kl800.com省心范文网

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 零点问题的研究


辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学论文 图形计算器应用能 力测试活动学生 零点问题的研究
一、问题分析 函数的零点是函数图象与 X 轴交点的横坐标,即方程 f(x)=0 的解。它是一个数而不是点 的坐标。结合函数的图象,理解函数的零点与方程的根的联系,转化为判断方程根的存在性 及根的个数。函数的零点是函数图象的一个重要的特征,同时也沟通了函数、方程、不等式 以

及算法等内容,在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用,因此要重视对函数零 点的学习。 二、模型的建立与求解 (一)二分法 二分法的概念 对于在区间[a, b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法 叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来求方程的近似解. 给定精确度 ,用二分法求函数 (1)确定区间 (2)求区间 (3)计算 1若 2若 3若 , , : = ,则 · · 就是函数的零点; <0,则令 = <0,则令 = (此时零点 (此时零点 ) ; ) ; ,验证 的中点 ; · 零点近似值的步骤如下: <0,给定精确度 ;

(4)判断是否达到精确度 ;即若 骤 2-4.

< ,则得到零点近似值 (或 ) ;否则重复步

结论: 由函数的零点与相应方程根的关系,我们可用二分法来求方程的近似解.

问题一: 判断函数 y=x -x-1 在区间[1,1.5]内有无零点, 如果有, 求出一个近似零点(精确度 0.1). 分析:由题目可获取以下主要信息: ①判断函数在区间[1,1.5]内有无零点,可用根的存在性定理判断;
1
3

②精确度 0.1.解答本题在判断出在[1,1.5]内有零点后可用二分法求解. 解析:因为 f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,且函数 y=x -x-1 的图象是连续的曲线,所 以它在区间[1,1.5]内有零点,用二分法逐次计算,列表如下: 区间 (1,1.5) (1.25,1.5) (1.25,1.375) (1.312 5,1.375) 由于|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1, 所以函数的一个近似零点为 1.312 5. 中点值 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75 中点函数近似值 -0.3 0.22 -0.05 0.08
3

利用图形计算器解题: 算器所绘出的图像,可大致看出零点所在的位置。

根据图形计

问题二: 求函数 f(x)=x +2x -3x-6 的一个正数零点(精确度 0.1). 解析:由于 f(1)=-6<0,f(2)=4>0,可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐次 计算,列表如下: 区间 (1,2) (1.5,2) (1.5,1.75) (1.625,1.75) (1.687 5,1.75) 由于|1.75-1.687 5|=0.062 5<0.1, 所以可将 1.687 5 作为函数零点的近似值. 中点 1.5 1.75 1.625 1.687 5 1.718 75 中点函数值 -2.625 0.234 4 -1.302 7 -0.561 8 -0.170 7
3 2

2

利用图形计算器解题: 图形计算器所绘出的图像,可大致看出零点所在的位置。

根据

(二)图像法 问题一:

? 1 (x ? 2) ? 设定义域为R的函数 f(x) ? ?| x - 2 | ? ( 1 x ? 2) ?
若关于x的方程f^2(x)+af(x)+b=0有三 个不同的实根x1、x2、x3,求 的值.

(三)代数法 问题一: 求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 的零点
3 2

解析:令x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ? 0,? x 2 ( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 0 ? ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 1) ? 0,? x ? ?1或x ? 1或x ? 2 即函数y ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2的零点为 - 1,1,2.

利用图形计算器解题: 数有三个零点,分别在-1,1,2的点上。

根据图像得出此函

3

(四)利用函数的单调性 问题一:

求函数f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6的零点个数 解析:易证f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6在定义域(0,??)上连续单调递增, 又有f (1)· f (4)<0, 所以函数f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6只有一个零点

利用图形计算器解题: 算器所绘制的图像,解得函数只有一个零点,在(2,3)之间。 (四)分离参数法 问题一:已知函数 g ( x) ? x ? ax ? 4 在 [2, 4] 上有零点,求 a 的取值范围.
2

根据图形计

2 分析:∵函数 g ( x) ? x ? ax ? 4 在 [2, 4] 上有零点,∴方程 x ? ax ? 4 ? 0 在 [2, 4] 上有实
2

根,即方程 a ? x ? 4 在 [2, 4] 上有实根. x

4 ,则 a 的取值范围等于函数 f ( x) 在 [2, 4] 上的值域. x 4 ( x ? 2)( x ? 2) 又 f ?( x) ? 1 ? 2 ? ? 0 在 x ? [2, 4] 上恒成立,∴ f ( x) 在 [2, 4] 上是增函数. x x2
令 f ( x) ? x ? ∴ f (2) ? f ( x) ? f (4) ,即 4 ? f ( x) ? 5 .∴ 4 ? a ? 5 .

