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倍角公式及简单的三角恒等变换学习教材课件PPT


第 6 讲 倍角公式及简单的三角恒 等变换 考纲展示 1. 会用两角差的余弦公式推导 出二倍角的正弦、余弦、正 切公式, 了解它们的内在联系. 2. 能运用上述公式进行简单的 恒 等 变 换 (包括 导 出 积化 和 差、和差化积、半角公式,但 对这三组公式不要求记忆) . 考纲解读 三角函数的解答题一般都要考查三角函数式的 化简、求值及恒等变换 , 也有单纯考查化简、求 值的问题, 而更多的则是融图象与性质、正弦和 余弦定理、平面向量于一体的综合性较强的问 题. 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sinαcosα; cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; tan 2α= 2α . 1-2 α 2.公式的常见变形 (1)sin2α= 1-2α 1+2α ,cos2α= . 2 2 (2)1+sin 2α=(sinα+cosα)2,1-sin 2α=(sinα-cosα)2, 1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α. 3.半角公式(不要求记忆) α α α (1)用 cosα 表示 sin2 ,cos2 ,tan2 α 1-α ; 2 2 α 1+α cos2 = ; 2 2 α 1-α tan2 = . 2 1+α 2 2 2 sin2 = (2)用 cosα 表示 sin ,cos ,tan sin =± cos =± tan =± α 2 α 2 α 2 α 2 1-α ; 2 1+α ; 2 1-α . 1+α α 2 α 2 α 2 (3)用 sinα,cosα 表示 tan tan =± 1-α 1+α α 2 = 1-α α = α . 1+α 1 2 1 (2)cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]; 2 1 (3)cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]; 2 1 (4)sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)]. 2 4.积化和差公式(选学) (1)sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]; 5.和差化积公式(选学) α+β α-β · cos ; 2 2 α+β α-β (2)sinα-sinβ=2cos · sin ; 2 2 α+β α-β (3)cosα+cosβ=2cos · cos ; 2 2 α+β α-β (4)cosα-cosβ=-2sin · sin . 2 2 (1)sinα+sinβ=2sin 三角函数的化简与求值的难点在于众多三角公式的灵 活运用和解题突破口的合理选择,认真分析所求式子的整体结构,分析各个 三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础,也是恰当寻找解题思维 起点的关键所在. 要掌握求值问题的解题规律和途径,寻求角之间关系的特殊性,化非特 殊角为特殊角,正确选用公式,灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用 等. 1.计算 1-2sin222.5° 的结果等于( 1 2 2 2 ) 3 3 3 2 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 1-2sin222.5° =cos 45° = ,故选 B. 2 2 2.sin 15° cos 15° 等于( A. 1 2 ) B. 1 4 C. 3 2 D. 3 4 【答案】B 【解析】利用二倍角公式可得 sin 15° cos 15° = sin 30° = ,故选 B. 3.(2012·浙江温州测试)已知

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