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圆锥曲线解答题专练


圆锥曲线解答题专练
1、已知椭圆

3 、 已 知 椭 圆 的 中 心 在 原 点 , 焦 点 在 x 轴 上 , 一 个 顶 点 为 B (0, ?1) , 且 其 右 焦 点 到 直 线

x2 y 2 2 ,P 是椭圆上一点, ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 2 2 a

b

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (Ⅰ)求椭圆方程;

(Ⅱ)设直线过定点 Q (0, ) ,与椭圆交于

3 2

且 ?PF1 F2 面积的最大值等于 2.(I)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 M(0,2)作直线 l 与直线 MF2 垂直,试判断直线 l 与椭圆的位置关系。 (Ⅲ)直线 y=2 上是否存在点 Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由。

两个不同的点 M 、N ,且满足 BM ? BN .求直线的方程.

2、已知动圆 C 与圆 C1 : ( x ? 1) ? y ? 1 相外切,与圆 C2 : ( x ? 1) ? y ? 9 相内切,设动圆
2 2 2 2

圆心 C 的轨迹为 T,且轨迹 T 与 x 轴右半轴的交点为 A. (I)求轨迹 T 的方程; (Ⅱ)已知直线 l:y=kx+m 与轨迹为 T 相交于 M、N 两点(M、N 不在 x 轴上) .若以 MN 为直径 的圆过点 A,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

x2 y 2 2 4、已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ?的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径 a b 2
的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 若过点 M (2, 0) 的直线与椭圆 C 相交于两点 A,B, 设 P 为椭圆上一点, 且满足 OA ? OB ? tOP (O 为坐标原点) ,当 PA ? PB ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

2 5 时,求实数 t 取值范围. 3

5、如图,A、B 是椭圆

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个顶点,它的短轴长为 1,其一个焦点与短轴 a 2 b2

的两个端点构成正三角形.(I)求椭圆方程; (II)若直线 y ? kx ? k ? 0 ? 与椭圆相交于 R、S 两点.求四边形 ARBS 面积的最大值.

x2 y 2 3 7、已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且经过点 A(0, ?1 ). 2 a b ? 3? (I)求椭圆的方程; (II)若过点 ? 0, ? 的直线与椭圆交于 M,N 两点(M,N 点与 A 点不重合) , ? 5?
求证:以 MN 为直径的圆恒过 A 点;

x2 y 2 6 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,长轴长为 2 3 . 2 3 a b 1 (I)求椭圆的方程; (II)若直线 y ? kx ? 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在 y 轴正半轴上是 2 ???? ? ???? 否存在一个定点 M 满足 MN ? MB ,若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
6、已知椭圆 C :

8、

已知椭圆 C :

2 x2 y 2 ,左右焦点分别为 F1 , F2 ,抛物线 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

y 2 ? 4 2 x 的焦点 F 恰好是该椭圆的一个顶点. (I)求椭圆 C 的方程;
(II)已知圆 M: x ? y ?
2 2

2 的切线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,那么以 AB 为直径的圆是否经过 3

定点,如果是,求出定点的坐标,如果不是,请说明理由。

1、

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 将 y ? kx ? m 代入椭圆方程得: (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 .
2 2 2

?8km 4m2 ? 12 . (*式) ……………………………8 分 , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 , ? MN 为直径的圆过点 A , A 点的坐标为(2,0) ???? ? ???? ? AM ? AN ? 0 ,即 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 . ……………………………10 分 ? x1 ? x2 ?

? y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m , y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? m2 ,
代入(*式)得: 7m ? 16km ? 4k ? 0 ,
2 2

?

m 2 m ? ? 或 ? ?2 都满足 ? ? 0 , k 7 k

……………………12 分

m m ,当 ? ?2 时,直线 l 恒过定点 (2, 0) ,不合 ,0 ) k k m 2 2 2 题意舍去,? ? ? ,直线 l : y ? k(x ? ) 恒过定点 ( ,0) .………………………13 分 k 7 7 7
由于直线 l : y ? kx ? m 与 x 轴的交点为( ? 3、 【解析】(1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 则 b ? 1 . ………………1 分 a 2 b2

令右焦点 F (c, 0)(c ? 0) , 则由条件得 3 ? | c ? 0 ? 2 2 | ,得 c ? 2
2 2 2

2 .…………3 分

x2 那么 a ? b ? c ? 3 ,∴椭圆方程为 ? y 2 ? 1 .………4 分 3 (2)若直线斜率不存在时,直线即为 y 轴,此时 M , N 为椭圆的上下顶点,

BN ? 0, BM ? 2 ,不满足条件;
故可设直线: y ? kx ?