(五)零点定理: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0,那么 函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是 f(x)=0 的根。

(六)利用图形计算器

(a ? R )有 三 个 零 点 , 则 a 的 取 值 范 围 问 题 一 : 已 知 函 数 f ( x)? x ? 3 x? a
3

4



. (?2, 2)

根据图像,有三个零点的时 候 a∈(-2,2) 问题二:2.函数 y ?

x ? sin x 的图象大致是( C ) 2

y

y

y

y

O A



x
B

O



x

O C



x

O D



x

根据图像可知选 C 问题三:3.函数 y ? 2 ? x 的图像大致是( A )
x 2

5

根据图像可知选 A 三、题的应用 (一)利用函数零点解不等式 我们知道,二次函数的图象是连续的,当它通过零点(不是二重零点)时,函数值变号, 并且在任意两个相邻的变号零点之间函数值保持同号,根据二次函数变号零点的这一性质, 可以求解二次不等式. 问题一:二次函数 y ? ax ? bx ? c 的部分对应值如下表:
2

?3

?2
0

?1 ?4

0
?6

1
?6

2 ?4

3
0

4
6

x

y
2

6

则不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是



解析:由表中数据可知函数的两个零点分别为 ?2 和 3 ,这两个零点将其余实数分为三个区

? 2) )中取特殊值 ?3 ,由于 f (?3) ? 6 ? 0 , ? 2), (?2,,, 3) (3 ? ∞) ,在区间 (?∞, 间:(?∞, 23 , ) ? 2) 时, 因此根据二次函数变号零点的性质可得: 当 x ? (??, 都有 f ( x) ? 0 ; 当 x ? (? 3, ?∞ ) 时, ? 2) ? (3 , ? ∞). 时, 有 f ( x) ? 0 ; 当 x ?( 有 f ( x) ? 0 , 故不等式的解集为 (?∞,
(二)利用函数零点研究方程的根 由于函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 的根,所以在研究方程的有关问题,如:

6

比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等时,都可以将方程问题转化为函 数问题,借助函数的零点,结合函数的图象加以解决. 问题一: 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? 2(a ? b) , 若 ?,? (? ? ? ) 是方程 f ( x) ? 0 的两 个根,则实数 a,b,?,? 之间的大小关系是( A. ? ? a ? b ? ? C. a ? ? ? b ? ? B. a ? ? ? ? ? b D. ? ? a ? ? ? b )

解析:若令 g ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ,显然函数 g ( x) 的两个零点是 a,b ,函数 f ( x ) 的两个 零点是 ?,? ,而函数 f ( x ) 的图象是由函数 g ( x) 的图象向上平移两个单位得到的,结合图 象可知: a ? ? ? ? ? b ,故应选(B) . 问题二:已知关于 x 的方程 3x ? 5 x ? a ? 0 的两根 x1,x2 满足 x1 ? (?2, 0) , x2 ? (1 , 3) ,求
2

实数 a 的取值范围. 解析:依题意,关于 x 的方程 3x ? 5 x ? a ? 0 的两根 x1,x2 满足 x1 ? (?2, 0) , x2 ? (1 , 3) ,
2

即函数 f ( x) ? 3x ? 5x ? a 的两个零点 x1,x2 满足 x1 ? (?2, 0) , x2 ? (1 , 3) ,所以结合二次
2

函数 f ( x) ? 3x ? 5x ? a 的图象可得:
2

? f (?2) ? 0, ?3 ? 4 ? 5 ? (?2) ? a ? 0, ? f (0) ? 0, ?a ? 0, ? ? 即? 解得: ?12 ? a ? 0 . ? f (1) ? 0 , 3 ? 5 ? a ? 0 , ? ? ? ? f (3) ? 0 , ?27 ? 15 ? a ? 0, ?

四、个人感受 零点问题已经成为热门高考题,其中也经常出现易错点,解析零点问题的方法有很多,在遇 到复杂的零点问题的时候, 我们可以借助计算器或者图形计算器来帮助计算, 图形计算器所 绘制的图像可以清晰的表现出零点, 以上为总结的几种求零点的方法以及相关例题, 希望它 可以帮助同学更好理解零点问题,解决零点问题。 五、参考文献 http://wenku.baidu.com/view/ff8ef82be2bd960590c6776c.html http://wenku.baidu.com/view/483e0326dd36a32d7375818c.html
7

http://wenku.baidu.com/view/fd3a6f6e7e21af45b307a886.html http://wenku.baidu.com/view/ce51c4efb8f67c1cfad6b8c7.html http://wenku.baidu.com/view/6332c328cfc789eb172dc830.html

8


辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 探究出手角度对抛物运动的影响

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 探究出手角度对抛物运动的影响_数学_高中教育_教育专区。今日...

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生“乐动达人”简易版的编制

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生“乐动达人”简易版的编制_数学_高中教育_教育专区。辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中...

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 图形计算器游戏贪吃蛇

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 图形计算器游戏贪吃蛇_数学_高中教育_教育专区。辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学...

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 图形计算器游戏推箱子

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 图形计算器游戏推箱子_数学_高中教育_教育专区。辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学...

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 海上升明月

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 海上升明月 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数...

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 对“万箭穿心”图像的探究

辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动 学生 对“万箭穿心”图像的探究 引言 《廊桥遗梦》里有一句经典对白——爱情并不遵从我们...

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 数与美

辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学论文 图形计算器应用能 力测试活动学生 数与美 前奏(研究目的与摘要) :路漫漫兮其修远,吾将上下而求索。数学的世界博大...

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 复合函数图像性质研究

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 复合函数图像性质研究_数学_高中教育_教育专区。辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学...

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 复数运算的拓展

辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 复数运算的拓展通过使用 CASIO ClassPad 330 图形计算器,笔者初步认识了虚数单位 ,并...

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 数学建模2

辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学论文 图形计算器应 用能力测试活动学生 数学建模 2 乒乓球比赛是中国队在世界上占优势的比赛项目, 我们学校也有自己的乒乓...

计算器求零点 | 辽宁省沈阳市 | 沈阳五险一金计算器 | 沈阳工资计算器 | 辽宁省沈阳市 邮编 | 辽宁省沈阳市和平区 | 辽宁省沈阳市区号 | 辽宁省沈阳市天气预报 |

相关文档