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2016年中考数学专题复习第23讲:圆的有关概念及性质(含详细参考答案)


2016 年中考数学专题复习第二十三讲 圆的有关概念及性质
【基础知识回顾】 一、 圆的定义及性质: 1、 圆的定义: ⑴形成性定义:在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫 线段 OA 叫做 ⑵描述性定义:圆是到定点的距离等于 的点的集合 【名师提醒:1、在一个圆中,圆←决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中 的弦,弦不一定是锥】 2、弦与弧: 弦:连接圆上任意两点的 叫做弦 弧:圆上任意两点间的 叫做弧,弧可分为 、 、 三类 3、圆的对称性: ⑴轴对称性:圆是轴对称图形,有 条对称轴 的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是 【名师提醒:圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转 性,即绕圆心旋转任意角度 都被与原来的图形重合】 二、 垂径定理及推论: 1、垂径定理:垂直于弦的直径 ,并且平分弦所对的 2、推论:平分弦( )的直径 ,并且平分弦所对的 【名师提醒:1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分 弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注 意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线 3、垂径定理常用作计算,在半径 r 弦 a 弦心 d 和弦 h 中已知两个可求另外 两个】 三、圆心角、弧、弦之间的关系: 1、圆心角定义:顶点在 的角叫做圆心角 2、定理:在 中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应 的其余各组量也分别 【名师提醒:注意:该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】 四、 圆周角定理及其推论: 1、圆周角定义:顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角 2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的 圆心角的 推论 1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论 2、半圆(或直弦)所对的圆周角是 900 的圆周角所对的弦是 【名师提醒:1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而 它所对的圆周角有 个, 它们的关系是 2、 作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】 五、 圆内接四边形:

定义:如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做 性质:圆内接四边形的对角 【名师提醒:圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】

这个圆叫做

考点一:垂径定理 例 1 (2012?绍兴)如图,AD 为⊙O 的直径,作⊙O 的内接正三角形 ABC,甲、乙两人的 作法分别是: 甲:1、作 OD 的中垂线,交⊙O 于 B,C 两点, 2、连接 AB,AC,△ABC 即为所求的三角形 乙:1、以 D 为圆心,OD 长为半径作圆弧,交⊙O 于 B,C 两点. 2、连接 AB,BC,CA.△ABC 即为所求的三角形. 对于甲、乙两人的作法,可判断( ) A.甲、乙均正确 B.甲、乙均错误 C.甲正确、乙错误 D.甲错误,乙正确

考点:垂径定理;等边三角形的判定与性质;含 30 度角的直角三角形. 专题:计算题. 分析:由甲的思路画出相应的图形,连接 OB,由 BC 为 OD 的垂直平分线,得到 OE=DE, 且 BC 与 OD 垂直,可得出 OE 为 OD 的一半,即为 OB 的一半,在直角三角形 BOE 中,根 据一直角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为 30° ,得到∠OBE 为 30° ,利用直角 三角形的两锐角互余得到∠BOE 为 60° ,再由∠BOE 为三角形 AOB 的外角,且 OA=OB, 利用等边对等角及外角性质得到∠ABO 也为 30° ,可得出∠ABC 为 60° ,同理得到∠ACB 也为 60° ,利用三角形的内角和定理得到∠BAC 为 60° ,即三角形 ABC 三内角相等,进而 确定三角形 ABC 为等边三角形; 由乙的思路画出相应的图形,连接 OB,BD,由 BD=OD,且 OB=OD,等量代换可得出三 角形 OBD 三边相等,即为等边三角形,的长∠BOE=∠DBO=60° ,由 BC 垂直平分 OD,根 据三线合一得到 BE 为角平分线,可得出∠OBE 为 30° ,又∠BOE 为三角形 ABO 的外角, 且 OA=OB,利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO 也为 30° ,可得出∠ABC 为 60° ,同 理得到∠ACB 也为 60° ,利用三角形的内角和定理得到∠BAC 为 60° ,即三角形 ABC 三内 角相等,进而确定三角形 ABC 为等边三角形,进而得出两人的作法都正确. 解答:解:根据甲的思路,作出图形如下:

连接 OB,

∵BC 垂直平分 OD, ∴E 为 OD 的中点,且 OD⊥BC,

1 OD,又 OB=OD, 2 1 在 Rt△OBE 中,OE= OB, 2
∴OE=DE= ∴∠OBE=30° ,又∠OEB=90° , ∴∠BOE=60° , ∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA, 又∠BOE 为△AOB 的外角, ∴∠OAB=∠OBA=30° , ∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60° , 同理∠C=60° , ∴∠BAC=60° , ∴∠ABC=∠BAC=∠C, ∴△ABC 为等边三角形, 故甲作法正确; 根据乙的思路,作图如下:

