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直线的两点式方程



直线的 两点式方程

1). 直线的点斜式方程: 直线的点斜式方程:

y- y0 =k(x- x0 )
k为斜率, P0(x0 ,y0)为直线上的一定点 为斜率, 为斜率 为直线上的一定点 2). 直线的斜截式方程: 直线的斜截式方程:

y=kx+b
k为斜率,b为截距 为斜率, 为截距 为斜率

已知直线经过P 两点,求直 例1.已知直线经过 1(1,3)和P2(2,4)两点 求直 已知直线经过 和 两点 线的方程. 线的方程. 一般做法: 一般做法: 解:设直线方程为:y=kx+b 设直线方程为:
?3 = k + b 由已知得: 由已知得: ? ?4 = 2k + b

解方程组得: 解方程组得:

{

方程思想

k=1 b=2

所以:直线方程为 所以 直线方程为: y=x+2 直线方程为

还有其他做法吗?
4? 3 k 由斜率公式得到斜率 = 2 ?1 4? 3 ( x ? 1) y 再由直线的点斜式方程 ? 3 = 2 ?1 x 化简可得 ? y + 2 = 0

为什么可以这样做, 为什么可以这样做,这样做的 根据是什么? 根据是什么?

二、直线的 两点式方程 为直线上不同于P 的动点, 设P(x,y)为直线上不同于 1 , P2的动点 为直线上不同于 在同一直线上,根据斜率相 与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上 根据斜率相 在同一直线上 等可得: 等可得:

kpp1 = kp1 p2
y ? 3 4? 3 = 即: x ?1 2 ?1

得: y=x+2

推广
已知两点P 已知两点 1 ( x1 , y1 ),P2(x2 , y2),求通过这 求通过这 两点的直线方程. 两点的直线方程. 是直线上不同于P 的点. 解:设点P(x,y)是直线上不同于 1 , P2的点. 设点 是直线上不同于


kPP = kP P
1 1

2

y ? y1 x ? x1 = ∴ y2 ? y1 x2 ? x1
y ? y1 x ? x1 = 可得直线的两点式方程: 可得直线的两点式方程: y2 ? y1 x2 ? x1

记忆特点: 左边全为y,右边全为 记忆特点: 1.左边全为 ,右边全为x 左边全为
2.两边的分母全为常数 两边的分母全为常数 3.分子,分母中的减数相同 分子, 分子

是不是已知任一直线中的两点就能用两 y ? y1 y2 ? y1 写出直线方程呢? 点式 x ? x = x ? x 写出直线方程呢?
1 2 1

不是! 不是!
,直线 直线P 没有两点式程.(因 当x1 =x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式程.(因 为x1 =x2或y1= y2时,两点式的分母为零 没有意义) 两点式的分母为零,没有意义 两点式的分母为零 没有意义

那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢? 那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢

注意: 注意:两点式不能表示平行于坐标轴或与坐
标轴重合的直线. 标轴重合的直线.

若点P 中有x 若点 1 (x1 , y1 ),P2( x2 , y2)中有 1 =x2,或 中有 或 y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么 此时过这两点的直线方程是什么? 此时过这两点的直线方程是什么

时方程为: 当x1 =x2 时方程为: x =x1 时方程为: 当 y1= y2时方程为: y = y1

四、直线的截距式 方程

轴的交点为A(a,0),与y轴的 例2:已知直线 l 与x轴的交点为 已知直线 轴的交点为 与 轴的 交点为B(0,b),其中 其中a≠0,b≠0,求直线 的方程. 求直线l 交点为 其中 求直线 的方程. 将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式 得: 的坐标代入两点式, 解:将两点 将两点 的坐标代入两点式

y ?0 x?a , = b?0 0? a

x y + = 1. a b

x y 所以直线l 的方程为: 所以直线l 的方程为: + = 1. a b

截距式直线方程: 截距式直线方程

x y + = 1. a b

轴的交点(a, 的横坐标 直线与 x 轴的交点 o)的横坐标 a 叫做 直线在 x 轴上的截距 轴的交点(0, 的纵坐标 直线与 y 轴的交点 b)的纵坐标 b 叫做 直线在 y 轴上的截距
是不是任意一条直线都有其截距式方程呢? 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢

注意:
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 截距可是正数, ②截距可是正数,负数和零

举例
例3: ⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距 并且在两个坐标轴上的截距 相等的直线有几条? 相等的直线有几条

解: ⑴ 两条
x y 直线的方程为: + = 1 设:直线的方程为 直线的方程为 a a
1 2 代入得: 把(1,2)代入得: + = 1 代入得 a a

a=3 所以直线方程为: 所以直线方程为:x+y-3=0 轴和y轴的截距都为 与 轴和 轴的截距都为0) 那还有一条呢? 那还有一条呢?y=2x (与x轴和 轴的截距都为

(2) 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝 并且在两个坐标轴上的截距的绝 对值相等的直线有几条? 对值相等的直线有几条
解:三条
x y ? a + b =1 ? a=b ?



