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直线参数方程


【教育类精品资料】

选修4-4

第二讲

参 数 方 程

直线的参数方程

回忆我们学过的直线方程的几种常用形式
(1)已知直线上的一个点(x0,y0)和斜率k

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? kx ? b

(2)已知直线的斜率和y轴上的截距(即 与y轴交点(0,b)

斜率k的计算方法:

? 为直线的倾斜角 ? ? ?0, ? ?

y1 - y2 k? x1 - x2

k ? tan ? (? ?

?
2

)

直线的参数方程

直线L是经过点M0(x0 , y0),倾斜角为α的直线 (1)点M1在M0上方,与M0的距离为t,求M1的坐标x,y (用x0,y0,t,α的适当形式表示)

? x ? x0 ? t cos? (t ? 0) ? ? y ? y0 ? t sin ?
(2)点M2在M0下方, M2的坐标是什么?

M1 M0 M2

? x ? x0 - t cos ? (t ? 0) ? ? y ? y0 - t sin ?

?

直线参数方程标准形式

? x ? x0 ? t cos ? 标准形式: t 为参数 ? ? y ? y0 ? t sin ?
其中M 0 ( x0 , y0 ),| t |?| MM 0 |
?当t ? 0时,点M在点M 0的上方 ? ?当t ? 0时,点M在点M 0的下方 ?当t ? 0时,点M与点M 重合 0 ?

例1 已知直线经过点(0,2),斜率是1,
(1)求该直线的参数方程
? 2 t ?x ? ? 2 (t是参数) ? ?y ? 2 ? 2 t ? 2 ?

(2)若直线上的点M1,M2对应的参数分别是-2,6, 则线段M1M2的长为多少?如果是2,6呢?

| -2 | ?6 ? 8
6-2 ? 4

推论
直线上有M 1 , M 2两点,在标准参数方程里 对应的参数分别为t1 , t2 . (1)线段M 1M 2的长是多少?

(2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少?

(1) M 1M 2 ? t1 ? t2 t1 ? t2 (2)t ? 2

例2

已知直线l的斜率为-1,经过M(-1,2),

与抛物线y ? x 2交于A,B两点, ( )求线段AB的长度 1
解:
直线的倾斜角为135?,故 直线的参数方程可以写成 ? 2 3? ? t ?x= -1?x=-1+tcos 4 ? ? 2 (t为参数) 即 ? (t为参数) ? ? y ? 2 ? t sin 3? ?y ? 2 ? 2 t ? ? 4 ? ? 2

? 2 t ?x= -1? 2 即? (t为参数) ?y ? 2 ? 2 t ? ? 2

把它代入抛物线y=x2的方程,得

t + 2t ? 2 ? 0
2

? 2 ? 10 ? 2 ? 10 解得t1 ? ,t2 ? 2 2

AB ? t1 ? t2 ? 10

例2 已知直线l的斜率为-1,经过M(-1,2), 与抛物线y ? x 交于A,B两点,
2

(2)求M到A,B两点的距离之积

? 2 ? 10 ? 2 ? 10 解得t1 ? ,t2 ? 2 2

MA ? MB ? t1 ? t2 ? t1t2 ? 2

x2 y2 例3 经过点M(2,1)作直线L,交椭圆 ? ?1 16 4 于A, B两点。如果点M恰好为线段AB的中点,求直 线L的方程。 解:设过点M (2,1)的直线l的参数方程为 x ? 2 ? t cos ? { (t为参数)代入椭圆方程得 y ? 1 ? t sin ?
(3sin 2 ? ? 1)t 2 ? 4(cos ? ? 2sin ? )t ? 8 ? 0 由t的几何意义知 MA ? t1 , MB ? t2 ,因为点 M 在椭圆内,这个方程必有两个实根,所以 4(cos ? ? 2sin ? ) t1 ? t2 ? ? 3sin 2 ? ? 1

1、直线参数方程的标准形式及其参数的 几何意义; 2、直线参数方程标准形式与普通方程的 互化; 3、直线参数方程标准形式的应用。

1、数形结合思想;
2、参数的基本思想.

? 2 x ? 2? t ? ? 2 1. 直线 ? (t 为参数)上到点 M(2,?3)距离为 2 且 ? y ? ?3 ? 2 t ? 2 ?

(3,? 4) 在点 M 下方的点的坐标是____________
?x ? 2 ? t 2.直线 ? (t 为参数)被双曲线 x2?y2=1 截得的弦长为(B ) ?y ? 3 t

(A)

10

(B)

2 10

(C)

10 2

(D)
? 3 5

10 3

3.过点 P(5,?3) ,且倾斜角?满足 cos?=

的直线与

9 圆 x2+y2=25 交于 P1, P2 两点,则| PP1| ? | PP2| =_______________ ,
44 33 ( , ) 弦 P1P2 中点 M 的坐标是________________ 25 25


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