 2? 7 2 2 4 sin ? ? 9cos ? 3 ? 4 sin 2? ? 3 sin? cos? ? 5cos 2? ? ________ . 1 ?

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第84页 共 99 页

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评析: 这是一组在已知tanα=m的条件下,求关于 sinα?cosα的齐次 式(即次数相同)的问题,解答这类“已知某个三角函数,求其余 三角函数值”的问题的常规思路是:利用同角间的三角函数 关系,求出其余三角函数值,这就需要根据m的取值符号,确定 α角所在的象限,再对它进行讨论.这样计算相当繁琐,而在这

里灵活地运用“1”的代换,将所求值的式子的分子?分母同除
以cosnα,用tannα表示出来,从而简化了解题过程,我们应熟练 掌握这种解法.更主要的是由此进一步领悟“具体问题?具体 分析”的辩证思想方法.

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8. (基础题, 易)化简 cos(?? ) cos(90? ? ? ) ? 2 cos(360? ? ? )?tan (180? ? ? ) cos 2 (270? ? ? )? ? ?? ? sin ? ________ .
解析:直接利用三角函数的诱导公式进行化简可得原式=-1.

答案:-1

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?? 1 ? 9. (2010? 广州模拟)(基础题, 易)已知sin ? ? ? ? ? , 4? 3 ?
?? ? 则cos ? ? ? ? ? ________ . ?4 ?
?? ? ? ?? ? ?? ?? ? 解析 : cos ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ?4 ? ?? ?4 ? ?2 ? 4 ?? 1 ? ?sin ? ? ? ? ? ? . 4? 3 ?

答案: ?

1 3

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三?解答题

10. (经典题,中)是否存在角? ?? , ? ? ( ?

? ?
2 2 ,

),

? ? (0, ? ), 使等式sin(3? ? ? ) ? 2cos(
求出? ??的值; 若不存在, 请说明理由.

?

2 3cos( ?? ) ? ? 2cos(? ? ? )同时成立.若存在,

? ? ),

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11. (能力题,中)
1 ? sin? 1 ? sin? sec? ? 1 sec? ? 1 化简 : ( ? )?( ? ). 1 ? sin? 1 ? sin? sec? ? 1 sec? ? 1

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分析: “脱”去根号是我们的目标,这就希望根号下能成为完全平方 式,注意到同角三角函数的平方关系式,利用公式的性质可以 达到目标.

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评析: 在三角函数式的变形中,为脱去根号常借助同角三角函数的 平方关系式.本例解答中易犯的错误是缺少对cosα? sinα正 负的讨论,直接“脱”去分母中绝对值符号,或是不注意正?余 弦函数的有界性,盲目对1± sinα或1±cosα的正负进行讨论.

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1 sin? 本题中还用到了“sec? ? , tan? ? ” , cos? cos? 它们可由三角函数的定义得到, 除此之外, 还有 1 : 1 ? tan ? ? sec ? , 1 ? cot ? ? csc ? , csc? ? . sin? 若熟记这些公式, 就能简化解题过程.
2 2 2 2

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12. (能力题,中)在? ABC中, 若sin (2? ? A ) ? ? 2sin(? ? B), 3cosA ? ? 2cos(? ? B), 求 ? ABC的三个内角.

分析 :由诱导公式可化简得到sinA ? 2sinB, 3cosA ? 2cosB, 进而由sin 2 A ? cos 2 A ? 1, 可求出A, 进一步即可求出B和C.

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解 :由已知得sinA ? 2sinB, 3cosA ? 2cosB, 2 两式平方相加得2cos A ? 1, cosA ? ? . 2 2 3 若cosA ? ? , 则cosB ? ? , 此时, A, B均为钝角, 2 2 2 ? 不可能.? cosA ? .故A ? , 2 4 3 3 ? cosB ? cosA ? ?B? , 2 6 2 7? C ? ? ? ?A ? B? ? . 12
2
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评析 : 在? ABC中,? A ? B ? C ? ? , 2A ? 2B ? 2C ? 2? , A B C ? ? ? ? ,? sin ? A ? B ? ? sin(? ? C) ? sinC, 2 2 2 2

cos ? A ? B ? ? cos(? ? C) ? ?cosC,

tan ? A ? B ? ? tan(? ? C) ? ? tanC, sin ? 2A ? 2B ? ? sin(2? ? 2C) ? ?sin2C, cos ? 2A ? 2B ? ? cos(2? ? 2C) ? cos2C, tan ? 2A ? 2B ? ? tan(2? ? 2C) ? ? tan2C,

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? C C ?A B? sin ? ? ? ? sin( ? ) ? cos , 2 2 2 ? 2 2? ? C C ?A B? cos ? ? ? ? cos( ? ) ? sin , 2 2 2 ? 2 2? ? C C ?A B? tan ? ? ? ? tan( ? ) ? cot . 2 2 2 ? 2 2? 以上结论要牢记, 另外要注意 三角形 这一
条件的限制作用.

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