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【2014-2015学年高中数学(人教A版,必修一) 第二章基本初等函数 2.2.1第2课时 课时作业


第 2 课时

对数的运算

课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证 明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数.

1.对数的运算性质 如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(M· N)=__________

__________; M (2)loga =____________________; N (3)logaMn=__________(n∈R). 2.对数换底公式 logcb logab= (a>0,且 a≠1,b>0,c>0,且 c≠1); logca 特别地:logab· logba=____(a>0,且 a≠1,b>0,且 b≠1).

一、选择题 1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( A.logax· logay=loga(x+y) B.(logax)n=nlogax logax n C. =loga x n logax D. =logax-logay logay 2.计算:log916· log881 的值为( ) 1 8 A.18 B. C. 18 3 1 3.若 log5 · log36· log6x=2,则 x 等于( ) 3 1 A.9 B. C.25 9 1 1 4.已知 3a=5b=A,若 + =2,则 A 等于( a b A.15 B. 15 C.± 15 D.225 5.已知 log89=a,log25=b,则 lg 3 等于( a 3 A. B. b-1 2?b-1? 3?a-1? 3a C. D. 2b 2?b+1?

)

3 D. 8 1 D. 25 )

)

a 6.若 lg a,lg b 是方程 2x2-4x+1=0 的两个根,则(lg )2 的值等于( b 1 1 A.2 B. C.4 D. 2 4 题 号 1 2 3 4 5 6

)

答 二、填空题



3 4 7.2log510+log50.25+( 25- 125)÷ 25=_____________________________________. 8.(lg 5)2+lg 2· lg 50=________. 9.2008 年 5 月 12 日,四川汶川发生里氏 8.0 级特大地震,给人民的生命财产造成了巨 大的损失.里氏地震的等级最早是在 1935 年由美国加州理工学院的地震学家里特判定 2 的.它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关.震级 M= lg E-3.2,其中 E(焦耳) 3 为以地震波的形式释放出的能量. 如果里氏 6.0 级地震释放的能量相当于 1 颗美国在二战 时投放在广岛的原子弹的能量,那么汶川大地震所释放的能量相当于 ________颗广岛原 子弹. 三、解答题 1 5 10.(1)计算:lg -lg +lg 12.5-log89· log34; 2 8 2 1 (2)已知 3a=4b=36,求 + 的值. a b

11.若 a、b 是方程 2(lg x)2-lg x4+1=0 的两个实根,求 lg(ab)· (logab+logba)的值.

能力提升

12.下列给出了 x 与 10x 的七组近似对应值: 组号 一 二 三 四 五 六 七 x 0.301 03 0.477 11 0.698 97 0.778 15 0.903 09 1.000 00 1.079 18 10x 2 3 5 6 8 10 12 假设在上表的各组对应值中,有且仅有一组是错误的,它是第________组.( ) A.二 B.四 C.五 D.七 13.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年的剩余质量约是原来的 75%,估 1 计约经过多少年,该物质的剩余量是原来的 ?(结果保留 1 位有效数字)(lg 2≈0.301 0,lg 3 3≈0.477 1)

1.在运算过程中避免出现以下错误: loga(MN)=logaM· logaN. M logaM loga = . N logaN logaNn=(logaN)n. logaM± logaN=loga(M± N). 2.根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式:

logcb logab= (a>0 且 a≠1,c>0 且 c≠1,b>0). logca 由对数换底公式又可得到两个重要结论: (1)logab· logba=1; m (2) logan bm = logab. n 3.对于同底的对数的化简常用方法:(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的 对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成两对数的和(差).对于常用对数的化简要创设情境, 充分利用“lg 5+lg 2=1”来解题.

