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2012年广州市一模数学试题(理)


2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)
2012.3 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知复数 a ? b i ? i ? 1 ? i ? (其中 a , b ? R , i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为 A. ? 2 B.

? 1
1 x ?1

C.0

D.2

2.已知全集 U ? R ,函数 y ? 集合 ? ?U A ? ? B ? A. ? ? 2 , ? 1 ?
? ?

的定义域为集合 A ,函数 y ? lo g 2 ? x ? 2 ? 的定义域为集合 B ,则

B. ? ? 2 , ? 1 ?
? ? ? 6 ?

C. ? ? ? , ? 2 ?
? 12

D. ? ? 1, ? ? ? ,则 ? 的值为 D.24
2

3.如果函数 f ? x ? ? s in ? ? x ? A.3

??

? 0 ? 的相邻两个零点之间的距离为

B.6
2 2 2

C.12

4.已知点 P ? a, b ? ( a b ? 0 )是圆 O : x ? y ? r 内一点,直线 l 的方程为 a x ? b y ? r ? 0 ,那么直 线 l 与圆 O 的位置关系是 A.相离 B.相切

C.相交

D.不确定

5.已知函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ,对于任意正数 a , x1 ? x 2 ? a 是 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? a 成立的 A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 已知两个非零向量 a 与 b , 定义 a ? b ? a b sin ? , 其中 ? 为 a 与 b 的夹角. a = ? ? 3, 4 ? , b = ? 0 , 2 ? , 若 则 a ? b 的值为 A. ? 8 B. ? 6
?

C.8

D.6

7.在△ A B C 中, ? A B C ? 6 0 , A B ? 2 , B C ? 6 ,在 B C 上任取一点 D ,使△ A B D 为钝角三角形的 概率为 A.
1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

8.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数字中任取 3 个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的 坐标 ? x , y , z ? ,若 x ? y ? z 是 3 的倍数,则满足条件的点的个数为 A.252 B.216 C.72 D.42

数学(理科)试题 A

第 1 页 共 4 页

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 2 9.如图 1 是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为 . 10.已知 2 ≤ ? ? k x ? 1 ?d x ≤ 4 ,则实数 k 的取值范围为
1 2

2

2

2

2 . 正(主)视图

2 侧(左)视图

11.已知幂函数 y ? ? m ? 5 m ? 7 ? x
2

m ?6

2

在区间 ? 0 , ? ? ? 上单调递增, 2

则实数 m 的值为

. 2

12.已知集合 A ? ? x 1≤ x ≤ 2 ? , B ? ? x x ? a ≤ 1? ,若 A I B ? A ,

图1 俯视图 则实数 a 的取值范围为 . 13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小 石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,…, 被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 a 1 ? 1 ,第2个五角形数记作 a 2 ? 5 ,第3个五角形数记作
a3 ? 12 , 第4个五角形数记作 a 4 ? 2 2 , ……, 若按此规律继续下去, a 5 ? 则

, an ? 145 , n ? 若 则



1

5

12 图2

22

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图3,圆 O 的半径为 5 c m ,点 P 是弦 A B 的中点,
O P ? 3 c m ,弦 C D 过点 P ,且
CP CD ? 1 3

B C A O P D

,则 C D 的长为

cm



15. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知直线 l 与曲线 C 的 参数方程分别为 l : ?
? x ? 1 ? s, ?y ?1? s

( s 为参数)和 C : ? .

? x ? t ? 2, ?y ? t
2

( t 为参数) , 图3

若 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,则 A B ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x ) ? ta n ? 3 x ?
? ? ? ? ?. 4 ?

数学(理科)试题 A

第 2 页 共 4 页

(1)求 f ?

? ? ? ? 的值; ? 9 ? ? ? 3? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ,若 f ? ? ? 2 ,求 c o s ? ? ? ? 的值. 2 ? 4 ? 4 ? ? 3 ?

(2)设 ? ? ? ? ,

17. (本小题满分12分) 如图 4 所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组(每小组 4 人)在期末考试中 甲组 乙组 的数学成绩.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 a 表示. 9 7 8 7 已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同. (1)求 a 的值; 6 6 9 a 3 (2)求乙组四名同学数学成绩的方差; 图4 (3)分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,记这两名同学数学 成绩之差的绝对值为 X ,求随机变量 X 的分布列和均值(数学期望) . (温馨提示:答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明. )

5

18. (本小题满分14分) 如图 5 所示, 在三棱锥 P ? ABC 中, A B ? B C ?
AD ? 1 ,CD ? 3 , P D ?
3 . 6 ,平面 PAC ? 平面 ABC ,PD ? AC 于点 D ,

P

(1)证明△ PBC 为直角三角形; (2)求直线 A P 与平面 PBC 所成角的正弦值.
A

D
B

C

图5 19. (本小题满分 14 分)
2 等比数列 ? a n ? 的各项均为正数, 2 a 4 , a 3 , 4 a 5 成等差数列,且 a 3 ? 2 a 2 .

