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黑龙江省大庆铁人中学2016届高三上学期期中试题


大庆铁人中学高三学年上学期期中考试 理科数学试题
试卷说明: 1、本试卷满分 150 分,答题时间 120 分钟。 2、请将答案直接填涂在答题卡上,考试结束只交答题卡。

第Ⅰ卷(选择题

满分 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是

符合题目要求的.) 1.已知集合 A ? x x ? 3 x ? 18 ? 0 , Z 为整数集,则集合 A ? Z 中所有元素的和为( A.12 B.15 C.18 2.下列函数中,既是偶函数又存在零点的函数是 ( A.y=sin x B.y=cos x 3.sin20° cos10° -cos160° sin170° = A. ? D.21 ) C.y=ln x D. y ? x ? 1
2

?

2

?



3 2

B.

3 2

1 C.- 2

1 D. 2

?4 x ? 5 y ? 8 ? 4.若实数 x,y 满足约束条件 ?1 ? x ? 3 ,则 z ? 3 x ? 2 y 的最小值为 ( ?0 ? y ? 2 ?
A.

)

31 5

B. 6

C.

23 5

D. 4

→ → → → → → 5.已知△ABC 和点 M 满足MB+MC=-MA,若存在实数 m 使得 mAB+mAC=AM成立,则 m 等于( ) 1 1 A. B.2 C. D.3 2 3 6.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于( ) A.4 B.8 C.9 D.18 7. 将函数 f ? x ? ? cos 2x 的图象向左平移 π A.一个对称中心是(- ,0) 3 π C.在区间[- ,0]上单调递减 3 8.函数 f ? x ? ?

? 个单位得到函数 g ? x ? 的图象, 则函数 g ? x ? ( 3 ? B.一条对称轴方程为 x= 3
π D.在区间[0, ]上单调递增 3 )

)

sin x 的图象大致为( x2 ? 1

9.设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,若

S504 S 1 = ,则 1008 = ( S1008 10 S2016
-1-

)

A.

1 26

B.

1 82

C.

2 5

D.

10 729
) D..以上都不对

1 4 10.设 α、β 都是锐角,且 cos α= ,sin(α+β)= ,则 cos β 等于( 3 5
A.

8 2- 3 15

B.

8 2 +3 15

C.

8 2 - 3 8 2 +3 或 15 15

11.已知向量 a,b 满足|a|=2|b|≠0,且关于 x 的函数 f(x)=2x3-3| a |x2+6 a ?b x+5 在实数集 R 上 有极值,则向量 a,b 的夹角的取值范围是( ) π A.( ,π) 3 π B.( ,π] 3 π C.[ ,π] 3 π D.(0, ) 3

12.以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 ? ? x ? 组成的集合:对 于函数 ? ? x ? ,存在一个正数 M ,使得函数 ? ? x ? 的值域包含于区间 ? ?M , M ? . 例如,当

?1 ? x ? ? x3 ,?2 ? x ? ? sin x时,?1 ? x ? ? A,?2 ? x ? ? B .现有如下命题:
①设函数 f ? x ? 的定义域为 D,则“ f ? x ? ? A ”的充要条件是“ ?b ? R, ?a ? D, f ? a ? ? b ”; ②函数 f ? x ? ? B 的充要条件是 f ? x ? 有最大值和最小值; ③若函数 f ? x ? , g ? x ? 的定义域相同,且 f ? x ? ? A, g ? x ? ? B,则f ? x ? ? g ? x ? ? B ④若函数 f ? x ? ? a ln ? x ? 2 ? ? 其中的真命题为 ( ) A.①③ B.②③

x ? x ? ?2, a ? R ? 有最大值,则 f ? x ? ? B . x ?1
2

C.①②④

D.①③④

第Ⅱ卷

(非选择题

满分 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b=________。 π 14.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c2=(a-b)2+6,C= ,则△ABC 3 的面积为____。 禳 镲 2 15.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=6,S7=35,则数列 睚 的前 100 项和为 an an +1 镲 铪 ________。 16. 若函数 f ( x) ? 范围是 。

1 3 x ? ax 2 ? (2 ? a ) x ? b , f ( x) 有 6 个不同的单调区间,则 a 的取值 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

-2-

17(本小题满分 10 分) 已知 a ? R ,命题 p : “ ?x ?[0, 2], 2x ? 4x ? a ? 0 均成立” ,命题 q : “函数 , f ( x) ? ln( x2 ? ax ? 2) 定义域为 R” (1)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题 " p ? q " 为真命题,命题 " p ? q " 为假命题,求实数 a 的取值范围。 18(本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sin ωx+ 3cosωx,1),n=(2cos ωx,- 3)(ω>0),函数 f(x)=m· n 的两条相 邻对称轴 π 间的距离为 , 2 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; π π (2)当 x∈[- , ] 时,求 f(x)的值域。 4 4 19(本小题满分 12 分) 在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,BC=4,E 是 PD 的 中点, (1)求证:平面 PDC⊥平面 PAD; (2)求二面角 EACD 的余弦值; (3)求直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值。

