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高中数学课件 正弦函数、余弦函数的性质


1.4.2

正弦函数、余弦函数的性质 第二课时

问题提出

1.周期函数是怎样定义的? 对于函数 f(x) ,如果存在一个非 零常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一 个值时,都有 f(x +T)=f(x), 那么函 数f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 就 叫做这个函数的周期.

2.正

、余弦函数的最小正周期是多少? y = A cos(wx + j ) y = A sin(wx和 +j) 函数
(A ? 0, w 0)

的最小正周期是多少?

3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质,此外,正、余弦函数还具有 哪些性质呢?我们将对此作进一步探究.

探究(一):正、余弦函数的奇偶性和单调性

思考1:观察下列正弦曲线和余弦曲线的 对称性,你有什么发现?
1 -6π -4π -5π -3π -1
?? ? 2

y

y=sinx
π 3π 2π 4π 5π 6π x

-2π


O

?? ? 2
?? ? 2 ?? ? 2

? ? 1 2
O

y

? 2
?? 2

y=cosx
?? 2
?? 2

?? 2

x

??? ? 2

-1

??? 2

思考2:上述对称性反映出正、余弦函数 分别具有什么性质?如何从理论上加以 验证? 正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.

思考3:观察正弦曲线,正弦函数在哪些 区间上是增函数?在哪些区间上是减函 数?如何将这些单调区间进行整合?
1 -6π y π
O

y=sinx
3π 2π 4π 5π 6π

-4π
-5π -3π

-2π


-1

x

正弦函数在每一个闭区间
[ ? 2k ???? ? ??

? ? [? ? 2k ???? ? 2k ??? 2 ?

上都是增函数;在每一个闭区间
? 2k ????? ? ?? 上都是减函数.

思考4:类似地,余弦函数在哪些区间上 是增函数?在哪些区间上是减函数?
?? ? 2

?? ? 2
?? ? 2 ?? ? 2

? ? 1 2
O

y

? 2
?? 2

y=cosx
?? 2
?? 2

?? 2

x

??? ? 2

-1

??? 2

余弦函数在每一个闭区间 [?? ? 2k ????2k ??? 上都是增函数;在每一个闭区间
[2k ????? ? 2k ????? ? ?? 上都是减函数.

思考5:正弦函数在每一个开区间 ? (2kπ ,2 +2kπ ) (k∈Z)上都是增函 数,能否认为正弦函数在第一象限是增 函数?

探究(二):正、余弦函数的最值与对称性

思考1:观察正弦曲线和余弦曲线,正、 余弦函数是否存在最大值和最小值?若 存在,其最大值和最小值分别为多少?
思考 2 :当自变量 x 分别取何值时,正弦 函数y=sinx取得最大值1和最小值-1?
? 正弦函数当且仅当 x ? 2k ? ? ? 时取最大 ?? 值1, 当且仅当 x ? 2k ? ? 时取最小值-1 ?

思考 3 :当自变量 x 分别取何值时,余弦 函数y=cosx取得最大值1和最小值-1?

余弦函数当且仅当 x ? 2k ? 时取最大值1, 当且仅当 x ? (2k ? 1)? 时取最小值-1.

思考4:根据上述结论,正、余弦函数的 值域是什么?函数y=Asinω x(Aω ≠0) 的值域是什么? [-|A| , |A|] 思考5:正弦曲线除了关于原点对称外, 是否还关于其它的点和直线对称?

正弦曲线关于点(kπ ,0)和直线
p x = k p + (k 2 Z ) 对称.

思考 6 :余弦曲线除了关于 y 轴对称外, 是否还关于其它的点和直线对称? 余弦曲线关于点 对称.
p (k p + , 0) 和直线 x=kπ 2

理论迁移

例1 求下列函数的最大值和最小值,并 写出取最大值、最小值时自变量x的集合 (1) y=cosx+1,x∈R; (2)y=-3sin2x,x∈R.

例2 比较下列各组数的大小:
? ? (1) sin( ? )与 sin( ? ); 18 10
23? 17 ? (2) cos( ? )与 cos( ? ). 5 ?

例3 求函数

1 ? y ? sin( x ? , ) 2 3

x∈[-2π ,2π ]的单调递增区间.

小结作业

1. 正、余弦函数的基本性质主要指周期 性、奇偶性、单调性、对称性和最值, 它们都是结合图象得出来的,要求熟练 掌握.

2. 正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函 数 . 一 般 地 , y=Asinω x 是 奇 函 数 , y=Acosω x(Aω ≠0)是偶函数.

3. 正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点,简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理.

作业:P40-41练习:1,2,3,5,6.


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