(1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)设 b n ?
2n ? 5 a n ,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 S n .

?2n

? 1? ? 2 n ? 3 ?

数学(理科)试题 A

第 3 页 共 4 页

20. (本小题满分14分) 已知椭圆 x ?
2

y

2

? 1 的左,右两个顶点分别为 A 、 B .曲线 C 是以 A 、 B 两点为顶点,离心率为

5

4

的双曲线.设点 P 在第一象限且在曲线 C 上,直线 A P 与椭圆相交于另一点 T . (1)求曲线 C 的方程; (2)设 P 、 T 两点的横坐标分别为 x 1 、 x 2 ,证明: x 1 ? x 2 ? 1 ;
uur uur
2 2 (3)设 ? TAB 与 ? P O B (其中 O 为坐标原点)的面积分别为 S 1 与 S 2 ,且 P A gP B ≤ 1 5 ,求 S 1 ? S 2

的取值范围.

21. (本小题满分14分) 设函数 f ( x ) ? e ( e 为自然对数的底数), g n ( x ) ? 1 ? x ?
x

x

2

?

x

3

?L ?

x

n

(n ? N ) .
*

2!

3!

n!

(1)证明: f ( x ) ≥ g 1 ( x ) ; (2)当 x ? 0 时,比较 f ( x ) 与 g n ( x ) 的大小,并说明理由;
?2? ? 2? ? 2? ? 2 ? * (3)证明: 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? . ? ≤ g n ?1 ? ? e ( n ? N ) ?2? ? 3? ? 4? ? n ?1?
1 2 3 n

数学(理科)试题 A

第 4 页 共 4 页

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 C 8 A

二、 填空题: 本大题查基本知识和基本运算, 体现选择性. 7 小题, 共 每小题 5 分, 满分 30 分. 其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.第 13 题仅填对 1 个,则给 3 分. 9.
4 3 3

10. ?

?2 ?3

,2

? ? ?

11.3

12. ?1, 2 ?

13.35,10

14. 6 2

15. 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识,考查化归 与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解: f ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ta n ? ? ? ……………………………………………………………………………1 分 4 ? ? 9 ? ? 3

ta n ?

? 3

? ta n ? 3 ta n

? 4 …………………………………………………………………………3 分 ? 4

1 ? ta n

?

3 ?1 1? 3

? ?2 ?

………………………………………………………………………4 分 3.

(2)解:因为 f ?

?? ? 3

?

? ? 3? ? ? ? ? ? ? ta n ? ? ? ? ………………………………………………………………5 分 4 ? 4 4 ? ?

? tan ? ? ? ? ? ……………………………………………………………………6 分
? ta n ? ? 2 .……………………………………………………………………7 分

所以

s in ? cos ?
2

? 2 ,即 s in ? ? 2 c o s ? .
2

① ②

因为 s in ? ? c o s ? ? 1 , 由①、②解得 c o s ? ?
2

1 5

.………………………………………………………………………………9 分

因为 ? ? ? ? ,
? ? ?

?

5 2 5 3? ? , s in ? ? ? .…………………………………………10 分 ? ,所以 c o s ? ? ? 5 5 2 ? ? ? ? ? ? ? c o s ? c o s ? s in ? s in 4 ? 4 4

所以 c o s ? ? ?

………………………………………………………11 分

数学(理科)参考答案及评分标准

第 1 页(共 12 页)

? ?

5 5

?

? 2 5 ??? ? 2 5 ? 2

? 2 3 10 .……………………………………12 分 ? ? ?? ? 2 10 ?