连接 OB,BD, ∵OD=BD,OD=OB, ∴OD=BD=OB, ∴△BOD 为等边三角形, ∴∠OBD=∠BOD=60° , 又 BC 垂直平分 OD,∴OM=DM, ∴BM 为∠OBD 的平分线, ∴∠OBM=∠DBM=30° , 又 OA=OB,且∠BOD 为△AOB 的外角, ∴∠BAO=∠ABO=30° , ∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60° , 同理∠ACB=60° , ∴∠BAC=60° , ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC, ∴△ABC 为等边三角形, 故乙作法正确, 故选 A 点评:此题考查了垂径定理,等边三角形的判定,含 30° 直角三角形的判定,三角形的外角 性质,以及等腰三角形的性质,熟练掌握定理及判定是解本题的关键. 对应训练

1.(2012?哈尔滨)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠B=60° ,OP⊥AC 于点 P,OP=2 3 , 则⊙O 的半径为( A.4 3 ) B.6 3 C.8 D.12

考点:垂径定理;含 30 度角的直角三角形;圆周角定理. 专题:计算题. 分析:由∠B 的度数,利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍,求出∠AOC 的度数, 再由 OA=OC, 利用等边对等角得到一对角相等, 利用三角形的内角和定理求出∠OAC=30° , 又 OP 垂直于 AC, 得到三角形 AOP 为直角三角形, 利用 30° 所对的直角边等于斜边的一半, 根据 OP 的长得出 OA 的长,即为圆 O 的半径. 解答:解:∵圆心角∠AOC 与圆周角∠B 所对的弧都为 ? , AC ,且∠B=60° ∴∠AOC=2∠B=120° , 又 OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA=30° , ∵OP⊥AC, ∴∠AOP=90° , 在 Rt△AOP 中,OP=2 3 ,∠OAC=30° , ∴OA=2OP=4 3 , 则圆 O 的半径 4 3 . 故选 A 点评:此题考查了垂径定理,圆周角定理,等腰三角形的性质,以及含 30° 直角三角形的性 质,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.

考点二:圆周角定理 例 2 (2012?青海) 如图, AB 是⊙O 的直径, 弦 CD⊥AB 于点 N, 点 M 在⊙O 上, ∠1=∠C (1)求证:CB∥MD; (2)若 BC=4,sinM=

2 ,求⊙O 的直径. 3

考点:圆周角定理;垂径定理;解直角三角形.

? 所对的圆周角,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的 分析:(1)由∠C 与∠M 是 BD
圆周角相等,即可得∠C=∠M,又由∠1=∠C,易得∠1=∠M,即可判定 CB∥MD; (2)首先连接 AC,AB 为⊙O 的直径,可得∠ACB=90° ,又由弦 CD⊥AB,根据垂径定理

? ,继而可得∠A=∠M,又由 BC=4,sinM= 2 ,即可求得⊙O 的直径. ? = BD 的即可求得 BC
3

? 所对的圆周角, 解答:(1)证明:∵∠C 与∠M 是 BD
∴∠C=∠M, 又∵∠1=∠C, ∴∠1=∠M, ∴CB∥MD;

(2)解:连接 AC, ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB=90° , 又∵CD⊥AB,

? , ? = BD ∴ BC
∴∠A=∠M, ∴sinA=sinM, 在 Rt△ACB 中,sinA= ∵sinM=

BC , AB

2 ,BC=4, 3

∴AB=6, 即⊙O 的直径为 6. 点评:此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的判定以及三角函数等知识.此题难度适

中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用. 对应训练 37.(2012?沈阳)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点, OD⊥AC,垂足为 E,连接 BD (1)求证:BD 平分∠ABC; (2)当∠ODB=30° 时,求证:BC=OD.

考点:圆周角定理;含 30 度角的直角三角形;垂径定理. 专题:证明题.

? ?? 分析:(1)由 OD⊥AC OD 为半径,根据垂径定理,即可得 CD AD ,又由在同圆或等
圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可证得 BD 平分∠ABC; (2)首先由 OB=OD,易求得∠AOD 的度数,又由 OD⊥AC 于 E,可求得∠A 的度数,然 后由 AB 是⊙O 的直径,根据圆周角定理,可得∠ACB=90° ,继而可证得 BC=OD. 解答:证明:(1)∵OD⊥AC OD 为半径,

? ?? ∴ CD AD ,
∴∠CBD=∠ABD, ∴BD 平分∠ABC; (2)∵OB=OD, ∴∠OBD=∠0DB=30° , ∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30° +30° =60° , 又∵OD⊥AC 于 E, ∴∠OEA=90° , ∴∠A=180° -∠OEA-∠AOD=180° -90° -60° =30° , 又∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB=90° , 在 Rt△ACB 中,BC=

1 AB, 2

? ?? ∵OD= CD AD AB,
∴BC=OD. 点评:此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识.此题难度适中,注 意掌握数形结合思想的应用. 考点三:圆内接四边形的性质