第 2 课时
知识梳理 1.(1)logaM+logaN 作业设计 1.C

对数的运算

(2)logaM-logaN (3)nlogaM 2.1

lg 16 lg 81 4lg 2 4lg 3 8 2.C [log916· log881= · = · = .] lg 9 lg 8 2lg 3 3lg 2 3 -lg 3 lg 6 lg x 3.D [由换底公式,得 · · =2, lg 5 lg 3 lg 6 1 - lg x=-2lg 5,x=5 2= .] 25 4.B [∵3a=5b=A>0, ∴a=log3A,b=log5A. 1 1 由 + =logA3+logA5=logA15=2, a b 得 A2=15,A= 15.] lg 9 5.C [∵log89=a,∴ =a. lg 8 3 ∴log23= a. 2 log23 log23 3a lg 3= = = .] log210 1+log25 2?b+1? 6.A [由根与系数的关系可知 lg a+lg b=2, 1 lg alg b= . 2 a2 于是(lg ) =(lg a-lg b)2 b 1 =(lg a+lg b)2-4lg alg b=22-4× =2.] 2 6 7. 5-3 3 解析 原式=2(log510+log50.5)+(
2 1 ? 3 2

25 25

4



125 ) 4 25

=2log5(10×0.5)+ 5
1 6

?5

3 1 ? 2 2

6 =2+ 5 -5= 5-3. 8.1 解析 (lg 5)2+lg 2· lg 50=(lg 5)2+lg 2(lg 5+lg 10) 2 =(lg 5) +lg 2· lg 5+lg 2=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2 =lg 5+lg 2=1. 9.1 000

解析 设里氏 8.0 级、6.0 级地震释放的能量分别为 E2、E1, 2 E2 则 8-6= (lg E2-lg E1),即 lg =3. 3 E1 E2 ∴ =103=1 000, E1 即汶川大地震所释放的能量相当于 1 000 颗广岛原子弹. 1 5 10.解 (1)方法一 lg -lg +lg 12.5-log89· log34 2 8 1 8 2lg 3 2lg 2 4 1 =lg( × ×12.5)- · =1- =- . 2 5 3lg 2 lg 3 3 3 1 5 方法二 lg -lg +lg 12.5-log89· log34 2 8 1 5 25 lg 9 lg 4 =lg -lg +lg - · 2 8 2 lg 8 lg 3 2lg 3 2lg 2 =-lg 2-lg 5+3lg 2+(2lg 5-lg 2)- · 3lg 2 lg 3 4 4 1 =(lg 2+lg 5)- =1- =- . 3 3 3 (2)方法一 由 3a=4b=36 得:a=log336,b=log436, 2 1 所以 + =2log363+log364=log36(32×4)=1. a b 方法二 因为 3 =4 =36,所以 36 =3, 36 =4,
a b
1 a
1 b

36 =32×4, 所以( 36 ) ·
2 1 =36,故 + =1. a b 11.解 原方程可化为 2(lg x)2-4lg x+1=0. 设 t=lg x,则方程化为 2t2-4t+1=0, 1 ∴t1+t2=2,t1· t2= . 2 又∵a、b 是方程 2(lg x)2-lg x4+1=0 的两个实根, ∴t1=lg a,t2=lg b, 1 即 lg a+lg b=2,lg a· lg b= . 2 ∴lg(ab)· (logab+logba) lg b lg a =(lg a+lg b)· ( + ) lg a lg b ?lg b?2+?lg a?2 =(lg a+lg b)· lg a· lg b ?lg a+lg b?2-2lg a· lg b =(lg a+lg b)· lg a· lg b 1 22-2× 2 =2× =12, 1 2 即 lg(ab)· (logab+logba)=12. 12.A [由指数式与对数式的互化可知, 10x=N?x=lg N, 将已知表格转化为下表: 组号 一 二 三 四 N 2 3 5 6 lg N 0.301 03 0.477 11 0.698 97 0.778 15 即 36 a
2 1 ? b

1 a 2

1 b

五 8 0.903 09

六 10 1.000 00

七 12 1.079 18

∵lg 2+lg 5=0.301 03+0.698 97=1, ∴第一组、第三组对应值正确. 又显然第六组正确, ∵lg 8=3lg 2=3×0.301 03=0.903 09, ∴第五组对应值正确. ∵lg 12=lg 2+lg 6=0.301 03+0.778 15=1.079 18, ∴第四组、第七组对应值正确. ∴只有第二组错误.] 13.解 设这种放射性物质最初的质量是 1,经过 x 年后,剩余量是 y,则有 y=0.75x. 1 lg 3 1 依题意,得 =0.75x,即 x= 3 lg 0.75 -lg 3 lg 3 = = lg 3-lg 4 2lg 2-lg 3 0.477 1 = ≈4. 2×0.301 0-0.477 1 1 ∴估计约经过 4 年,该物质的剩余量是原来的 . 3


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