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值(数学期望)等知识,考查或然与必然的数学思 想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)解:依题意,得
1 4 ? (8 7 ? 8 9 ? 9 6 ? 9 6 ) ? 1 4 ? (8 7 ? 9 0 ? a ? 9 3 ? 9 5 ) ,……………………………1 分

解得 a ? 3 .…………………………………………………………………………………………………2 分 (2)解:根据已知条件,可以求得两组同学数学成绩的平均分都为 x ? 9 2 .……………………………3 分 所以乙组四名同学数学成绩的方差为 s ?
2

1

??87 ? 92 ? ? ?93 ? 92 ? ? ?93 ? 92 ? ? ?95 ? 92 ? ? ? 9 . ? 4 ?
2 2 2 2

……………………………5 分 (3)解:分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,共有 4 ? 4 ? 1 6 种可能的结果.……………6 分 这两名同学成绩之差的绝对值 X 的所有情况如下表:
X 乙 甲

87 0 6 6 8
2 16

89 2 4 4 6

96 9 3 3 1
1 16

96 9 3 3 1
4 16

87 93 93 95
1 16 P ( X ? 4) ? 2 16

所以 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,6,8,9.…………………………………………………8 分 由表可得 P ( X ? 0 ) ? , P ( X ? 1) ? , P ( X ? 6) ? , P ( X ? 2) ? , P ( X ? 8) ? , P ( X ? 3) ? , P ( X ? 9) ? , .

3 16

1 16

2 16

所以随机变量 X 的分布列为:
X
P
16 16 4 16 16 2 16 16 16 3 16 16 16 16

0
1

1
2

2
1

3
4

4
2

6
3

8
1

9
2

……………………10 分

随机变量 X 的数学期望为
EX ? 0 ?
? 68 16

1 16
?

? 1?
17 4

2 16

? 2?

1 16

? 3?

? 4?

? 6?

?8 ?

1 16

? 9?

2 16

…………………………11 分

.…………………………………………………………………………………………12 分

18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识,考查数形结合、化归 与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 证明 1: 因为平面 PAC ? 平面 ABC , 平面 P A C ? 平面 A B C ? A C , P D ? 平面 P A C , PD ? AC , 所以 P D ? 平面 ABC .…………………………………………………………………………………1 分 记 AC 边上的中点为 E ,在△ A B C 中, A B ? B C ,所以 BE ? AC . 因为 A B ? B C ?
6 , AC ? 4 ,所以 B E ?

BC

2

? CE

2

?

?

6

?

2

?2

2

?

2 .………………3 分

数学(理科)参考答案及评分标准

第 2 页(共 12 页)

因为 P D ? AC ,所以△ P C D 为直角三角形. 因为 P D ? 所以 P C ?
3 ,CD ? 3 ,
2

P

PD

? CD

2

?

?

3

?

2

?3

2

? 2

3 .………4 分

连接 B D ,在 R t △ B D E 中,因为 B E ? 所以 B D ?
BE
2

2 , DE ? 1 ,

E

A

D
B

C

? DE

2

?

?

2

?

2

?1 ?
2

3 .…………5 分

因为 P D ? 平面 ABC , B D ? 平面 ABC ,所以 P D ? BD . 在 R t △ P B D 中,因为 P D ? 所以 P B ?
PD
2

3 ,BD ?

3 ,

? BD

2

?

?

3

?

2

?

?

3

?

2

?

6 .…………………………………………………6 分
3 ,

在 ? PBC 中,因为 B C ? 所以 B C ? P B ? P C .
2 2 2

6 ,PB ?

6 ,PC ? 2

所以 ? PBC 为直角三角形.………………………………………………………………………………7 分 证明 2: 因为平面 PAC ? 平面 ABC , 平面 P A C I 平面 A B C ? A C , P D ? 平面 P A C , PD ? AC , 所以 P D ? 平面 ABC .…………………………………………………………………………………1 分 记 AC 边上的中点为 E ,在△ A B C 中,因为 A B ? B C ,所以 BE ? AC . 因为 A B ? B C ?
6 , AC ? 4 ,所以 B E ?

BC

2

? CE

2

?

?

6

?

2

?2

2

?

2 .………………3 分

o 连接 B D ,在 R t △ B D E 中,因为 ? B E D ? 9 0 , B E ?

2 , DE ? 1 ,

所以 B D ?

BE

2

? DE

2

?

?

2

?

2

?1 ?
2

3 .………………………………………………………4分
3 ,

在△ B C D 中,因为 C D ? 3 , B C ?
2 2 2

6 ,BD ?

所以 B C ? B D ? C D ,所以 B C ? B D .……………………………………………………………5分 因为 P D ? 平面 ABC , B C ? 平面 ABC , 所以 B C ? P D .…………………………………………………………………………………………6分 因为 B D ? P D ? D ,所以 B C ? 平面 P B D . 因为 P B ? 平面 P B D ,所以 B C ? P B . 所以 ? PBC 为直角三角形.………………………………………………………………………………7分 (2)解法1:过点 A 作平面 P B C 的垂线,垂足为 H ,连 P H , 则 ? A P H 为直线 A P 与平面 PBC 所成的角.…………………………………………………………8 分 由(1)知,△ A B C 的面积 S ? A B C ?
1 3 1 2
1 3
6 ,

? AC ? BE ? 2

2 .…………………………………………9 分

因为 P D ?

