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2011《金版新学案》高三数学一轮复习 5-2 平面向量的坐标运算课件(文) 全国.重庆专版


第二节

平面向量的坐标运算

? 1.平面向量基本定理及坐标表示 ? (1)平面向量基本定理 不共线 ? 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向 有且只有 量a, λ1e一对实数λ1,λ2,使a= 1+λ2e2 . 不共线的向量e1,e2 ? 其中, 叫做表示这一平 面内所有向量的一组基底.

?

(1)设e1、e2是同一平面内的一组 基底,如果有且只有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e1+λ2e2,则a、e1、e2共面. ? (2)如果e1,e2是同一平面内的一组基底, 且λ1e1+λ2e2=0(λ1∈R,λ2∈R),那么λ1= λ2=0.

? (2)平面向量的正交分解 ? 把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量,叫 做向量正交分解. ? (3)平面向量的坐标表示 ? ①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y 轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底, 对于平面内的一个向量a,有且只有一对 (x,y) 实数x,y,使a=xi+yj,把有序数对 (x,y) x 叫做向量a的坐标,记作a= ,其中 y 叫做a在x轴上的坐标, 叫做a在y轴上的 坐标.

→ ②设OA=xi+yj,则 向量的坐标(x,y) 就是终点 A → 的坐标,即若OA=(x,y),则 A 点坐标为 (x,y) , 反 之亦成立.(O 为坐标原点)

? 2.平面向量的坐标运算 ? (1)加法、减法、数乘运算 向 量 a b a+b a-b λa
(λx1, λy1)

坐 (x1, y 1) 标

(x2 , y2)

(x1+x2, (x1-x2, y1+y2) y1-y2)

? (2)向量坐标的求法 (x 1,y ? 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则2-x= 2-y1) ,即一个向量的坐标等于 ? 该向量终点的坐标减去始点的坐标 . ? (3)平面向量共线的坐标表示 ? 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则 a与b共线?a=λb? . x1y2-x2y1=0

若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要 x1 y1 条件能不能写成x =y ? 2 2

? 【提示】 不能.因为x2,y2有可能为0, 故应表示成x1y2-x2y1=0.

? 1.若向量a=(3,2),b=(0,-1),则向量 2b-a的坐标是 ? ( ) ? A.(3,-4) B.(-3,4) ? C.(3,4) D.(-3,-4) ? 【答案】 D

? 2.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c= (-1,-2),若表示向量4a,4b-2c、2(a- c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形, 则向量d为 ? ( ) ? A.(2,6) B.(-2,6) ? C.(2,-6) D.(-2,-6)

? ? ? ? ? ?

【解析】 由题知4a=(4,-12), 4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2), 由题意知:4a+4b-2c+2(a-c)+d=0, 则(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+d=0, 即(2,6)+d=0故d=(-2,-6),选D. 【答案】 D

3.(2008 年安徽卷)在平行四边形 ABCD 中,AC 为 → → → 一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD= ( A.(-2,-4) C.(3,5) B.(-3,-5) D.(2,4) )

→ → → → 【解析】 在?ABCD,AD=BC=AC-AB=(1,3)- → → → (2,4)=(-1,-1),而BD=AD-AB=(-1,-1)-(2,4) =(-3,-5),故选 B.

【答案】 B

? ? ? ? ?

4.下列各组向量: ①e1=(-1,2),e2=(5,7); ②e1=(3,5),e2=(6,10); ③e1=(2,-3),e2= . 其中,能作为表示它们所在平面内所有向 量的基底的是______(填序号). ? 【解析】 ②中e2=2e1,③中e1=4e2,故 ②,③中e1,e2共线,不能作为表示它们 所在平面内所有向量的基底. ? 【答案】 ①

→ OB′ 5. 若点 O(0,0), A(1,2), B(-1,3), → =2OA, → 且OA′ → =3OB ,则点 A′的坐标为________,点 B′的坐标为 → ________,向量A′B′的坐标为________.

【解析】

∵O(0,0),A(1,2),B(-1,3),

→ → ∴OA=(1,2),OB=(-1,3), → OA′=2×(1,2)=(2,4), → =3×(-1,3)=(-3,9). OB′ ∴A′(2,4), B′(-3,9), → =(-3-2,9-4)=(- A′B′ 5,5).
【答案】 (2,4) (-3,9) (-5,5)

如图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 → → DC,BC 的中点,已知AM=c,AN=d,试用 c,d 表 → → 示AB,AD.

【思路点拨】

→ → 直接用 c,d 表示AB、AD有难度,

→ → → → 可换一个角度,由AB,AD表示AN,AM,进而解方程组 → → 可求AB,AD.

→ → 【解析】 解法 1:设AB=a,AD=b, 则
? 1 ? → → a=AN+NB=d+?-2b?① ? ?