例 3 (2012?深圳)如图,⊙C 过原点,且与两坐标轴分别交于点 A、点 B,点 A 的坐标

? 上一点,∠BMO=120° 为(0,3),M 是第三象限内 OB ,则⊙C 的半径长为(
A.6 B.5 C.3 D.3 2



考点:圆内接四边形的性质;坐标与图形性质;含 30 度角的直角三角形. 专题:探究型. 分析:先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB 的度数,由圆周角定理可知∠AOB=90° ,故
可得出∠ABO 的度数,根据直角三角形的性质即可得出 AB 的长,进而得出结论. 解答:解:∵四边形 ABMO 是圆内接四边形,∠BMO=120° , ∴∠BAO=60° , ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠AOB=90° , ∴∠ABO=90° -∠BAO=90° -60° =30° , ∵点 A 的坐标为(0,3), ∴OA=3, ∴AB=2OA=6, ∴⊙C 的半径长=

AB =3. 2

故选 C. 点评:本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质,熟知圆内接四 边形对角互补的性质是解答此题的关键. 对应训练 3. (2011?肇庆) 如图, 四边形 ABCD 是圆内接四边形, E 是 BC 延长线上一点, 若∠BAD=105° , 则∠DCE 的大小是( ) A.115° B.l05° C.100° D.95°

考点:圆内接四边形的性质. 专题:计算题. 分析:根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180° ,而∠BCD 与∠DEC 为邻补

角,得到∠DCE=∠BAD=105° . 解答:解:∵四边形 ABCD 是圆内接四边形, ∴∠BAD+∠BCD=180° , 而∠BCD+∠DCE=180° , ∴∠DCE=∠BAD, 而∠BAD=105° , ∴∠DCE=105° . 故选 B. 点评:本题考查了圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补.也考查了邻补角的定义 以及等角的补角相等.

【聚焦山东中考】 1.(2012?泰安)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 M,下列结论不成立的是 ( ) A.CM=DM

? ? DB ? B. CB

C.∠ACD=∠ADC

D.OM=MD

考点:垂径定理. 专题:计算题.

? 的中点, 分析: 由直径 AB 垂直于弦 CD, 利用垂径定理得到 M 为 CD 的中点, B 为劣弧 CD
可得出 A 和 B 选项成立,再由 AM 为公共边,一对直角相等,CM=DM,利用 SAS 可得出 三角形 ACM 与三角形 ADM 全等,根据全等三角形的对应角相等可得出选项 C 成立,而 OM 不一定等于 MD,得出选项 D 不成立. 解答:解:∵AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 M, ∴M 为 CD 的中点,即 CM=DM,选项 A 成立;

? ? DB ? ,选项 B 成立; ? 的中点,即 CB B 为 CD
在△ACM 和△ADM 中,

? AM ? AM ? ? ∵ ??AMC ? ?AMD ? 90 , ?CM ? DM ?

∴△ACM≌△ADM(SAS), ∴∠ACD=∠ADC,选项 C 成立; 而 OM 与 MD 不一定相等,选项 D 不成立. 故选 D 点评:此题考查了垂径定理,以及全等三角形的判定与性质,垂径定理为:垂直于弦的直径 平分弦,且平分弦所对的弧,熟练掌握垂径定理是解本题的关键. 2.(2012?东营)某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架(如图 1),若不计木条 的厚度,其俯视图如图 2 所示,已知 AD 垂直平分 BC,AD=BC=48cm,则圆柱形饮水桶的 底面半径的最大值是 cm.

2.30 考点:垂径定理的应用;勾股定理. 分析:当圆柱形饮水桶的底面半径最大时,圆外接于△ABC;连接外心与 B 点,可通过勾 股定理即可求出圆的半径. 解答:解:连接 OB,如图, 当⊙O 为△ABC 的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大. ∵AD 垂直平分 BC,AD=BC=48cm, ∴O 点在 AD 上,BD=24cm; 在 Rt△0BD 中,设半径为 r,则 OB=r,OD=48-r, ∴r2=(48-r)2+242,解得 r=30. 即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为 30cm. 故答案为:30.

点评: 此题考查把实物图转化为几何图形的能力以及勾股定理, 垂径定理的讨论和勾股定理. 3.(2012?泰安)如图,在半径为 5 的⊙O 中,弦 AB=6,点 C 是优弧 ? AB 上一点(不与 A, B 重合),则 cosC 的值为 .

3.

4 5
BD 求 AD

考点:圆周角定理;勾股定理;垂径定理;锐角三角函数的定义. 分析:首先构造直径所对圆周角,利用勾股定理得出 BD 的长,再利用 cosC=cosD= 出即可. 解答:解:连接 AO 并延长到圆上一点 D,连接 BD, 可得 AD 为⊙O 直径,故∠ABD=90° , ∵半径为 5 的⊙O 中,弦 AB=6,则 AD=10, ∴BD=

AD2 ? AB2 ? 102 ? 62 =8,
BD 8 4 = = , AD 10 5

∵∠D=∠C, ∴cosC=cosD= 故答案为:

4 . 5

点评: 此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义和圆周角定理, 根据已知构造直角 三角形 ABD 是解题关键. 4. (2012?青岛)如图,点 A、B、C 在⊙O 上,∠AOC=60° ,则∠ABC 的度数是 .

