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8平面向量数量积的物理背景及其含义


课题 学习 目标

平面向量数量积的物理背景及其含义

课型

新授课

课时

1 课时

1.理解两个向量的夹角和数量积的概念,了解其几何意义 2.通过对定义的进一步探究,能够得到数量积的有关性质和运算律 教学过程与内容 随堂 手记

新课探究 一.数量积的定义: 已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量_________叫做 a 与 b 的 ,即 ,其中 θ 是 a 与 b 的夹角. 规定:零向量与任一向量的数量积为 .

(或

),记作

? ? ? ? 例1.已知 a ? 5, b ? 4,a与b的夹角为? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? () 1 ? ? 30? 求a ? b; (2) ? ? 90? 求a ? b;(3)? ? 120? , 求a ? b( ; 4)求a ? a( ; 5)求 ?a ? a.

? ?

探究一: a、 b 为非零向量, a ? b 何时为正?何时为负?何时为零?

? ?

探究二:数量积的性质( a、 b 为非零向量) ① a ? b ? a ?b ? ②当 a 与 b 同向时, a ? b = 特别地, a ? a = ③ a ?b 或a= ; ;当 a 与 b 反向时, a ? b =



注: a ? a常记作a

2

ab
1

二.投影的定义 如图,我们把 b cos ? ( a cos ? ) 叫做向量 b 在 a 方向上( a 在 b 方向上)的投影, 如图记作:
? ? ? ? ? ? 例2.已知 a ? 5, b ? 4,a与b的夹角为? . 当? 满足下列条件时,求b在a的方向上的投影:

?1? ? ? 120? ; ? 2? ? ? 90? ; ?3? ? ? 60? ; ? 4? ? ? 0? ; ?5? ? ? 180? .

探究三: a、 b 为非零向量, b 在 a 方向上的投影何时为正?何时为负?何时为零? 探究四:数量积的几何意义. 有了投影的定义,数量积可如何定义?

?

探究五:数量积的运算律 ⑴ ;⑵ ;⑶ ;

? ? ? ? 例3. 已知 a ? 6, b ? 4,a与b的夹角为60?, ? ?2 ? ? ? ? ? ? 求(1)(a ? b) , (2)a ? 2b ? a ? 3b ,(3) |a -b| ;

?

??

?

? ? ? ? (4)|a ? b|?|a -b|.

? ? ? ? ? ? ? ? 例4. (1)已知 a ? 3, b ? 4,a与b 不共线,k为何值时,向量a ? kb 与a ? kb 互相垂直?
2

(2)点 O 是△ABC 所在平面上的一点,且满足 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则 O 是 △ABC 的( ) A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心

? ? ? ? ? ? 例 5.(1)已知 | a |? 2, | b |? 4, a ? b ? ?4 .求向量 a , b 的夹角.
(2)已知| a |=1,| b |= 2 ,且( a - b )与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角
? ? ? ? ? ? ?

课后作业 1.判断正误: (1)若 a ? 0 ,则对任一向量 b ,有 a ? b ? 0 ; ( (2)若 a ? 0 ,则对任一非零向量 b ,有 a ? b ? 0 ;( (3)若 a ? 0 , a ? b ? 0 ,则 b ? 0 ;(

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) ) 课 后 反思

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)

(4)若 a ? b ? 0 ,则 a, b 中至少有一个为 0 ;( (5) 若 a ? 0且 a ?b ? a ? c , 则b ? c ; (

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2 ) (6) 对任意向量 a , 有a ? a ; (

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?2

) )

? ? ? ? (7) 若a ?b ? 0 , 则向量 a , b 的夹角为钝角; (
(9) ??a ? ? b ? ? a ? b ? a ?

? ? ? ? ? ? ) (8) 若 a // b , 则 | a ? b |?| a ||b | ; (
(10) a ? b ? a ? b ;(

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? ??b ?;(
)

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(11) a ? b ? c ? a ? c ? b ? c ;(

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(12) a ? b ? c ? a ? b ? c . (
3

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2 2 2.已知 a ? 6, b ? 4 ,则 a ? b =

?

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? ? ? ? ? ? 3.已知 a ? b ? 2, a ? b ? 2 ,则 a ? b
?

4.已知向量 a、b 的夹角为 60 ,|a|=2,|b|=1,则|a+b|· |a-b|=

??? ? ? ???? ? 5.已知? ABC中, AB ? a, AC ? b ,当满足下列条件时,判断? ABC的形状: ? ? ? ? ? b ? 0; ? b ? 0. ?1? a ? 2? a

.

? ? ? ? 6. 已知 a ? 2, b ? 3,a与b的夹角为 120?,求:

?1? ? a ? 2b ? ? ? a ? 2b ?;
? ?

?

?

? -2b |. ? 2? |a

?

, a ? b且2a ? 3b与ka-4b也互相垂直,求k的值. 7. 若 a ? b ? 1

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8.已知|a|=1,|b|= 2 ,(1)若 a∥b,求 a· b;(2)若 a、b 的夹角为60° ,求|a+b|.

9. 已知 a ? 4, b ? 3 , a 与 b 的夹角为 120 ,且 c ? a ? 2b , d ? 2a ? kb ,问当 k 为何
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值时, (1) c ? d ; (2) c // d

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10. 设 m、n 是两个单位向量,其夹角为60°,求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角.

4

5


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