第 19 题图

20(本小题满分 12 分) 已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=2an-2n 对 n∈N*成立, (1)证明数列{an+2}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn 。

21(本小题满分 12 分) y2 x2 如图所示,曲线 C 由部分椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线 C2:y=-x2+ a b 1(y≤0)连接 而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 所在椭圆的离心率为

2 , 2

(1)求 a,b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1, C2 分别交于点 P, Q(P, Q, A, B 中任意两点均不重合), 若 AP⊥AQ, 求直线 l 的方程。
-3-

第 21 题图 22(本小题满分 12 分)

设函数 f ? x ? ? ?1 ? ax ? ln ? x ?1? ? bx ,其中 a, b ? R ,曲线 y ? f ? x ? 恒与 x 轴相切于坐

标原点.

?1? 求常数 b 的值; ? 2 ? 当 0 ? x ? 1 时,关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围;
10001 ? ? 3? 求证: ? ? ? ? 10000 ?
10000.4

? 1001 ? ?e?? ? ? 1000 ?

1000.5



大庆铁人中学高三学年上学期期中考试理科数学参考答案 ABDCCD CABABD
x

(-4,-8)

3 3 2

50 51

(1,2)

17.解 :⑴设 t ? 2 , t ?[1, 4]

,则有 y ? t ? t 2 ? a, ymax ? a ? 0 ,

故当命题 p 为真命题时, a ? 0 , ⑵命题 q 为真命题时, ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,解得 ?2 ? a ? 2 因为命题 " p ? q " 为真命题,命题 " p ? q " 为假命题,所以命题 p 与命题 q 一真一假,

当命题 p 为真,命题 q 为假时, ?

?a ? 0 ? a ? ?2 , ?a ? ?2或a ? 2
?a ? 0 ? 0 ? a ? 2, ? 2 ? a ? 2 ?

当命题 p 为假,命题 q 为真时, ? 综上:

a ? (??, ?2] ? (0, 2)

π 18. 解:(1)f(x)=m· n=2sin ωxcos ωx+2 3cos2ωx- 3=sin 2ωx+ 3cos 2ωx=2sin(2ωx+ ). 3 2π π π π π 5π 因为 T= =π,ω=1.所以 f(x)=2sin(2x+ ).由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z)得 kπ- ≤x≤kπ 2ω 3 2 3 2 12 π + (k∈Z). 12 5π π 解得函数 f(x)的单调递增区间是[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 12 12

-4-

π π π π π (2)由(1)可知,f(x)在[- , ]上单调递增,在[ , ]上单调递减,且一条对称轴方程为 x= , 4 12 12 4 12 π π f(x)最大值为 f( )=2,最小值为 f(- )=-1,所以 f(x)∈[-2,2],即 f(x)的值域是[-1,2] 12 4 19.解:以为 A 原点,AB、AD、AP 所在直线为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),E(0,2,1),P(0,0,2), (1)证明:∵·=0,∴CD⊥AD.,∵·=0,∴CD⊥AP. 又∵AP∩AD=A,∴CD⊥平面 PAD.又∵CD?平面 PDC,∴平面 PDC⊥平面 PAD. ? ?2y+z=0, 1 (2)设平面 AEC 的法向量 n=(x,y,z),则即? 令 z=1,则 y=- ,x=1, 2 ?2x+4y=0, ? 1 ∴平面 AEC 的一个法向量为 n=(1,- ,1),又平面 ACD 的法向量为=(0,0,2), 2 2 2 2 ∴cos〈n, 〉== = ,∴锐二面角 EACD 的余弦值是 . 3 3 3 ×2 2 1 (3)设直线 CD 与平面 AEC 所成的角为 θ,平面 AEC 的一个法向量为 n=(1,- ,1)且=(-2, 2 0,0), 2 2 2 ∴sin θ== = ,即直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值为 . 3 3 3 ×2 2 20.解:(1)证明:由题,当 n=1 时,a1=S1,故 a1=2, 当 n≥2 时,由,an=Sn-Sn-1,化简得 an=2an-1+2,即 an+2=2(an-1+2) ,且 a1+2=4 故数列{an+2}是等比数列,公比为 2,首项为 4,∴an=2n+1-2. (2)由(1)知∴Tn=a1+2a2+…+nan=(n-1)2n 2+4 ?n(n ? 1)


2 c 21. 解: (1)在 C2 的方程中令 y=0 可得 b=1, 由 = 及 a2-c2=b2=1 得 a= 2 , ∴a= 2 ,b a 2
=1. (2)由(1)知,上半椭圆 C1 的方程为 y2+2x2=2(y≥0).易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直, 设其方程为 x=my+1 (m≠0),并将其代入 C1 的方程,

? 1 ? 2m2 ?4m ? 整理得(2m +1)x +4my=0,故可解得点 P 的坐标为 ? , 2 ? ,显然,m<0 2 ? 2m ? 1 2m ? 1 ?
2 2

同理,将 x=my+1 (m ≠ 0) 代入 C2 的方程 , 整理得 m2y2 + y+2my = 0 ,得点 Q 的坐标为

? ?m ? m2 ?2m ? 1 ? , ? ? 2 m2 ? ? m
∵AP⊥AQ,∴·= ?