4.150° 考点:圆周角定理. 分析:首先在优弧 ? ADC 上取点 D,连接 AD,CD,由圆周角定理,即可求得∠ADC 的度 数,又由圆的内接四边形的性质,即可求得答案. 解答:解:在优弧 ? ADC 上取点 D,连接 AD,CD, ∵∠AOC=60° , ∴∠ADC=

1 ∠AOC=30° , 2

∵∠ABC+∠ADC=180° ,

∴∠ABC=180° -∠ADC=180° -30° =150° . 故答案为:150° .

点评:此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质.此题比较简单,注意掌握辅助线的 作法. 【备考真题过关】 一、选择题 1.(2012?无锡)如图,以 M(-5,0)为圆心、4 为半径的圆与 x 轴交于 A、B 两点,P 是 ⊙M 上异于 A、B 的一动点,直线 PA、PB 分别交 y 轴于 C、D,以 CD 为直径的⊙N 与 x 轴交于 E、F,则 EF 的长( ) A.等于 4 2 B.等于 4 3 C.等于 6 D.随 P 点位置的变化而变化

考点:垂径定理;勾股定理;相似三角形的判定与性质. 专题:计算题. 分析:连接 NE,设圆 N 半径为 r,ON=x,则 OD=r-x,OC=r+x,证△OBD∽△OCA,推出 OC:OB=OA:OD,即(r+x):1=9:(r-x),求出 r2-x2=9,根据垂径定理和勾股定理即 可求出答案. 解答:解:连接 NE, 设圆 N 半径为 r,ON=x,则 OD=r-x,OC=r+x, ∵以 M(-5,0)为圆心、4 为半径的圆与 x 轴交于 A、B 两点, ∴OA=4+5=9,0B=5-4=1, ∵AB 是⊙M 的直径, ∴∠APB=90° (直径所对的圆周角是直角), ∵∠BOD=90° , ∴∠PAB+∠PBA=90° ,∠ODB+∠OBD=90° , ∵∠PBA=∠OBD, ∴∠PAB=∠ODB, ∵∠APB=∠BOD=90° , ∴△OBD∽△OCA,

OC OA ? , OB OD r?x 9 ? 即 , 1 r?x
∴ 解得:(r+x)(r-x)=9, r2-x2=9, 由垂径定理得:OE=OF,OE2=EN2-ON2=r2-x2=9, 即 OE=OF=3, ∴EF=2OE=6, 故选 C.

点评:本题考查了勾股定理,垂径定理,相似三角形的性质和判定的应用,解此题的关键是 求出 OE=OF 和 r2-x2=9,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.

2.(2012?陕西)如图,在半径为 5 的⊙O 中,AB、CD 是互相垂直的两条弦,垂足为 P, 且 AB=CD=8,则 OP 的长为( ) A.3 B.4 C.3 2 D.4 2

考点:垂径定理;勾股定理. 分析:作 OM⊥AB 于 M,ON⊥CD 于 N,连接 OP,OB,OD,首先利用勾股定理求得 OM 的长,然后判定四边形 OMPN 是正方形,求得正方形的对角线的长即可求得 OM 的长. 解答:解:作 OM⊥AB 于 M,ON⊥CD 于 N,连接 OP,OB,OD, 由垂径定理、勾股定理得:OM= 52 ? 42 =3, ∵弦 AB、CD 互相垂直, ∴∠DPB=90° , ∵OM⊥AB 于 M,ON⊥CD 于 N,

∴∠OMP=∠ONP=90° ∴四边形 MONP 是正方形, ∴OP=3 2 故选 C.

点评:本题考查了垂径定理及勾股定理的知识,解题的关键是正确地作出辅助线. 3.(2012?黄冈)如图,AB 为⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于 E,已知 CD=12,BE=2,则⊙O 的直径为( ) A.8 B.10 C.16 D.20

考点:垂径定理;勾股定理. 分析:连接 OC,可知,点 E 为 CD 的中点,在 Rt△OEC 中,OE=OB-BE=OC-BE,根据勾 股定理,即可得出 OC,即可得出直径. 解答:解:连接 OC,根据题意, CE=

1 CD=6,BE=2. 2

在 Rt△OEC 中, 设 OC=x,则 OE=x-2, 故:(x-2)2+62=x2 解得:x=10 即直径 AB=20.

故选 D.

点评: 本题是对垂径定理和解直角三角形的综合应用, 解题的关键是利用勾股定理构造直角 三角形. 4.(2012?河北)如图,CD 是⊙O 的直径,AB 是弦(不是直径),AB⊥CD 于点 E,则下 列结论正确的是( )

? A.AE>BE B. ? AD ? BC

C.∠D=

1 ∠AEC 2

D.△ADE∽△CBE

考点:垂径定理;圆周角定理;相似三角形的判定. 分析:根据垂径定理及相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可. 解答:解:∵CD 是⊙O 的直径,AB 是弦(不是直径),AB⊥CD 于点 E,

? ,故 A、B 错误; ∴AE=BE, ? AC ? BC
∵∠AEC 不是圆心角, ∴∠D≠

1 ∠AEC,故 C 错误; 2

∵∠CEB=∠AED,∠DAE=∠BCE, ∴△ADE∽△CBE,故 C 正确. 故选 D. 点评:本题考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定,难度不大,是基础题. 5.(2012?重庆)已知:如图,OA,OB 是⊙O 的两条半径,且 OA⊥OB,点 C 在⊙O 上, 则∠ACB 的度数为( ) A.45° B.35° C.25° D.20°

考点:圆周角定理. 专题:探究型. 分析:直接根据圆周角定理进行解答即可. 解答:解:∵OA⊥OB, ∴∠AOB=90° , ∴∠ACB= 故选 A.