3 ,所以 V P ? A B C ?

? S ?ABC ? P D ?

?2

2 ?

3 ?

2 3

6

.…………………………10 分

由(1)知 ? PBC 为直角三角形, B C ?

6 ,PB ?

数学(理科)参考答案及评分标准

第 3 页(共 12 页)

所以△ P B C 的面积 S ? P B C ?

1 2

? BC ? PB ?

1 2

?

6?

6 ? 3 .……………………………………11 分

因为三棱锥 A ? P B C 与三棱锥 P ? A B C 的体积相等,即 V A ? P B C ? V P ? A B C ,
1 2 3 6 2 3
3 , AD ? 1 ,

即 ? 3? AH ?
3

,所以 A H ?

6

.……………………………………………………………12 分

在 R t △ P A D 中,因为 P D ? 所以 A P ?
PD
2

? AD

2

?

?
6 3 2

3

?

2

? 1 ? 2 .………………………………………………………13 分
2

2

因为 s in ? A P H ?

AH AP

?

?

6 3



所以直线 A P 与平面 PBC 所成角的正弦值为

6 3

.…………………………………………………14 分

解法 2:过点 D 作 D M ∥ A P ,设 D M ? P C ? M , 则 D M 与平面 PBC 所成的角等于 A P 与平面 PBC 所成的角.……………………………………8 分 P 由(1)知 B C ? P D , B C ? P B ,且 P D ? P B ? P , 所以 B C ? 平面 P B D . 因为 B C ? 平面 P B C , 所以平面 P B C ? 平面 P B D . 过点 D 作 D N ? P B 于点 N ,连接 M N , 则 D N ? 平面 P B C . 所以 ? D M N 为直线 D M 与平面 PBC 所成的角.……10 分 在 R t △ P A D 中,因为 P D ? 所以 A P ?
PD
2

M

A

N

D
B

C

3 , AD ? 1 ,

? AD

2

?
?

?

3
CD CA

?

2

? 1 ? 2 .………………………………………………………11 分
2

因为 D M ∥ A P ,所以 由(1)知 B D ?

DM AP

,即

DM 2

?

3 4

,所以 D M ?

3 2

.………………………………12 分

3 ,PB ?

6 ,且 P D ?

3 ,

所以 D N ?

PD ? BD PB

?

3? 6
6

3

?

6 2

.……………………………………………………………13 分

因为 s in ? D M N ?

DN DE

?

2 3 2

?

6 3



所以直线 A P 与平面 PBC 所成角的正弦值为

6 3

.…………………………………………………14 分

解法 3:延长 C B 至点 G ,使得 B G ? B C ,连接 A G 、 P G ,……………………………………8 分
数学(理科)参考答案及评分标准 第 4 页(共 12 页)

P

K

在△ P C G 中, P B ? B G ? B C ?
o

6 ,

所以 ? C P G ? 9 0 ,即 C P ? P G . 在△ P A C 中,因为 P C ? 2 3 , P A ? 2 , A C ? 4 , 所以 P A ? P C ? A C ,
2 2 2

所以 C P ? P A . 因为 P A I P G ? P , 所以 C P ? 平面 P A G .…………………………………………………………………………………9 分 过点 A 作 A K ? P G 于点 K , 因为 A K ? 平面 P A G , 所以 C P ? A K . 因为 P G I C P ? P , 所以 A K ? 平面 P C G . 所以 ? A P K 为直线 A P 与平面 PBC 所成的角.……………………………………………………11 分 由(1)知, B C ? P B , 所以 P G ? P C ? 2 3 . 在△ C A G 中,点 E 、 B 分别为边 C A 、 C G 的中点, 所以 A G ? 2 B E ? 2 2 .………………………………………………………………………………12 分 在△ P A G 中, P A ? 2 , A G ? 2 2 , P G ? 2 3 , 所以 P A ? A G ? P G ,即 P A ? A G .……………………………………………………………13 分
2 2 2

因为 s in ? A P K ?

AG PG

?

2 2

2 3

?

6 3



所以直线 A P 与平面 PBC 所成角的正弦值为

6 3

.…………………………………………………14 分

解法 4:以点 E 为坐标原点,以 E B , E C 所在的直线分别为 x 轴, y 轴建立如图的空间直角坐标系
E ? x y z ,…………………………………………………………………………………………………8 分

则 A ? 0, ?2, 0 ? , B
??? ?