? ?m ? m2 ? ? 1 ? 2m 2 ? ?2 m ? 1 ? 4 m ? 1 ? 1? ? ? 2 =0, ?? 2 2 m2 2m ? 1 ? m ? ? 2m ? 1 ?

1 ,符合 m<0,故直线 l 的方程为 4x+y-4=0. 4 1 ? ax ? b ,由 f ?(0) ? 0 ,所以 1 ? b ? 0 ? b ? 1 . 22..解: (1) f ?( x) ? ?a ln(1 ? x) ? 1? x
即 8m2 +2m=0,解得 m=-

-5-

(2) 由(1)得 f ( x) ? (1 ? ax) ln(1 ? x) ? x , 0 ? x ? 1 , f ?( x) ? ? a ln(1 ? x ) ?

1 ? ax ?1 1? x

f ??( x) ? ?

a ?a(1 ? x) ? (1 ? ax) ax ? 2a ? 1 . ? ?? 2 1? x (1 ? x) (1 ? x) 2
a( x ? 2a ? 1 ) a ? 0 ,于是 f ?( x ) 在 [0,1] 上单调 (1 ? x ) 2

1 ① 当 a ? ? 时,由于 0 ? x ? 1 ,有 f ??( x ) ? ? 2

递增,从而 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ,因此 f ( x) 在 [0,1] 上单调递增,即 f ( x) ? f (0) ? 0 而且仅有

f (0) ? 0 ;
②当 a ? 0 时,由于 0 ? x ? 1 ,有 f ??( x) ? ?

ax ? 2a ? 1 ? 0 ,于是 f ?( x ) 在 [0,1] 上单调 (1 ? x) 2

递减,从而 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ,因此 f ( x) 在 [0,1] 上单调递减,即 f ( x) ? f (0) ? 0 而且 仅有 f (0) ? 0 ; ③当 ?

1 2a ? 1 ? a ? 0 时,令 m ? min{1, ? } ,当 0 ? x ? m 时, 2 a

f ??( x) ? ?

a( x ?

2a ? 1 ) a ? 0 ,于是 f ?( x ) 于是 f ?( x ) 在 [0, m] 上单调递减,从而 (1 ? x ) 2

f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ,因此 f ( x) 在 [0, m] 上单调递减,即 f ( x) ? f (0) ? 0 而且仅有 f (0) ? 0 ;
综上,符合题意的 a ? (??, ? ] . (3) 对要证明的不等式等价变形如下:
2 10001 10000.4 1001 1000.5 1 10000? 5 1 1000? 1 2 ( ) ?e?( ) ? (1 ? ) ? e ? (1 ? ) 10000 1000 10000 1000

1 2

所以可以考虑证明:对于任意的正整数 n ,不等式 (1 ? ) 且继续作如下等价变形

1 n

n?

2 5

1 n? 1 ? e ? (1 ? ) 2 恒成立. 并 n

1 n? 2 1 n? 1 2 1 1 1 (1 ? ) 5 ? e ? (1 ? ) 2 ? (n ? ) ln(1 ? ) ? 1 ? (n ? ) ln(1 ? ) n n 5 n 2 n

-6-

2 1 1 ? (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 ( p) ? ? 5n n n ?? ?(1 ? 1 ) ln(1 ? 1 ) ? 1 ? 0 ( q) ? 2n n n ?
对于 ( p ) 相当于(2)中 a ? ?

2 1 1 1 ? (? , 0) , m ? 情形,有 f ( x) 在 [0, ] 上单调递减, 5 2 2 2

即 f ( x) ? f (0) ? 0 而且仅有 f (0) ? 0 .

2 1 1 1 ,当 n ? 2 时, (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 成立; 5n n n n 2 7 7 当 n ? 1 时, (1 ? ) ln 2 ? 1 ? ln 2 ? 1 ? ? 0.7 ? 1 ? 0 . 5 5 5 2 1 1 从而对于任意正整数 n 都有 (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 成立. 5n n n 1 对于 ( q ) 相当于(2)中 a ? ? 情形,对于任意 x ? [0,1] ,恒有 f ( x) ? 0 而且仅有 2 1 1 1 1 f (0) ? 0 . 取 x ? ,得:对于任意正整数 n 都有 (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 成立. 2n n n n
取x?
2 1 n? 5 1 n? 1 ? e ? (1 ? ) 2 恒成立. 因此对于任意正整数 n ,不等式 (1 ? ) n n

这样依据不等式 (1 ? ) 右边,即可得到 (

1 n

n?

2 5

1 n? 1 ? e ? (1 ? ) 2 ,再令 n ? 10000 利用左边,令 n ? 1000 利用 n

10001 10000.4 1001 1000.5 ) ?e?( ) 成立. 10000 1000

-7-


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