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福建省晋江市季延中学2013-2014学年高一数学上学期期中试题新人教A版


考试时间:120 分钟

满分:150 分

一、选择题(本大题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的. 1、设集合 A ? ?2, 4,5,7? , B ? ?3, 4,5? ,则 A∩B=( A. ?4,5? B. ?2,3, 4,5,7? C. ?2,7? ) ) D. ?3,

4,5,6,7?

2、函数 y ? 1 ? x ? x 的定义域为( A. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1}

B. {x | x ? 0} D. {x | x ? 1 或 x ? 0}

?3x ? 1, x ? 0 3、已知 f ( x) ? ? 2 则 f (? 2) =( , ?x , x ? 0
A.-3 2 +1
x

)

B.-2

C.3 2 +1 )

D .2

4、函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) B.(-1,0)

C.(0,1)

D.(1,2)

5、设奇函数 f ( x) 的定义域为 ? ?5,5? ,若当 x ? [0,5] 时, f ( x) 的图象如右下图,则不等式

f ( x) ? 0 的解是(
A. (?2,0) C. (2,5]

) B. (?5,?2] ? (2,5] D. (?5,?2] ) C. (2,2) D. (2,0) )

? 2,5?

6、函数 y =loga(x-1)+2 的图象过定点( A. (3,2) B. (2,1)

7、某林场第一年造林 10000 亩,以后每年比上一年多造林 20% ,则第四年造林( A. 14400 亩 B. 29280 亩 C. 17280 亩 D. 20736 亩

1

8、函数 y ? lg x 是(

)

A.偶函数,在区间 ( ??, 0) 上单调递增 B.偶函数,在区间 ( ??, 0) 上单调递减 C.奇函数,在区间 (0, ??) 上单调递增 D.奇函数,在区间 (0, ??) 上单调递减 9、若函数 f(x)=x -2x+m 在[2,+∞)上的最小值为-2,则实数 m 的值为( A.-3
2 2

)

B.-2

C.-1

D.1

10、如果函数 f(x)=ax +2x-3 在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数 a 的取值范围是 ( ) 1 A.a>- 4 1 C.- ≤a<0 4 1 B.a≥- 4 1 D.- ≤a≤0 4

11、在函数 y=|x| (x∈[-1,1])的图象上有一点 P(t,|t|),此函数 与 x 轴、直线 x=-1 及 x=t 围成图形(如图阴影部分)的面积为 S,则

S 与 t 的函数关系的图象可表示为 (

)

12、定义运算 a ? b ? ? A. (0,1)

?a (a ? b) ,如 1 ? 2 ? 1 ,则函数 f ( x) ? 2 x ? 2? x 的值域是( ?b (b ? a)
C. [1,??) D. (0,1]

)

B. (0,??)

2

二、填空题: (本大题共有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、计算: ( ) ? 4 ? (?2)

1 2

?1

?3

1 ? ( )0 ? ln e = 4

14、幂函数 y=f(x)的图象经过点(2 ,8),则 f(-3)值为 15、已知函数 f ( x ) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 1) , 则 x ? 0 时,,则 f ( x ) = 16、对于函数 f ( x ) 定义域中任意的 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , n ? N 有如下结论 ① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ③ ② f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ④ f ( x1n ) ? nf ( x1 )
?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

当 f ( x) ? log3 x 时,上述结论中正确的序号是 三、解答题(本大题共有 6 小题,第 17、18、19、20、21 每题 12 分,22 题 14 分,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、 (1)已知 lg 2 ? a, (ⅰ) lg 6 (2)设 3
x

lg3 ? b, 用 a,b 来表示下列式子
(ⅱ) log3 12

? 4 y ? 36 ,求 2 ? 1 的值.
x y

18、已知全集为 R,集合 A ? {x | 2 ? x ? 4}, B ? {x | 3x ? 7 ? 8 ? 2 x} , C ? {x | x ? a} (1)求 A ? B ; (2)求 A ? (CR B) ; (3)若 A ? C ,求 a 的取值范围.

19、已知二次函数 f ( x ) 的最小值为 1,且 f (0) ? f (2) ? 3 。 (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若 f ( x ) 在区间 [2a, a ? 1] 上不单调 ,求实数 a 的取值范围. ...

3

20、已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),其中 a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集.

21、某公司计划投资 A、B 两种金融产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资量成 正比例,其关系如图 1,B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例,其关系如图 2(注: 利润与投资量的单位:万元). (1)分别将 A、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式; (2)该公司已有 10 万元资金,并全部投入 A、B 两种产品中,问:怎样分配这 10 万元投 资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?