1 ∠AOB=45° . 2

点评:本题考查的是圆周角定理,即在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等 于这条弧所对的圆心角的一半. 6. (2012?云南)如图,AB、CD 是⊙O 的两条弦,连接 AD、BC.若∠BAD=60° ,则∠BCD 的度数为( ) A.40° B.50° C.60° D.70°

考点:圆周角定理. 分析:由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得∠BCD 的度数.

? 对的圆周角, 解答:解:∵∠BAD 与∠BCD 是 BD
∴∠BCD=∠BAD=60° . 故选 C. 点评:此题考查了圆周角定理.此题比较简单,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对 的圆周角相等定理的应用,注意数形结合思想的应用.

7. (2012?襄阳)△ABC 为⊙O 的内接三角形,若∠AOC=160° ,则∠ABC 的度数是( ) A.80° B.160° C.100° D.80° 或 100° 考点:圆周角定理. 分析:首先根据题意画出图形,由圆周角定理即可求得答案∠ABC 的度数,又由圆的内接 四边四边形性质,即可求得∠AB′C 的度数. 解答:解:如图,∵∠AOC=160° , ∴∠ABC=

1 1 ∠AOC= × 160° =80° , 2 2

∵∠ABC+∠AB′C=180°, ∴∠AB′C=180°-∠ABC=180° -80° =100° . ∴∠ABC 的度数是:80° 或 100° . 故选 D.

点评:此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质.此题难度不大,注意数形结合思想 与分类讨论思想的应用,注意别漏解. 8.(2012?泸州)如图,在△ABC 中,AB 为⊙O 的直径,∠B=60° ,∠BOD=100° ,则∠C 的度数为( ) A.50° B.60° C.70° D.80°

考点:圆周角定理. 分析:由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可 求得∠A 的度数,然后由三角形的内角和定理,即可求得∠C 的度数. 解答:解:∵∠BOD=100° , ∴∠A=

1 ∠BOD=50° , 2

∵∠B=60° , ∴∠C=180° -∠A-∠B=70° . 故选 C. 点评:此题考查了圆周角定理与三角形的内角和定理.此题难度不大,注意掌握在同圆或等 圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关 键.

二、填空题 9.(2012?朝阳)如图,AB 为⊙O 的直径,CD 为⊙O 的一条弦,CD⊥AB,垂足为 E,已 知 CD=6,AE=1,则⊙0 的半径为 .

9.5 考点:垂径定理;勾股定理.

分析:连接 OD,由垂径定理得求出 DE,设⊙O 的半径是 R,由勾股定理得出 R2=(R-1) 2 +32,求出 R 即可. 解答:解: 连接 OD, ∵AB⊥CD,AB 是直径, ∴由垂径定理得:DE=CE=3, 设⊙O 的半径是 R, 在 Rt△ODE 中,由勾股定理得:OD2=OE2+DE2,即 R2=(R-1)2+32, 解得:R=5,

故答案为:5.

点评:本题考查了垂径定理和勾股定理的应用,用了方程思想,题目比较好,难度适中.

10.(2012?成都)如图,AB 是⊙O 的弦,OC⊥AB 于 C.若 AB=2 3 ,0C=1,则半径 OB 的长为 .

10.2 考点:垂径定理;勾股定理. 专题:探究型. 分析:先根据垂径定理得出 BC 的长,再在 Rt△OBC 中利用勾股定理求出 OB 的长即可. 解答:解:∵AB 是⊙O 的弦,OC⊥AB 于 C,AB=2 3 , ∴BC=

1 ,AB= 3 , 2

∵0C=1, ∴在 Rt△OBC 中, OB= OC ? BC ? 1 ? ( 3) ? 2 .
2 2 2 2

故答案为:2. 点评:本题考查的是垂径定理及勾股定理,先求出 BC 的长,再利用勾股定理求出 OB 的长 是解答此题的关键.

11.(2012?嘉兴)如图,在⊙O 中,直径 AB 丄弦 CD 于点 M,AM=18,BM=8,则 CD 的 长为 .

11.24 考点:垂径定理;勾股定理. 专题:探究型. 分析:连接 OD,由 AM=18,BM=8 可求出⊙O 的半径,利用勾股定理可求出 MD 的长, 再根据垂径定理即可得出 CD 的长. 解答:解:连接 OD, ∵AM=18,BM=8, ∴OD=

AM ? BM 18 ? 8 = =13, 2 2

∴OM=13-8=5, 在 Rt△ODM 中,DM= OD2 ? OM 2 ? 132 ? 52 ? 12 , ∵直径 AB 丄弦 CD, ∴AB=2DM=2× 12=24. 故答案为:24.

