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第10 空间向量的坐标运算(教师版)


第 10 空间向量的坐标运算(教师版)

基础过关题
设 a= (a1 , a 2 , a 3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) (1) a± b= (2) ? a= . (3) a· b= . (4) a∥b ? ;a ? b ? (5) 设 A ? ( x1 , y1 , z1 ), B ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) 则

AB = , AB ? .

?3 x ? z ? 0, ? x ? 1 ? 3? , ?3x ? z ? 0, ? ? ∴? ,即 ? ?? x ? 1, y ? 1, z ? 2 ? ? ? ? 3, 0,1? ? ? y ? 1 ? 0, ? z ? 2 ? ?. ?
解此方程组,得 x ? ? ∴ OC ? ? ?

7 21 1 , y ? 1, z ? , ? ? 。 10 10 10



????

? ? 7 21 ? ???? ???? ??? ? 37 11 ? ,1, ? , AC ? OC ? OA ? ? ? ,1, ? 。 ? 10 10 ? ? 10 10 ?



例 2. 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面 ?ABC 中,CA=CB=1, ?BCA ? 90 ? ,棱 AA1 ? 2 ,M、 N 分别 A1B1、A1A 是的中点. (1) 求 BM 的长; (2) 求 cos? BA1 , CB1 ? 的值; (3) 求证: A1 B ? C1 N . C1 A1 N C B A z B1

AB 的中点 M 的坐标为

典型例题
例 1. 若 a =(1,5,-1), b =(-2,3,5) (1)若(k a + b )∥( a -3 b ),求实数 k 的值; (2)若(k a + b )⊥( a -3 b ),求实数 k 的值;

M (3)若 k a ? b 取得最小值,求实数 k 的值. 解:(1) k ? ? ; (2) k ?
106 ; 3 1 3

y

x (3) k ? ?
8 27

解:以 C 为原点建立空间直角坐标系 O ? xyz . (1) 依题意得 B(0,1,0) ,M(1,0,1) ? BM ? (1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 3 . . (2) 依题意得 A1(1,0,2) ,B(0,1,0) ,C(0,0,0) 1(0,1,2). ,B
? BA1 ? (1,?1,2), CB1 ? (0,1,2), BA1 ? CB1 ? 3, BA1 ? 6 , CB1 ? 5

? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? 变式训练 1. 已知 O 为原点, 向量 OA ? ? 3,0,1? , OB ? ? ?1,1, 2 ? , OC ? OA, BC ∥ OA , AC . 求

???? ??? ? 解:设 OC ? ? x, y, z ? , BC ? ? x ? 1, y ? 1, z ? 2 ? ,
? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ∵ OC ? OA, BC ∥ OA ,∴ OC ? OA ? 0 , BC ? ? OA ? ? ? R ? ,

? cos ? BA1 , CB1 ??

BA1 ? CB1 BA1 ? CB1

?

30 . 10

(2) 设 N 到平面 PAC 的距离为 d,则 d= | NA? NE |
| NE |
3 3 1 , 0, 1) ? (? , , 0) | 1 3 6 6 2 ? ? 3? 12 12 3 1 | (? , , 0) | 6 2

1 1 1 1 (3) 证明:依题意得 C1(0,0,2) ( , ,2),? A1B ? (?1,1,?2),C1N ? ( , ,0) . ,N 2 2 2 2 1 1 ? A1B ? C1 N ? ? ? ? 0 ? 0,? A1B ? C1 N 2 2



|(

.

变式训练 2. 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,AB= 3 , BC=1,PA=2,E 为 PD 的中点. (1) 在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE⊥面 PAC,并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离; (2) 求(1) 中的点 N 到平面 PAC 的距离. P

例 3. 如图,在底面是棱形的四棱锥 P? ABCD 中, ?ABC ? 60 ? , PA ? AC ? a, PB ? PD ? 2 a ,点 E 在 P PD 上,且 PE : ED =2:1. (1) 证明 PA ? 平面 ABCD ; E (2) 求以 AC 为棱, EAC 与 DAC 为面的二面角 ? 的大小; A . D 解: (1)证明略; (2)易解得 ? ? 30? ; B C 例 4. 如图,多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得,其中 AB=4,BC=1, BE=3,CF=4. (1) 求 EF 和点 G 的坐标; (2) 求 GE 与平面 ABCD 所成的角; (3) 求点 C 到截面 AEFG 的距离. 解:(1) 由图可知:A(1,0,0),B(1,4,0), E(1,4,3),F(0,4,4) ∴ EF ? (?1, 0, 1) A x B G D C