?

2 , 0 , 0 , C ? 0 , 2 , 0 ? , P 0 , ? 1, ??? ?

?

?

3 . 3 .

?

P

z

于是 A P ? ? 0 ,1, 3 ? , P B ?

?

2 ,1, ?

???? 3 , P C ? 0 , 3, ?

?

?

?

设平面 P B C 的法向量为 n ? ? x , y , z ? ,
??? ? ? n ? P B ? 0, ? 则 ? ???? ?n ? PC ? 0. ?

A

E

D
B

C

y

x

数学(理科)参考答案及评分标准

第 5 页(共 12 页)

即?

? ?

2x ? y ?

3 z ? 0,

?3 y ? ?

3z ? 0.
3 ,x ?

取 y ? 1 ,则 z ?

2 .

所以平面 P B C 的一个法向量为 n ?

?

2 ,1,

3 .……………………………………………………12分

?

设直线 A P 与平面 PBC 所成的角为 ? ,

??? ? AP ?n ??? ? 4 则 s in ? ? c o s ? A P , n ? ? ??? ? ? ? 2? 6 AP ? n
6 3

6 3



所以直线 A P 与平面 PBC 所成角的正弦值为

.…………………………………………………14 分

若第(1)(2)问都用向量法求解,给分如下: 、 (1)以点 E 为坐标原点,以 E B , E C 所在的直线分别为 x 轴, y 轴建立如图的空间直角坐标系
E ? x y z ,…………………………………………………………………………………………………1 分

则B

?

2 , 0 , 0 , C ? 0 , 2 , 0 ? , P 0 , ? 1, ????

?

?

3 .

?

P

z

于是 B P ? ? ? 2 , ? 1, 3 ? , B C ? ? ? 2 , 2 , 0 ? . 因为 B P ?B C ? ? ? 2 , ? 1, 3 ? ?? ? 2 , 2 , 0 ? ? 0 ,
??? ? ???? 所以 B P ? B C .

??? ?

??? ???? ?

A

E

D
B

C
x

y

所以 B P ? B C . 所以 ? PBC 为直角三角形.………………………………………………………………………………7分 (2)由(1)可得, A ? 0 , ? 2 , 0 ? . 于是 A P ? ? 0 ,1, 3 ? , P B ?
??? ? ??? ?

?

2 ,1, ?

???? 3 , P C ? 0 , 3, ?

?

?

3 .

?

设平面 P B C 的法向量为 n ? ? x , y , z ? ,
??? ? ? n ? P B ? 0, ? 2 x ? y ? 3 z ? 0, ? ? 则 ? ???? 即? ?n ? PC ? 0. ?3 y ? 3 z ? 0. ? ?

取 y ? 1 ,则 z ?

3 ,x ?

2 .

所以平面 P B C 的一个法向量为 n ?

?

2 ,1,

3 .……………………………………………………12分

?

设直线 A P 与平面 PBC 所成的角为 ? ,

数学(理科)参考答案及评分标准

第 6 页(共 12 页)

??? ? AP ?n ??? ? 4 则 s in ? ? c o s ? A P , n ? ? ??? ? ? ? 2? 6 AP ? n
6 3

6 3



所以直线 A P 与平面 PBC 所成角的正弦值为

.…………………………………………………14 分

19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能 力、运算求解能力和创新意识) (1)解:设等比数列 ? a n ? 的公比为 q ,依题意,有
2 a4 ? 4 a5 ? , ? a3 ? a4 ? 2 a5 , ? ? a3 ? 即? ……………………………………………………………………2 分 2 ? 2 ? a3 ? 2 a2 . ? ?a ? 2a 2. 2 ? 3
? a1 q ? a1 q ? 2 a1 q , ? 所以 ? ………………………………………………………………………………3 分 2 2 2 ? a1 q ? 2 a1 q . ?
2 3 4

1 ? 1 a ? , ? ? 1 , ? ? a1 ? 2 由于 a 1 ? 0 , q ? 0 ,解之得 ? 或? 2 ……………………………………………………5 分 ?q ? ?1. ? q ? 1. ? ? ? 2

又 a 1 ? 0 , q ? 0 ,所以 a 1 ?

1 2

,q ?

1 2

,…………………………………………………………………6 分
n

?1 ? * 所以数列 ? a n ? 的通项公式为 a n ? ? ? ( n ? N ) .…………………………………………………7 分 2? ?

(2)解:由(1) ,得 b n ?

2n ? 5

?2n
1

? 1? ? 2 n ? 3 ?

? an ?