点评:本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答 此题的关键. 12. (2012?株洲) 已知: 如图, 在⊙O 中, C 在圆周上, ∠ACB=45° , 则∠AOB= .

12.90° 考点:圆周角定理. 分析:由在⊙O 中,C 在圆周上,∠ACB=45° ,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆 周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得∠AOB 的度数.

解答:解:∵在⊙O 中,C 在圆周上,∠ACB=45° , ∴∠AOB=2∠ACB=2× 45° =90° . 故答案为:90° . 点评:此题考查了圆周角定理.此题比较简单,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对 的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用,注意数形结合思想的应用.

13.(2012?玉林)如图,矩形 OABC 内接于扇形 MON,当 CN=CO 时,∠NMB 的度数 是 .

13.30° 考点:圆周角定理;含 30 度角的直角三角形;矩形的性质. 分析:首先连接 OB,由矩形的性质可得△BOC 是直角三角形,又由 OB=ON=2OC,∠BOC 的度数,又由圆周角定理求得∠NMB 的度数.

解答: ∵CN=CO, ∴OB=ON=2OC, ∵四边形 OABC 是矩形, ∴∠BCO=90° , ∴cos∠BOC=

解:连接 OB,

OC 1 ? , OB 2

∴∠BOC=60° , ∴∠NMB=

1 ∠BOC=30° . 2

故答案为:30° . 点评:此题考查了圆周角定理、矩形的性质以及特殊角的三角函数值.此题难度适中,注意 辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.

14.(2012?义乌市)如图,已知点 A(0,2)、B(2 3 ,2)、C(0,4),过点 C 向右 作平行于 x 轴的射线,点 P 是射线上的动点,连接 AP,以 AP 为边在其左侧作等边△APQ, 连接 PB、BA.若四边形 ABPQ 为梯形,则: (1)当 AB 为梯形的底时,点 P 的横坐标是 ; (2)当 AB 为梯形的腰时,点 P 的横坐标是 .

14.(1)

2 3 ,(2)0 或 2 3 3

考点:圆周角定理;等边三角形的性质;梯形;解直角三角形. 专题:几何综合题. 分析:首先根据题意画出符合题意的图形,(1)当 AB 为梯形的底时,PQ∥AB,可得 Q 在 CP 上,由△APQ 是等边三角形,CP∥x 轴,即可求得答案; (2) 当 AB 为梯形的腰时, AQ∥BP, 易得四边形 ABPC 是平行四边形, 即可求得 CP 的长, 继而可求得点 P 的横坐标. 解答:解:(1)如图 1:当 AB 为梯形的底时,PQ∥AB, ∴Q 在 CP 上, ∵△APQ 是等边三角形,CP∥x 轴, ∴AC 垂直平分 PQ, ∵A(0,2),C(0,4), ∴AC=2, ∴PC=AC?tan30°=2×

3 2 3 ? , 3 2 2 3 ; 2

∴当 AB 为梯形的底时,点 P 的横坐标是:

(2)如图 2,当 AB 为梯形的腰时,AQ∥BP, ∴Q 在 y 轴上,

∴BP∥y 轴, ∵CP∥x 轴, ∴四边形 ABPC 是平行四边形, ∴CP=AB=2 3 , 如图 3,当 C 与 P 重合时, ∵A(0,2)、B(2 3 ,2),

∴tan∠APC=

2 3 ? 3, 2

∴∠APC=60° , ∵△APQ 是等边三角形, ∴∠PAQ=60° , ∴∠ACB=∠PAQ, ∴AQ∥BP, ∴当 C 与 P 重合时,四边形 ABPQ 以 AB 为要的梯形, 此时点 P 的横坐标为 0; ∴当 AB 为梯形的腰时,点 P 的横坐标是:0 或 2 3 . 故答案为:(1)

2 3 ,(2)0 或 2 3 . 3

点评:此题考查了梯形的性质与等边三角形的性质.此题难度适中,解题的关键是根据题意 画出符合要求的图形,然后利用数形结合思想求解. 15. (2012?鞍山) 如图, △ABC 内接于⊙O, AB、 CD 为⊙O 直径, DE⊥AB 于点 E, sinA= 则∠D 的度数是 .

1 , 2

15.30°

考点:圆周角定理;特殊角的三角函数值. 专题:计算题. 分析:由圆周角定理、特殊角的三角函数值求得∠CAB=30° ;然后根据直角三角形的两个锐 角互余的性质、等腰三角形的性质、对顶角相等求得∠EOD=∠COB=60° ;最后在直角三角 形 ODE 中求得∠D 的度数. 解答:解:∵AB 为⊙O 直径, ∴∠ACB=90° (直径所对的圆周角是直角);

又∵sinA=

1 , 2

∴∠CAB=30° , ∴∠ABC=60° (直角三角形的两个锐角互余); 又∵点 O 是 AB 的中点, ∴OC=OB, ∴∠OCB=OBC=60° , ∴∠COB=60° , ∴∠EOD=∠COB=60° (对顶角相等); 又∵DE⊥AB, ∴∠D=90° -60° =30° . 故答案是:30° . 点评:本题综合考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值.解题时,注意“直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半”这一知识点的利用.