解得: 解得:a=b=3或a=-b=-1 或 直线方程为: 直线方程为:y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x 、 或 截距可是正数, 截距可是正数,负数和零

举例
已知角形的三个顶点是A(- , , 例4:已知角形的三个顶点是 -5,0), 已知角形的三个顶点是 B(3,- ,C(0,2),求BC边所在的直线 ,-3), ,- , , 边所在的直线 方程,以及该边上中线的直线方程. 方程,以及该边上中线的直线方程 两点式方程为: 解:过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为: 两点式方程为
y ?2 x?0 = ?3 ? 2 3 ? 0

整理得: 整理得:5x+3y-6=0 这就是BC边所在直线的方程 这就是 边所在直线的方程. 边所在直线的方程

BC边上的中线是顶点 与BC边中点 所连 边上的中线是顶点A与 边中点 边中点M所连 边上的中线是顶点 线段,由中点坐标公式可得点M的坐标为 的坐标为: 线段,由中点坐标公式可得点 的坐标为:
x=
M

x1 + x2 y + y2 ,y= 1 2 2



? 3 1? M? , ? ? ? 2 2?

过A(-5,0),M 的直线方程 整理得: 整理得:x+13y+5=0 这就是BC边上中线所在的直线的方程 边上中线所在的直线的方程. 这就是 边上中线所在的直线的方程

? 3 1? ? 2,? 2 ? ? ?

y ?0 x+5 = 1 3 ? ?0 +5 2 2

中点坐标公式: 中点坐标公式:
坐标分别为( 若P1 ,P2坐标分别为 x1 ,y1 ), (x2 ,y2) 且中点M的坐标为 的坐标为(x, 且中点 的坐标为 y).


? ? ?

x1+ x2 x= 2 y1+ y2 y= 2

∵B(3,-3),C(0,2) ∴ M ( 3 + 0 , ?3 + 2)
2 2

即M

3 1 ( ,? ) 2 2

思考题
已知直线l 求关于点A(1,2)对 已知直线 :2x+y+3=0,求关于点 求关于点 对 称的直线l 的方程. 称的直线 1的方程 在直线l上 关于 解:当x=0时,y=3.点(0,-3)在直线 上,关于 在直线 (1,2)的对称点为(2,7). 的对称点为 当x=-2时,y=1. 点(-2,1)在直线 上,关于 在直线l上 关于 时 在直线 (1,2)的对称点为(4,3). 的对称点为 那么,点 那么 点 (2,7) ,(4,3)在l 1上. 在
因此, 的方程为: 因此,直线l 1的方程为:
y ?7 x ?2 = 3? 7 4? 2

化简得: 化简得 2x + y -11=0

还有其它的方法吗? 还有其它的方法吗?
∵ l ∥l 1,所以 与l 1的斜率相同 ,所以l ∴ kl1=-2 经计算, 过点(4,3) 经计算,l 1过点 所以直线的点斜式方程为: 所以直线的点斜式方程为:y-3=-2(x-4) 化简得: 化简得: 2x + y -11=0

归纳
直线方程的四种具体形式
名 称

几 何 条 件
点P (x0,y0 )和斜 k 率 1
斜 k, y轴 率 上的 纵截距b

方程

局限性

点斜式
斜截式

y ? y0 = k(x ? x0 ) 不垂直于x轴的直线

y = kx + b

不垂直于x轴的直线

y ? y1 x ? x1 1 两点式 点P(x1,y1)和点P2 (x2,y2 ) y1 ? y2 = x1 ? x2 不垂直于x、y轴的直线

截距式

在x轴 的 距a 上 截 在y轴 的 距b 上 截

x y + =1 a b

不垂直于x、y轴的直线 不过原点的直线

思考
(1) 平面直角坐标系中的每一条直线 都可以用一个关于x , y的二元一次 方程表示吗 表示吗? 方程表示吗? (2) 每一个关于x , y的二元一次方程 都表示直线吗? 都表示直线吗?

