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1.5函数y=Asin(wx+q)的图像与性质


1.5函数y=Asin(? x+? )的图象

复习回顾

y ? sin x, x ?[0,2? ] 的图象
2 2 注意:五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值 的点.

? 3? 关键点: (0,0), ( ,1), (?,0), ( ,-1), (2?,0) .

y


1

. . . ? 3?/2 2? .
x

o ?/2 -1

.

在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的 关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形y=Asin(ωx+φ) 的函数(其中A, ω, φ都是常数). 下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 y y
6 4 2 6

4
2

o
-2
-4 -6

2

4

6

8

x

o
-2
-4 -6

0.01

0.02

0.03

0.04

x

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有 何关系?

你认为怎样讨论参数? , ? , A对y ? A sin(?x ? ? )的 图象的影响?

二. 合作探究
(一)探索?对y ? sin (x ? ? ), x ? R的图象的影响.

1.作函数y ? sin (x ? )的图象,观察它 3 与函数y ? sin x图象有怎样的关系?

?

函数y ? sin (x ? )在一个周期内的简图. 3
x

?
? ?
6

-

?

x?

?
3

3 0
0

2? 3

?
0

sin(x ? ) 3 描点作图:

?

2 1 y

7? 6 3? 2 -1

5? 3 2?
0

1
?
-

?
3

o

π
6

-1

2? 3

?

7? 6

5? 3

2?

x

二. 合作探究
(一)探索?对y ? sin (x ? ? ), x ? R的图象的影响.

2.作函数y ? sin (x- )的图象,观察它 4 与函数y ? sin x图象有怎样的关系?

?

2.作出函数y ? sin (x - )在一个周期的闭区间上的简图. 4
x
x-

?

?
4

3? 4

5? 4

?
4

0
0

?
2

?
0

7? 4 3? 2

9? 4

2?
0

sin( x - ) 4

?

1

-1

描点作图:
? 2

y 1
? ? 4 2
3? 4

7? 4
?

9? 4
2?

O

-1

5? 4

x

y ? sin( x - ) 4

?

y
? 2

y ? sin x
7? 6

1
? 3

3? 2
5? 4

7? 4

9? 4
2?

O

-1

? ? ? 2? 3? ? 6 4 2 3 4

5? 3

x

y ? sin( x ?

?
3

)

y ? sin( x - ) 4

?

对于φ取不同的值情况如何呢?

二. 合作探究
(一)探索?对y ? sin (x ? ? ), x ? R的图象的影响.

函数y ? sin (x ? ? )的图象可看作是把函数 y ? sin x的图象上的所有点向左 ?当? >0时? 或向右 ?当? ? 0时? 平移 ? 个单位得到.

1.已知函数 y ? 3 sin( x ?

?
5

)的图象为 C.

(1)为了得到函数 y ? 3 sin( x - )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? ( A)向右平行移动 ( B )向左平行移动

?

? ?
5

个单位长度. 个单位长度.

5 2? (C )向右平行移动 个单位长度. 5 2? ( D )向左平行移动 个单位长度. 5

2. Y=sin?x 与 y=sinx图象的关系
1.列表:

1x y ? sin 例2.作函数 y ? sin 2 x 及 2 的图象。

x
2x

0 0 0

?

4 ? 2

? 2
?

3? 4
3? 2

?
2? 0

sin 2 x
2. 描点: 2 y
y=sin2x
1 O

1

0

-1

y=sinx
? 2
?

纵坐标不变 ,横坐标

缩短为原来的1/2倍 y=sinx 2? 3?

y=sin2x

x

-1
-2

对于函数y ? sin 1 x 2
1. 列表:

x
1 x 2 sin 1 x 2

0 0 0

?
?
2


?


3? 2

4?
2π 0

1

0

-1

2. 描点:
y y=sinx 1

y=sinx

纵坐标不变, 横坐标 变为原来的 2 倍 2? 3? y=sin 1 x 2

y=

1 sin 2 x

O -1

?

4?

的图象间的变化关系。
y
2

1 y ? sin x 与 y ? sinx 函数 y ? sin2 x 、 2

y ? sin 2 x

1

1 y ? sin x 2
?
2

o

?

4?

3? 2

2?

-1

二、函数y=sin?x(?>0)图象
函数y=sin?x (? >0且?≠1)的图象可以看

作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短
(当?>1时)或伸长(当0<?<1时) 到原来的 1 倍(纵坐标不变) 而得到的。

?

1.已知函数 y ? 3 sin( x ?

?
5

)的图象为 C.

(2)为了得到函数 y ? 3 sin(2 x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? B ? ( A)横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变 1 ( B)横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 2 (C )纵坐标伸长到原来的 2倍, 横坐标不变 1 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 2

?