三、解答题 16. (2012?荆门) 如图所示为圆柱形大型储油罐固定在 U 型槽上的横截面图. 已知图中 ABCD 为等腰梯形(AB∥DC),支点 A 与 B 相距 8m,罐底最低点到地面 CD 距离为 1m.设油 罐横截面圆心为 O,半径为 5m,∠D=56° ,求:U 型槽的横截面(阴影部分)的面积.(参 考数据:sin53°≈0.8,tan56°≈1.5,π≈3,结果保留整数)

考点:垂径定理的应用;勾股定理;等腰梯形的性质;解直角三角形的应用. 分析:连接 AO、BO.过点 A 作 AE⊥DC 于点 E,过点 O 作 ON⊥DC 于点 N,ON 交⊙O 于点 M,交 AB 于点 F,则 OF⊥AB,先根据垂径定理求出 AF 的值,再在在 Rt△AOF 中利 用锐角三角函数的定义求出∠AOB 的度数,由勾股定理求出 OF 的长,根据四边形 ABCD 是等腰梯形求出 AE 的长,再由 S 阴=S 梯形 ABCD-(S 扇 OAB-S△OAB)即可得出结论. 解答:解:如图,连接 AO、BO.过点 A 作 AE⊥DC 于点 E,过点 O 作 ON⊥DC 于点 N, ON 交⊙O 于点 M,交 AB 于点 F.则 OF⊥AB. ∵OA=OB=5m,AB=8m,

1 AB=4(m),∠AOB=2∠AOF, 2 AF 在 Rt△AOF 中,sin∠AOF= =0.8=sin53° , AO
∴AF=BF= ∴∠AOF=53° ,则∠AOB=106° , ∵OF= OA2 ? AF 2 =3(m),由题意得:MN=1m,

∴FN=OM-OF+MN=3(m), ∵四边形 ABCD 是等腰梯形,AE⊥DC,FN⊥AB, ∴AE=FN=3m,DC=AB+2DE. 在 Rt△ADE 中,tan56° = ∴DE=2m,DC=12m. ∴S 阴=S 梯形 ABCD-(S 扇 OAB-S△OAB)= 答:U 型槽的横截面积约为 20m2.

AE 3 ? , DE 2 1 106 1 (8+12)× 3-( π×52- × 8× 3)=20(m2). 2 360 2

点评:本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形 及等腰梯形,再利用勾股定理进行求解是解答此题的关键.

17.(2012?南通)如图,⊙O 的半径为 17cm,弦 AB∥CD,AB=30cm,CD=16cm,圆心 O 位于 AB,CD 的上方,求 AB 和 CD 的距离.

考点:垂径定理;勾股定理. 专题:探究型. 分析:过点 O 作弦 AB 的垂线,垂足为 E,延长 AE 交 CD 于点 F,连接 OA,OC;由于 AB∥CD,则 OF⊥CD,EF 即为 AB、CD 间的距离;由垂径定理,易求得 AE、CF 的长, 可连接 OA、ODC 在构建的直角三角形中,根据勾股定理即可求出 OE、OF 的长,也就求 出了 EF 的长,即弦 AB、CD 间的距离. 解答:解:过点 O 作弦 AB 的垂线,垂足为 E,延长 AE 交 CD 于点 F,连接 OA,OC, ∵AB∥CD, ∴OF⊥CD, ∵AB=30cm,CD=16cm, ∴AE=

1 1 1 1 AB= × 30=15cm,CF= CD= × 16=8cm, 2 2 2 2

在 Rt△AOE 中, OE= OA2 ? AE 2 ? 172 ?152 =8cm,

在 Rt△OCF 中, OF= OC 2 ? CF 2 ? 172 ? 82 =15cm, ∴EF=OF-OE=15-8=7cm. 答:AB 和 CD 的距离为 7cm.

点评:本题考查的是勾股定理及垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答 此题的关键.

18. (2012?宁夏) 在⊙O 中, 直径 AB⊥CD 于点 E, 连接 CO 并延长交 AD 于点 F, 且 CF⊥AD. 求 ∠D 的度数.

考点:垂径定理;等边三角形的判定与性质. 分析:连接 BD,根据平行线的性质可得:BD∥CF,则∠BDC=∠C,根据圆周角定理可得 ∠BDC=

1 1 ∠BOC,则∠C= ∠BOC,根据直角三角形的两个锐角互余即可求解. 2 2

解答:解:方法一:连接 BD. ∵AB⊙O 是直径, ∴BD⊥AD 又∵CF⊥AD, ∴BD∥CF, ∴∠BDC=∠C. 又∵∠BDC= ∴∠C=

1 ∠BOC, 2

1 ∠BOC. 2

∵AB⊥CD, ∴∠C=30° , ∴∠ADC=60° . 方法二:设∠D=x, ∵CF⊥AD,AB⊥CD,∠A=∠A, ∴△AFO∽△AED, ∴∠D=∠AOF=x,

∴∠ADC=2∠ADC=2x, ∴x+2x=180, ∴x=60, ∴∠ADC=60° .