2n ? 5

?2n

? 1? ? 2 n ? 3 ? 2

?

1
n

.………………………………8 分

所以 b n ? ?

?

2

? 2n ? 1

?

? 1 ?? n 2n ? 3 ? 2

?

1 ( 2 n ? 1) 2
n ?1

?

1 (2 n ? 3)2
n

.…………………………………………………………………10 分

所以 S n ? b1 ? b 2 ? L ? b n
? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?1 ? ? ? ? ?L ? ? ? ??? 2 ? n ?1 7?2 ? ? 2 n ? 1? 2 ? 3 5?2 ? ? 5?2 ?
? 1 3 ? 1

? ? ?2n ? 3? 2 ? 1
n

?2n

? 3? 2

n



数学(理科)参考答案及评分标准

第 7 页(共 12 页)

故数列 ? b n ? 的前 n 项和 S n ?

1 3

?

1

?2n

? 3? 2

n

.………………………………………………………14 分

20. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识,考查数形结合、 化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解:依题意可得 A ( ? 1, 0 ) , B (1, 0 ) .…………………………………………………………………1 分
y b
2 2

设双曲线 C 的方程为 x ?
2

? 1 ?b ? 0? ,

因为双曲线的离心率为 5 ,所以

1? b 1

2

?

5 ,即 b ? 2 .

所以双曲线 C 的方程为 x ?
2

y

2

? 1. ……………………………………………………………………3 分

4

(2)证法 1:设点 P ( x 1 , y 1 ) 、 T ( x 2 , y 2 ) ( x i ? 0 , y i ? 0 , i ? 1, 2 ) ,直线 A P 的斜率为 k ( k ? 0 ) , 则直线 A P 的方程为 y ? k ( x ? 1) , ………………………………………………………………………4 分
? y ? k ? x ? 1? , ? 2 联立方程组 ? ………………………………………………………………………………5 分 y 2 x ? ? 1. ? ? 4

整理,得 ? 4 ? k 2 ? x 2 ? 2 k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 ,
4? k 4? k
2 2 2 2

解得 x ? ? 1 或 x ?

.所以 x 2 ?

4? k 4? k

2 2

.…………………………………………………………6 分

同理可得, x 1 ?

4? k 4? k

.…………………………………………………………………………………7 分

所以 x 1 ? x 2 ? 1 .……………………………………………………………………………………………8 分

证法 2:设点 P ( x 1 , y 1 ) 、 T ( x 2 , y 2 ) ( x i ? 0 , y i ? 0 , i ? 1, 2 ) , 则 k AP ?
y1 x1 ? 1

, k AT ?

y2 x2 ? 1

.…………………………………………………………………………4 分

因为 k A P ? k A T ,所以

y1 x1 ? 1

?

y2 x2 ? 1

,即

y1

2 2

? x1 ? 1 ?

?

y2

2 2

? x2
y1 4
2

? 1?

.……………………………………5 分

因为点 P 和点 T 分别在双曲线和椭圆上,所以 x 1 ?
2

? 1 , x2 ?
2

y2 4

2

?1.

数学(理科)参考答案及评分标准

第 8 页(共 12 页)

即 y 1 2 ? 4 ? x1 2 ? 1 ? , y 2 2 ? 4 ? 1 ? x 2 2 ? .…………………………………………………………………6 分 所以
4 ? x1 ? 1 ?
2

? x1

? 1?

2

?

4 ?1 ? x 2

2

?

? x2

? 1?

2

,即

x1 ? 1 x1 ? 1

?

1 ? x2 x2 ? 1

.……………………………………………………7 分

所以 x 1 ? x 2 ? 1 .……………………………………………………………………………………………8 分 证法 3:设点 P ( x 1 , y 1 ) ,直线 A P 的方程为 y ?
y1 x1 ? 1 ( x ? 1) ,………………………………………4 分

y1 ? y ? ? x ? 1? , ? x1 ? 1 ? 联立方程组 ? …………………………………………………………………………5 分 2 y ? 2 x ? ? 1. ? ? 4

整理,得 ? 4 ( x1 ? 1) 2 ? y 1 2 ? x 2 ? 2 y 1 2 x ? y 1 2 ? 4 ( x 1 ? 1) 2 ? 0 , ? ? 解得 x ? ? 1 或 x ?
4 ( x 1 ? 1) ? y 1
2 2 2

4 ( x 1 ? 1) ? y 1
2

.…………………………………………………………………6 分

2 2 将 y 1 ? 4 x 1 ? 4 代入 x ?