1 例3、作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的简图. 2
解: 列表
x
sinx 2sinx
1 2

3.y=Asinx与y=sinx图象的关系

描点作图
?
2

0
0 0 0

π
0 0 0

3? 2



y

2 1
? 2

1 2
1 2

-1 -2
1 2

0 0 0

3? 2
0



π

x

sinx

-1

-2

y ? sin x
y=Sinx

纵坐标缩短到原来的一半 横坐标不变

y ? 1 sin x 2
y=2Sinx

纵坐标扩大到原来的2倍
横坐标不变

1 函数 y ? 2 sinx 、y ? sin x 与 y ? sinx 的图象间的变化关系。 2
y
3

2
1

y=2sinx

y=sinx
? 2

o
-1

1 y= 2
3? 2

sinx

2?

x

-2

三、函数y=Asinx(A>0)图象
函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图象可以看作

是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1
时 )或缩短(当0<A<1时 )到原来的A倍(横坐 标不变)而得到的。y=Asinx, x∈R的值域是[-A, A],最大值是A,最小值是-A。

1.已知函数 y ? 3 sin( x ?

?
5

)的图象为 C.

(3)为了得到函数 y ? 4 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? 4 ( A)横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变 3 3 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 4 4 (C )纵坐标伸长到原来的 倍, 横坐标不变 3 3 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 4

?

(四)函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系
函数y=sin(ωx+φ) 的图象可以看作是把 y=sinωx 的 图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平 移|

? ?

|个单位而得到的。

2.把y ? sin( 2 x ? )的图象向右平移 个单位, 3 6 这时图象所表示的函数 为? D ? A. y ? sin( 2 x ? ) 2 B. y ? sin( 2 x ? ) 6 3 C. y ? sin( 2 x ? ) 2 D. y ? sin 2 x

?

?

? ?

x ? x 3.要得到函数 y ? sin( - )的图象, 可由y ? sin 2 6 2 的图象? C ? A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向左平移

?
6

?
6

?
3

?
3

例 、如何由

y ? sinx 变换得 ? y ? 3 sin( 2 x ? )的图象? 3

画出函数的简图
? y ? 3 sin( 2 x ? ), x ? R 3
向左平 ? 移
3

? 2x ? 3

0
-

x
? 3 sin(2 x ? ) 3
3

?
6

? 2 ?
12

?
? 3

3? 2 7?
12

2?
5? 6

y ? sin x
y ? sin( x ?

0

3

0
?
3 )

-3

0

y

y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

)

横坐标压 1 缩 倍
2

y ? sin x
y ? sin( x ?
?
3

?
3

)

y ? sin( 2 x ?

?
3

)

-

-

?
6

0

? ? 12 3

7? 12

5? 6

?
?
3 )

2?

x

纵坐标伸 长3 倍

y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

y ? sin( 2 x ?
)

-3

函数y=Asin(ωx+φ)的图象
) 函数 y ? A sin(?x ? ?的 x 图象可由 y ? sin得到
y ? sin x ? ?0 ? -? ? ? 0
y

A

y ? A sin(?x ? ? )
A ?1

y ? sin(x ? ? )
0<ω<1横坐标伸长 倍 ? 1 ω>1横坐标压缩 倍
?
1

y ? sin x
2?

-? 0

? ?0

x

y ? sin(?x ? ? )
0<A<1纵坐标压缩 A倍 A>1 纵坐标伸长A 倍

y ? sin(x ? ? )

-A

y ? A sin(?x ? ? )

? ?1 y ? sin(?x ? ? )

三角函数的综合变换:
三角函数图像变换的两种途径: y ? sin x ? y ? sin( x ? ? ) ? y ? sin( wx ? ? ) ? y ? A sin(wx ? ? ) y ? sin x ? y ? sin wx ? y ? sin(wx ? ? ) ? y ? A sin(wx ? ? ) 一般而言,前者更容易掌握、采用。

y ? sin x
?
向左或向右平 移 |? | 个单位 纵坐标不变,横坐标 变为原来的

1

?



?
?

y ? sin( x ? ? )

y ? sin ? x
向左或向右平 移|

?
A

纵坐标不变,横坐标 变为原来的

1

?



? |个单位 ?

y ? sin(? x ? ? )
横坐标不变,纵坐标 变为原来的A倍

A

y ? A sin(? x ? ? )

函数, y ? A sin(?x ? ? )
A称为振幅
1 f ? T



2? T? 称为周期 |? |

称为频率

?x ? ? 称为相位

?

称为初相
A 影响函数的最值;

? 影响函数的周期;
? 影响函数的位置.

1 ? 例1:怎样由y ? sin x的图象得到y ? 2 sin( x - ) 3 6 的图象?

函数y ? sin x

(1)向右平移

?
6

y ? sin( x - )的图象 6 1 ? y ? sin( x - )的图象 3 6 1 ? y ? 2 sin( x - )的图象 3 6

?