? ? → +MD=c+?-1a?② → b=AM 2 ? ?

将②代入①得

? 1?? ? 1 ?? a=d+?-2??c+?-2a?? ? ?? ? ??

4 2 ?a=3d-3c,代入② 得
? 1??4 2 ? 4 2 b=c+?-2??3d-3c?= c- d. 3 ? ?? ? 3

→ =4d-2c,AD=4c-2d. → 即AB 3 3 3 3 → → 解法 2:设AB=a,AD=b. 因 M,N 分别为 CD,BC 中点, → =1b,DM=1a, → 所以BN 2 2 1 ? ?c=b+2a 因而? ?d=a+1b 2 ? ? 2 ?a=3(2d-c) ?? ?b=2(2c-d) ? 3



→ =2(2d-c),AD=2(2c-d). → 即AB 3 3

→ 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB → → → → =a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b, (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; → (3)求 M、N 的坐标及向量MN的坐标.

? 【解析】 由已知得 ? a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). ? (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)- 3(1,8) ? =(15-6-3,-15-3-24)=(6,- 42). ? (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),

→ → → (3)∵CM=OM-OC=3c, → → ∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M(0,20). → → → 又∵CN=ON-OC=-2b, → → ∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N(9,2). → ∴MN=(9,-18).

?

向量的坐标运算主要是利用加、 减、数乘运算法则进行.若已知有向线段 两端点的坐标,则应先求出向量的坐标, 解题过程中要注意方程思想的运用及正确 使用运算法则.

→ → → 1.已知 O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB.试 问: (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?在 y 轴上?P 在第二象 限? (2)OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由.

【解析】 再由条件求出.

利用向量相等建立向量的坐标间的关系,

(1)∵O(0,0),A(1,2),B(4,5), → → ∴OA=(1,2),AB=(3,3), → → → OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t). 2 若 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,解得 t=-3; 1 若 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,解得 t=- ; 3

若P

?1+3t<0 ? 在第二象限,则? ?2+3t>0 ?

2 1 ,解得-3<t<-3.

→ (2)解法 1:∵OA=(1,2), → → → PB=PO+OB=(3-3t,3-3t), 若四边形 OABP 为平行四边形,
?3-3t=1 → =PB,而? ? 则OA → ?3-3t=2 ?

无解,

∴OABP 不能成为平行四边形.

→ → → 解法 2:∵OP=OA+tAB, → → ∴AP=tAB,∴A、P、B 三点共线, ∴OABP 不能成为平行四边形.

?

已知平面内三个向量:a=(3,2),b= (-1,2),c=(4,1). ? (1)求满足a=mb+nc的实数m、n; ? (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.

? 【解析】 (1)∵a=mb+nc,m,n∈R. ? ∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m +n).

? (2)∵(a+kc)∥(2b-a), ? 且a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ? ∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0,

?

两平面向量共线的充要条件有两 种形式:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0; ? (2)若a∥b(a≠0),则b=λa.

?

2.已知四边形ABCD的四个顶点 A,B,C,D的坐标依次是(3,-1),(1,2), (-1,1),(3,-5),求证:四边形ABCD是 梯形.

【解析】 由 A,B 的坐标分别是(3,-1),(1,2), → 可得AB=(1-3,2+1)=(-2,3). 由 C,D 的坐标分别是(-1,1),(3,-5) → 可得CD=(3+1,-5-1)=(4,-6). → → 由-2×(-6)-4×3=0,可得AB∥CD. → → 下面考查AD与BC的关系: → AD=(3,-5)-(3,-1)=(0,-4), → BC=(-1,1)-(1,2)=(-2,-1),

→ → 0×(-1)-(-2)×(-4)=-8≠0,所以,AD与BC 不平行. 综上,四边形 ABCD 是梯形.

? 本节内容是向量的坐标运算及用坐标表示 平面向量共线的条件,是高考考查的热点, 常以选择、填空题的形式出现,为中、低 档题.向量的坐标运算常与三角,解析几 何等知识结合,在知识交汇点处命题,多 以解答题的形式呈现,属中档题. ? 1.(2009年湖北卷)若向量a=(1,1),b= (-1,1),c=(4,2),则c= ( ) ? A.3a+b B.3a-b ? C.-a+3b D.a+3b

【解析】 设 c=xa+yb,则(4,2)=x(1,1)+y(- 1,1).
?4=x-y, ? ∴? ?2=x+y. ? ?x=3, ? ∴? ?y=-1. ?

故 c=3a-b.

【答案】 B

? 2.(2009年辽宁卷)在平面直角坐标系xOy 中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC. 已知A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的 坐标为________.

→ 【解析】 设 D 点的坐标为(x,y),由题意知BC= → AD, 即(2, -2)=(x+2, 所以 x=0, y), y=-2, ∴D(0, -2).

【答案】 (0,-2)


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