· E

D

C

A B 解:(1) 建立空间直角坐标系 A-BDP,则 A、B、C、D、P、E 的坐标分别是 A(0, 0, 0)、B( 0, 0)、C(
3

F Z E y

3

,

, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0,

1 2

, 1),依题设 N(x, 0, z),则 NE =(-x,

1 2

, 1-z),

由于 NE⊥平面 PAC,
? ∴ ? NE ? AP ? 0 ? ? NE ? AC ? 0 ?
1 ? ?z ? 1 ? 0 ?(? x, 2 , 1 ? z ) ? (0, 0, 2) ? 0 ? ? 即? ?? 1 ?(? x, 1 , 1 ? z ) ? ( 3 , 1, 0) ? 0 ?? 3 x ? 2 ? 0 ? ? 2 ?
? 3 ?x ? ?? 6 ?z ? 1 ?

又∵ AG ? EF ,设 G(0,0,z),则(-1,0,z) =(-1,0,1) ∴z=1 ∴G(0,0,1) (2)平面 ABCD 的法向量 DG ? (0, 0, 1).
GE ? (1, 4, 2) ,设 GE 与平面 ABCD 成角为 ? ,则
cos(

?
2

?? ) ?

DG ? GE | DG | ? | GE |

?

2 21 21

,即点 N 的坐标为(

3 6

, 0, 1),

∴ ? ? arcsin .

2 21 21

从而 N 到 AB、AP 的距离分别为 1,

3 6

(3)设 n 0 ⊥面 AEFG, n 0 =(x0,y0,z0)

∵ n 0 ⊥ AG , n 0 ⊥ AE ,而 AG =(-1,0,1), AE =(0,4,3) ∴?
?x 0 ? z 0 ?? x 0 ? z 0 ? 0 3 ? ?? ? n0 ? (z 0 , ? z 0 , z 0 ) 3 4 ?4 y 0 ?3z 0 ? 0 ? y 0 ? ? z 0 4 ?

归纳总结
对于以下几类立体几何问题:(1) 共线与共面问题;(2) 平行与垂直问题;(3) 夹角问题;(4) 距离问题;(5) 探索性问题. 运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势.用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某 个合适的基底表示,本节主要是用单位正交基底表示,就是适当地建立起空间直角坐标系,把 向量用坐标表示,然后进行向量与向量的坐标运算,最后通过向量在数量上的关系反映出向量 的空间位置关系,从而使问题得到解决.在寻求向量间的数量关系时,一个基本的思路是列方 程,解方程.

取 z0=4,则 n 0 =(4,-3,4) ∵ CF ? (0, 0, 4), ? d ?
| CF ? n 0 | | n0 | ? 16 41 41

即点 C 到截面 AEFG 的距离为

16 41 . 41

变式训练 4. 如图四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形, PG⊥平面 ABCD, 垂足为 G, G 在 AD 上,且 PG=4, AG ?

1 GD ,BG⊥GC,GB=GC=2,E 是 BC 的中点. 3

(1)求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值; (2)求点 D 到平面 PBG 的距离; P 解:(1)以 G 点为原点, GB 、 、 为 x 轴、y 轴、 GC GP z 轴建立空间直角坐标系,则 B(2,0,0),C(0,2,0), P(0,0,4),故 E(1,1,0), GE =(1,1,0), PC =(0, A 4)。 cos ? GE , ?? GE ? PC ? PC | GE | ? | PC |
2 10 , ? 10 2 ? 20

G

F D

2,

B

10 ∴GE 与 PC 所成的余弦值为 . 10 (2)平面 PBG 的单位法向量 n=(0,± 1,0) 3 3 3 3 ∵ GD ? AD ? BC ? (? , , ) , 0 4 4 2 2 3 ∴点 D 到平面 PBG 的距离为 | GD ? n |= . 2 。

E

C


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