4 ( x 1 ? 1) ? y 1
2

2 2

4 ( x 1 ? 1) ? y 1
2

,得 x ?

1 x1

,即 x 2 ?

1 x1



所以 x 1 ? x 2 ? 1 .…………………………………………………………………………………………8 分 (3)解:设点 P ( x 1 , y 1 ) 、 T ( x 2 , y 2 ) ( x i ? 0 , y i ? 0 , i ? 1, 2 ) , 则 P A ? ? ? 1 ? x1 , ? y 1 ? , P B ? ? 1 ? x1 , ? y 1 ? .
2 2 2 因为 P A ? P B ? 1 5 ,所以 ? ? 1 ? x1 ? ? 1 ? x1 ? ? y 1 ? 1 5 ,即 x 1 ? y 1 ? 1 6 .…………………………9 分

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

因为点 P 在双曲线上,则 x 1 ?
2

y1 4

2

? 1 ,所以 x 1 ? 4 x 1 ? 4 ? 1 6 ,即 x 1 ? 4 .
2 2 2

因为点 P 是双曲线在第一象限内的一点,所以 1 ? x 1 ? 2 .…………………………………………10 分 因为 S 1 ?
2

1 2

| A B || y 2 | ? | y 2 | , S 2 ?
2 2

1 2

| O B || y 1 | ?
2

1 2

| y1 | ,
2 2

所以 S 1 ? S 2 ? y 2 ?

1 4

y1 ? ? 4 ? 4 x 2
2

?? ?x

2 1

? 1 ? ? 5 ? x 1 ? 4 x 2 .……………………………11 分

由(2)知, x 1 ? x 2 ? 1 ,即 x 2 ?

1 x1



2 设 t ? x 1 ,则 1 ? t ? 4 ,

数学(理科)参考答案及评分标准

第 9 页(共 12 页)

S1 ? S 2 ? 5 ? t ?
2 2

4 t


4 t
2

设 f ?t ? ? 5 ? t ?

4 t

,则 f ? ? t ? ? ? 1 ?

?

?2 ? t??2 ? t?
t
2



当 1 ? t ? 2 时, f ? ? t ? ? 0 ,当 2 ? t ? 4 时, f ? ? t ? ? 0 , 所以函数 f ? t ? 在 ? 1, 2 ? 上单调递增,在 ? 2 , 4 ? 上单调递减. 因为 f ? 2 ? ? 1 , f ? 1 ? ? f ? 4 ? ? 0 ,
2 2 所以当 t ? 4 ,即 x 1 ? 2 时, ? S 1 ? S 2 ?

? f
m in

?4? ?

0 .……………………………………………12 分

当 t ? 2 ,即 x1 ?

2 时, ? S 1 ? S 2
2

2

?

? f
m ax

?2?

? 1 .………………………………………………13 分

2 2 所以 S 1 ? S 2 的取值范围为 ? 0 ,1 ? .……………………………………………………………………14 分

说明:由 S 1 2 ? S 2 2 ? 5 ? ? x1 2 ? 4 x 2 2 ? ? 5 ? 4 x1 x 2 ? 1 ,得 ? S 1 ? S 2
2

2

?

? 1 ,给 1 分.
m ax

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识,考查数形结合、化归与转化、 分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力)
x (1)证明:设 ? 1 ( x ) ? f ( x ) ? g 1 ( x ) ? e ? x ? 1 ,

所以 ? 1? ( x ) ? e ? 1 . ………………………………………………………………………………………1 分
x

当 x ? 0 时, ? 1? ( x ) ? 0 ,当 x ? 0 时, ? 1? ( x ) ? 0 ,当 x ? 0 时, ? 1? ( x ) ? 0 . 即函数 ? 1 ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) 上单调递减,在 ( 0 , ? ? ) 上单调递增,在 x ? 0 处取得唯一极小值,………2 分 因为 ? 1 ( 0 ) ? 0 ,所以对任意实数 x 均有 ? 1 ( x )≥ ? 1 ( 0 ) ? 0 . 即 f ( x ) ? g 1 ( x )≥ 0 , 所以 f ( x ) ≥ g 1 ( x ) .………………………………………………………………………………………3 分 (2)解:当 x ? 0 时, f ( x ) ? g n ( x ) .………………………………………………………………………4 分 用数学归纳法证明如下: (资料来源:中国高考吧 www.gaokao8.net) ①当 n ? 1 时,由(1)知 f ( x ) ? g 1 ( x ) .
* ②假设当 n ? k ( k ? N )时,对任意 x ? 0 均有 f ( x ) ? g k ( x ) ,…………………………………5 分