点评:本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质,正确得到∠C= 键.

1 ∠BOC 是解题的关 2

19. (2012?长沙) 如图, A, P, B, C 是半径为 8 的⊙O 上的四点, 且满足∠BAC=∠APC=60° , (1)求证:△ABC 是等边三角形; (2)求圆心 O 到 BC 的距离 OD.

考点:圆周角定理;等边三角形的判定;垂径定理;解直角三角形. 专题:探究型. 分析:(1)先根据圆周角定理得出∠ABC 的度数,再直接根据三角形的内角和定理进行解
答即可; (2)连接 OB,由等边三角形的性质可知,∠OBD=30° ,根据 OB=8 利用直角三角形的性 质即可得出结论. 解答:解:(1)在△ABC 中, ∵∠BAC=∠APC=60° , 又∵∠APC=∠ABC, ∴∠ABC=60° , ∴∠ACB=180° -∠BAC-∠ABC=180° -60° -60° =60° , ∴△ABC 是等边三角形; (2)∵△ABC 为等边三角形,⊙O 为其外接圆, ∴O 为△ABC 的外心, ∴BO 平分∠ABC,

∴∠OBD=30° , ∴OD=8× =4.

1 2

点评:本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定,垂径定理,解直角三角形等知识,将各
知识点有机结合,旨在考查同学们的综合应用能力.

20.(2012?大庆)如图△ABC 中,BC=3,以 BC 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,若 D 是 AC 中点,∠ABC=120° . (1)求∠ACB 的大小; (2)求点 A 到直线 BC 的距离.

考点:圆周角定理;等腰三角形的判定与性质;含 30 度角的直角三角形. 分析:(1)根据垂直平分线的性质得出 AB=BC,进而得出∠A=∠C=30° 即可;
(2)根据 BC=3,∠ACB=30° ,∠BDC=90° ,得出 CD 的长,进而求出 AE 的长度即可. 解答:解:(1)连接 BD, ∵以 BC 为直径的⊙O 交 AC 于点 D, ∴∠BDC=90° , ∵D 是 AC 中点, ∴BD 是 AC 的垂直平分线, ∴AB=BC, ∴∠A=∠C, ∵∠ABC=120° , ∴∠A=∠C=30° ,

即∠ACB=30° ; (2)过点 A 作 AE⊥BC 于点 E, ∵BC=3,∠ACB=30° ,∠BDC=90° , ∴cos30° =

CD CD = , BC 3

∴CD=

3 3 , 2

∵AD=CD, ∴AC=3 3 , ∵在 Rt△AEC 中,∠ACE=30° , ∴AE=

1 3 3 ?3 3 = . 2 2

点评:此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、含 30 度角的直角三角形的
性质,根据已知得出 CD 的长度是解题关键. 21.(2012?怀化)如图,已知 AB 是⊙O 的弦,OB=4,∠OBC=30° ,点 C 是弦 AB 上任意 一点(不与点 A、B 重合),连接 CO 并延长 CO 交⊙O 于点 D,连接 AD、DB. (1)当∠ADC=18° 时,求∠DOB 的度数; (2)若 AC=2 3 ,求证:△ACD∽△OCB.

考点:圆周角定理;等腰三角形的性质;勾股定理;垂径定理;相似三角形的判定. 专题:证明题;几何综合题. 分析:(1)连接 OA,根据 OA=OB=OD,求出∠DAO、∠OAB 的度数,求出∠DAB,根
据圆周角定理求出即可; (2)过 O 作 OE⊥AB 于 E,根据垂径定理求出 AE 和 BE,求出 AB,推出 C、E 重合,得

出∠ACD=∠OCB=90° ,求出 DC 长得出

AC DC ? ,根据相似三角形的判定推出即可. OC BC

解答:(1)解:连接 OA,
∵OA=OB=OD, ∴∠OAB=∠OBC=30° ,∠OAD=∠ADC=18° , ∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48° , 由圆周角定理得:∠DOB=2∠DAB=96° .

(2)证明:过 O 作 OE⊥AB 于 E, 由垂径定理得:AE=BE, ∵在 Rt△OEB 中,OB=4,∠OBC=30° , ∴OE=

1 OB=2, 2

由勾股定理得:BE=2 3 =AE, 即 AB=2AE=4 3 , ∵AC=2 3 , ∴BC=2 3 , 即 C、E 两点重合, ∴DC⊥AB, ∴∠DCA=∠OCB=90° , ∵DC=OD+OC=2+4=6,OC=2,AC=BC=2 3 , ∴

AC DC ? = 3, OC BC

∴△ACD∽△OCB(两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似).

点评:本题综合考查了垂径定理,圆周角定理,相似三角形的判定,勾股定理,等腰三角形
的性质的应用,主要考查学生能否运用性质进行推理,题目综合性比较强,是一道比较好的

题目.


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