分析: 分析:直线方程

二元一次方程

(1) 当斜率存在时 可表示为 y=kx+b 或 当斜率存在时L可表示为 y - y0 = k ( x - x0 ) 显然为二元一次方程. 显然为二元一次方程 (2) 当斜率不存在时 可表示为 x - x0=0,亦可 当斜率不存在时L可表示为 亦可 的系数为0的二元一次方程 的二元一次方程. 看作y的系数为 的二元一次方程 (x-x0+0y=0) 结论1: 结论 :平面上任意一条直线都可以用一个关 的二元一次方程表示. 于 x , y 的二元一次方程表示

直线方程

二元一次方程

即:对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0 (A.B不同时为 ,判断它是否表示一条直线? 不同时为0),判断它是否表示一条直线? 不同时为 A C x? (1)当B ≠ 0时,方程可变形为 y = ? ) 时 B B C A ),斜率为 ? 的直线 的直线. 它表示过点( 0 , ? B B 不同时为零, (2)当B=0时,因为 ) 时 因为A,B不同时为零,所以 一定不 不同时为零 所以A一定不 为零,于是方程可化为 x = ? C ,它表示一条与 y 轴平 为零 于是方程可化为 A 行或重合的直线. 行或重合的直线

结论2: 的二元一次方程,它都表示 结论 关于 x , y 的二元一次方程 它都表示 一条直线. 一条直线

定义
可知: 由1,2可知: , 可知 直线方程 二元一次方程

定义:我们把关于 x , y 的二元一次方程 定义 我们把关于 Ax+By+C=0(其中 其中A,B不同时为 不同时为0) 其中 不同时为 叫做直线的一般式方程,简称一般式 叫做直线的一般式方程,简称一般式.

探究
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值 中 在方程 , , 为何值 时,方程表示的直线 (1)平行于x轴:(2)平行于y轴: )平行于 轴:( )平行于 轴 轴重合:( 轴重合: (3)与x轴重合:( )与y轴重合: ) 轴重合:(4) 轴重合 分析: 直线平行于 轴时,直线的斜率不存在 直线平行于x轴时 直线的斜率不存在, 分析 (1)直线平行于 轴时 直线的斜率不存在 轴上的截距不为0. 在x轴上的截距不为 .即 A=0 , B ≠ 0,C ≠ 0. 轴上的截距不为 (2) B=0 , A ≠ 0 , C ≠ 0. (3) A=0 , C=0 , B (4) B=0 , C=0 ,

≠ 0. A ≠ 0.

举例
已知直线过点A(6,4),斜率 例 1 已知直线过点 , , 为
? 4 3

,求直线的点斜式和一般式方程 求直线的点斜式和一般式方程. 求直线的点斜式和一般式方程
4 ? 3

解:代入点斜式方程有 y+4= 化成一般式, 化成一般式,得 4x+3y-12=0.

(x-6).

举例
把直线L的一般式方程 例2 把直线 的一般式方程 x-2y+6=0 化成斜 截式,求出 求出L的斜率以及它在 轴上的截距, 截式 求出 的斜率以及它在x轴与y轴上的截距 并画出图形. 并画出图形 解:化成斜截式方程
1 y= x+3 2

因此,斜率为 因此,斜率为k=

1 2

,它在 轴上的截距是 它在y轴上的截距是 它在 轴上的截距是3.

令y=0 得x=-6.即L在x轴上的截距是-6. - 即 在 轴上的截距是- 轴上的截距是 由以上可知L与 由以上可知 与x 轴,y轴的交点 轴的交点 分别为A(-6,0)B(0,3),过 , 分别为 , 过 A,B做直线 为L的图形 , 做直线 做直线,为 的图形 的图形.

练习
m , n 为何值时 直线 为何值时,直线 直线mx+8y+n=0和2x+my-1=0垂直 垂直? 和 垂直 不等于0, 解:(1)若两条直线的斜率都存在,则m不等于 , ( )若两条直线的斜率都存在, 不等于 m 2 ? 且两条直线的斜率分别为 ? 、 . 但由于 8 m m 2 1 所以两条直线不垂直. ( ? ) ? ( ? ) = ≠ ?1 所以两条直线不垂直
8 m 4

(2)若m=0,则两条直线中一条直线的斜率为0, ) ,则两条直线中一条直线的斜率为 , 另一条斜率不存在,这时两条直线垂直, 另一条斜率不存在,这时两条直线垂直,方程分别 n 1 为 y=? ,x= . 8 2 综上知: 为全体实数时, 综上知:m=0,n为全体实数时,两条直线垂直 , 为全体实数时 两条直线垂直. 点评:分类讨论思想的运用 如不分类将找不到正确答案 点评 分类讨论思想的运用,如不分类将找不到正确答案 分类讨论思想的运用 如不分类将找不到正确答案.

小结

1)直线的两点式方程 1)直线的两点式方程
y ? y1 x ? x1 = y2 ? y1 x2 ? x1

x y 直线的截距式方程: 直线的截距式方程: + = 1. a b

直线方程的一般式Ax+By+C=0 2) 直线方程的一般式Ax+By+C=0 3)中点坐标: 3)中点坐标: ? 中点坐标

? ?

x + x2 x= 1 2 y + y2 y= 1 2


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