………………………………5 分

3 x2 (k ? 0) ,与椭圆 ? y 2 ? 1 联立, 2 3 15 2 2 ? 0 .………………………………6 分 消去 y 得: ?1 ? 3k ? x ? 9kx ? 4 5 15 2 由 ? ? ? 9k ? ? 4 ?1 ? 3k 2 ? ? ? 0 ,得 k 2 ? . ………………7 分 12 4
由韦达定理得 x1 ? x2 ? ?

9k 9k 2 y ? y ? k ( x ? x ) ? 3 ? ? ?3 而 1 2 1 2 1 ? 3k 2 , 1 ? 3k 2
x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 2 2

…………8 分

2、解析: (Ⅰ) CC1 ? r ? 1 , CC2 ? 3 ? r ,∴ CC1 + CC 2

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 的中点 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ? = 4 ………2 分 由 BN ? BM ,则有 BP ? MN .

∴点 C 的轨迹是以 C1 、 C 2 为焦点(c=1) ,长轴长 2a= 4 的椭圆 ………………4 分] ∴点 C 的轨迹 T 的方程是

x2 y2 ? ? 1 ……………………………………6 分 4 3

k BP

y1 ? y2 9k 2 ?5 ?1 ? 2 y ?1 1 2 ? 0 ? ? 1 ? 3k ? ? ………………10 分 x1 ? x2 9k x0 k ? 2 1 ? 3k 2
2

∴ ?2 ? t ? ? 5、

2 6 2 6 2 6 2 6 或 ? t ? 2 ,∴实数 t 取值范围为 (?2,? )?( ,2) .….…14 分 3 3 3 3

可求得 k ? 检验 k ?
2

2 . 3

…………… ………………………………11 分 ……………………………………………12 分

2 5 ? ( , ??) 3 12

所以直线方程为 y ? 6 x ? 3 或 y ? ? 6 x ? 3 . ………………………13 分 3 2 3 2

c 2 c 2 a 2 ? b2 1 2 ,? e ? 2 ? ? 4、.解: (1)由题意知 e ? ? a 2 a a2 2
即 a ? 2b 又以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切,
2 2

? b2 ? 1, a 2 ? 2 ,故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1…………………….2 分 2 (2)由题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB : y ? k ( x ? 2) .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), p( x, y )
? y ? k ( x ? 2) ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 由 ? x2 得 2 ? ? y ?1 ? 2 1 ? ? 64k 2 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0, k 2 ? …………………………………………4 分 2

8k 2 8k 2 ? 2 x ? x ? , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ??? ? ??? ? ??? ? x ?x ? OA ? OB ? tOP ,? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y ), x ? 1 2 ? x1 ? x2 ?
t
∵点 P 在椭圆上,∴ ∵ PA ? PB <
2

y ?y ?4k 8k 2 y? 1 2 ? 2 t t (1 ? 2k 2 ) t (1 ? 2k )

(8k 2 ) 2 (?4k ) 2 ? 2 ? 2 ,∴ 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) ..……7 分 t 2 (1 ? 2k 2 ) 2 t 2 (1 ? 2k 2 ) 2

2 5 2 5 20 2 ,∴ 1 ? k x1 ? x2 ? ,∴ (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ?x2 ] ? 3 3 9

64k 4 8k 2 ? 2 20 2 2 ? 4? ]? ∴ (1 ? k )[ ,∴ (4k ? 1)(14k ? 13) ? 0 , 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k 9
∴k ?
2

1 4 .................................................11 分



16k 2 8 1 1 ? 8? , ? k 2 ? ,∵ 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) ,∴ t 2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 4 2

6、

7、

8、


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