令 ? k ( x ) ? f ( x ) ? g k ( x ) ,? k ?1 ( x ) ? f ( x ) ? g k ?1 ( x ) ,
数学(理科)参考答案及评分标准 第 10 页(共 12 页)

? 因为对任意的正实数 x , ? k ? 1? ( x ) ? f ? ? x ? ? g k ? 1 ? x ? ? f ( x ) ? g k ( x ) ,

由归纳假设知,? k ? 1? ( x ) ? f ( x ) ? g k ( x ) ? 0 .…………………………………………………………6 分 即 ? k ? 1 ( x ) ? f ( x ) ? g k ? 1 ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上为增函数,亦即 ? k ? 1 ( x ) ? ? k ? 1 ( 0 ) , 因为 ? k ? 1 ( 0 ) ? 0 ,所以 ? k ? 1 ( x ) ? 0 . 从而对任意 x ? 0 ,有 f ( x ) ? g k ? 1 ( x ) ? 0 . 即对任意 x ? 0 ,有 f ( x ) ? g k ? 1 ( x ) . 这就是说,当 n ? k ? 1 时,对任意 x ? 0 ,也有 f ( x ) ? g k ? 1 ( x ) . 由①、②知,当 x ? 0 时,都有 f ( x ) ? g n ( x ) .………………………………………………………8 分 (3)证明 1:先证对任意正整数 n , g n ? 1 ? ? e . 由(2)知,当 x ? 0 时,对任意正整数 n ,都有 f ( x ) ? g n ( x ) . 令 x ? 1 ,得 g n ? 1 ? ? f ? 1 ? = e . 所以 g n ? 1 ? ? e . ……………………………………………………………………………………………9 分
1 1 1 ?2? ?2? ? 2? ? 2 ? . ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? g n ?1 ? ? 1 ? 1 ? 2! 3! n! ?2? ?3? ? 4? ? n ?1?
n 1 2 3 n

再证对任意正整数 n , 1 ? ?

1 ? 2 ? 要证明上式,只需证明对任意正整数 n ,不等式 ? 成立. ? ? n! ? n ?1? ? n ?1? 即要证明对任意正整数 n ,不等式 n ! ? ? ? (*)成立.……………………………………10 分 ? 2 ?
n

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式(*) : 方法 1(数学归纳法) :
?1?1? ①当 n ? 1 时, 1! ? ? ? 成立,所以不等式(*)成立. ? 2 ?
1

②假设当 n ? k ( k ? N )时,不等式(*)成立,
*

? k ?1? 即k !? ? ? .………………………………………………………………………………………11 分 ? 2 ? ? k ?1? ? k ?1? ? ? 2? ? ? 2 ? ? 2 ?
k k ?1

k

则 ? k ? 1?! ? ? k ? 1? k ! ? ? k ? 1? ?



数学(理科)参考答案及评分标准

第 11 页(共 12 页)

因为

? k ? 2? ? ? ? 2 ? ? k ?1? ? ? ? 2 ?

k ?1

k ?1

? k ? 2? ? ? ? ? k ?1 ?

k ?1

1 ? ? ? ?1 ? ? k ?1? ?

k ?1

? C k ?1 ? C k ?1
0 1

1 k ?1

? ? ? C k ?1

k ?1

? 1 ? ? ? ? k ?1?

k ?1

? 2 ,…12 分

? k ?1? 所以 ? k ? 1 ? ! ? 2 ? ? ? 2 ?

k ?1

? k ? 2? ? ? ? ? 2 ?

k ?1

.……………………………………………………………13 分

这说明当 n ? k ? 1 时,不等式(*)也成立. 由①、②知,对任意正整数 n ,不等式(*)都成立.
?2? ? 2? ? 2? ? 2 ? 综上可知,对任意正整数 n ,不等式 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? g n ? 1 ? ? e 成立. ?2? ? 3? ? 4? ? n ?1?
1 2 3 n

……………………………………14 分 方法 2(基本不等式法) : 因为 n ? 1 ?
n ?1 2

,……………………………………………………………………………………11 分 ,

? n ? 1? ? 2

?

n ?1 2

……,
1?n ? n ?1 2


? n ?1? ? .……………………………………………………………13 分 ? 2 ?
n

将以上 n 个不等式相乘,得 n ! ? ?

所以对任意正整数 n ,不等式(*)都成立.
?2? ? 2? ? 2? ? 2 ? 综上可知,对任意正整数 n ,不等式 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? g n ? 1 ? ? e 成立. ?2? ? 3? ? 4? ? n ?1?
1 2 3 n

……………………………………14 分

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