(2)横坐标伸长到原来的 3倍
纵坐标不变

(3)横坐标不变

纵坐标伸长到原来的 2倍

y
3

2
1

? y=sin(x- )① 6
?
y=sinx

1 ? y ? 2 sin( x - ) ③ 3 6
1 ? y ? sin( x - ) ② 3 6
2?
7? 2

o
?
-1

6

? 2

13? 2

x

-2
-3

1 ? (画法二)利用"五点法"画函数 y ? 2 sin( x - )在 3 6 2? 一个周期 (T ? 1 ? 6? )内的图象. 3 y (1)列表 :

X x y

0
?
2

? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2
2

2?

5?

0

2

0

-2

0

(2)描点 :

O -2

?
2

2?

7? 2

5?

13? 2

x

? 7? 13? ( ,0), (2? ,2), ( ,0), (5? ,-2), ( ,0) 2 2 2
(3)连线 :

例2、某简谐运动图象如图 .试根据图象回 答下列问题:

(1)这个简谐运动的振幅, 周期与频率各是 多少;
(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示 完成了一次往复运动?如从A点算起呢?

(3)写出这个简谐运动的函 数表达式.
y/cm
2 A 0.4 0.8 B D E F 1.2

o

x/s

C

y/cm 2A 0 0.4 0.8 B D C

E
1.2 F x/s

解:(1)从图象上可以看到,这个简谐运动 的振幅为2cm;周期0.8s;频率为5/4. (2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表 示完成了一次往复运动;如果从A点算 起,则到曲线上的E点,表示完成了一 次往复运动. (3)设这个简谐运动的函数表达式为 y=Asin(?x+?),x∈[0,+ ∞] 那么,A=2;由2?/?=0.8得??5?/2;由图象 知初相??0. 于是所求函数表达式是 y=2sin5?/2x,x∈[0,+∞]

求y=Asin(?x+?)的解析式
例3(图象法)
函数y=Asin(?x+?)的图像如图,求其解析式。
y
2?/8

0

3?/8

7?/8

x

分析:根据图 像写函数解析式, 关键要求出A,?,?, 要注意图像的走向, 从而准确求出?值

解:由图可知A=2,T=7?/8-(-?/8)=?,

又∵T=2?/?,∴?=2.
又∵(-?/8,0)为五点作图的第一个零点, ∴ 2· (-?/8,0)+?=0,∴?=?/4,

因此所求函数的表达式为y=2sin(2x+?/4).

课堂练习

已知函数y=Asin(?x+?)(其中A>0,ω>0,|?|≤ ) 2 一个周期的图象如下图所示,求函数的解析式.

?





2 函数y=Asin(?x+?)+by 的图像 ? 2sin( 和性质 3

x- ) 2

?

练习1: 已知函数 y ? A cos(? x ? ? ) (A>0,ω>0, 0 ? ? ? ? )的最小值是 -5 ,图象上相

? 邻两个最高点与最低点的横坐标相差 ,且图象经 4
5 过点 (0, - ) ,求这个函数的解析式。 2

练习2:已知函数 y ? Asin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 在一个周期内的图象如右下,求其表达式。
2

? ?

Y

0 ?

?

6

?? 2
3

X

-2

函数 性质

y=sinx R [-1,1]
是周期函数,最小正周期

y=Asin(?x+?)(A>0, ? >0) R [-A, A]
是周期函数,最小正周期为T =

定义域 值 域

周期性

2?

? 为T = 2? ? ? ? k ?? ? ? ? k ?? ? ? x ? ? 在? 上 ? ?上 ? ? 在 2 k ? , 2 k ? ? 2 k ? , 2 k ? ? ? ? ? ? 2 2? 2 2? ? ? ? 3? ? ? 单调性 是增函数;在?2k? ? ? ,2k? ? 3? ? 是增函数; ? x ? ? 在 2 k ? ? , 2 k ? ? ? ? 2 2 ? 2 2? ? ? ? ? ? k ??? 上是减函数. ?k ??? 上是减函数.
奇偶性
奇函数 对称中心为 ? k? ,0?? k ??? ; 对称性 不确定 对称中心为?

? 对称轴为 x ? k? ? ? k ? ? ? . 2

对称轴为 ? x ? ?

? k? - ? ? , 0 ? ? k ? ??; ? ? ?
? k? ?

?

2

? k ? ?? .

课堂小结
(1)本节课通过五点作图及图像变换的方式两个

角度认识了正弦型函数图像的作图方法,为进一步
理解正弦型函数的性质提供图形基础。通过本节课

的学习要熟练的掌握五点法作图,体会函数

y ? sin x ? y ? sin( x ? ? ) ? y ? sin(wx ? ? )
变化的过程。 (2)进一步认识体会数形结合,由简单到复杂,由 特殊到一般的数学思想。培养学生发现、探究、解决 问题的能力。

课后作业

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