22、探究函数 f ( x ) ? x ?

4 , x ? (?? ,0) 的最大值,并确定取得最大值时 x 的值.列表如下: x
-2.2 -2.1 -2 -4 -1.9 -4.005 -1.7 -4.05 -1.5 -4.17 -1 -5 -0.5 -8.5 … …

请观察表中 y 值随 x 值变化的特点,完成以下的问题.

x
y

… …

-3 -4.3

-2.3 -4.04

-4.02 -4.005

(1)函数 f ( x) ? x ? 当x?

4 , x ? (?? ,0) 在区间 x
.

上为单调递增函数;

时, f ( x) 最大 ?

(2)判断 f ( x) ? x ? (3)若函数 h( x) ?

4 在区间 ? ?2,0? 上的单调性,并加以证明. x

x 2 ? ax ? 4 在 x ???2, ?1? 上,满足 h( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的范围。 x

4

参考答案 题序 答案 13、 3 1 A 2 C 3 D 4 B 5 A 6 C 7 C 8 B 9 B 10 D 16、 11 B 12 D

14、 -27

15、 x(1-x)

②③④

17、解: (ⅰ) 原式 ? lg 2 ? 3 ? lg 2 ? lg 3 ? a ? b ……………2 分 (ⅱ) 原式 ?

lg12 lg 2 ? 2 ? 3 ………………………………4 分 ? lg 3 lg 3 lg 2 ? lg 2 ? lg 3 2a ? b ………………………6 分 ? lg 3 b

?
x y

(2)∵ 3 ? 4 ? 36 , ∴ x ? log3 36, y ? log 4 36 ……………………………………8 分 ∴

1 1 ? log 36 3, ? log 36 4 ……………………………………10 分 x y

∴ 18、

2 1 ? = 2log36 3 ? log36 4 ? log36 (32 ? 4) ? 1 ……………12 分 x y

19、解: (1)由已知,设 f ( x) ? a( x ?1) ? 1 ,…………………………3 分
2 2 由 f (0) ? 3 ,得 a ? 2 ,故 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 3 。…………………6 分

(2)要使函数不单调,则 2a ? 1 ? a ? 1 ,则 0 ? a ? 20、解 (1)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),则?

1 。……………12 分 2
解得-1<x<1………3 分

?x+1>0, ? ? ?1-x>0,

5

故所求函数 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}.……………………………4 分 (2)由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1},且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) =-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),故 f(x)为奇函数.……………………8 分 (3)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)当 a>1 时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}内是增函数, 由 f(x)>0 得 loga(x+1) >loga(1-x),………………………10 分 所以 x+1>1-x,得 x>0,而-1<x<1,解得 0<x<1.,…………………11 分 所以使 f(x)>0 的 x 的解集是{x|0<x<1}.…………………………12 分 21、解 (1)设投资 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元, 依题意可设 f(x)=k1x,g(x)=k2 x. 1 由图 1,得 f(1)=0.2,即 k1=0.2= . 5 4 由图 2,得 g(4)=1.6,即 k2× 4=1.6,∴k2= . 5 1 4 故 f(x)= x (x≥0),g(x)= x(x≥0).……………………………6 分 5 5 (2)设 B 产品投入 x 万元,则 A 产品投入 10-x 万元,设企业利润为 y 万元, 1 4 由(1)得 y=f(10-x)+g(x)=- x+ x+2(0≤x≤10). 5 5 1 4 1 14 2 ∵y=- x+ x+2=- ( x-2) + ,0≤ x≤ 10. 5 5 5 5 ∴当 x=2,即 x=4 时,

ymax= =2.8. ………………………………………………11 分
因此当 A 产品投入 6 万元,B 产品投入 4 万元时, 该企业获得最大利润为 2.8 万元.………………………12 分 22、解: (1) (??, ?2)

14 5

x=2 时, f ( x)max ? ?4 .........................3 分

(2) f ( x)在[?2,0)上为减函数 ......................................4 分 证明:任取 x1 , x2 ?[?2,0)且x1 ? x2 则................................5 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ... ? ( x1 ? x2 ) ?

x2 ? 4 ..................................7 分 x1 x2

?2 ? x1 ? x2 ? 0, ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 4 ? 0 .............8 分 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x)在[?2,0)上为减函数 .........9 分

6

(3)不等式化为: a ? x ?

4 在[?2, ?1]上恒成立 ,所以 a ? f ( x)min ? f (?1) ? ?5 x

所以 a 的取值范围是 (??, ?5] 。.........................................14 分

7


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