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高中数学(北师大版)必修四课件:1-4-1任意角的正弦函数、余弦函数的定义


高中数学· 必修4· 北师大版 §4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 [学习目标] 1.掌握任意角的正弦、余弦的定义. 2.掌握正弦、余弦这两种函数值在各象限的符号. 3 .能利用任意角的正弦函数、余弦函数的定义进行简单的 推理证明. [知识链接] 在初中, 我们已经学过锐角三角函数. 如图, 在 Rt△ABC 中, 设 A 对边为 a,B 对边为 b,C 对边为 c,锐角 A 的正弦,余 弦,正切分别是什么? a b 答 锐角 A 的正弦, 余弦, 正切依次为: sin A=c, cos A=c , a tan A=b [预习导引] 1.单位圆的定义 在直角坐标系中,以 原点为圆心,以单位长 为半径的圆, 称为单位圆. 2.任意角正弦函数、余弦函数的定义 一般地,在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角α, 使角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终 边与单位圆交于点 P(u , v) ,那么点 P 的纵坐标 v 叫作角 α 的 的 正弦函数 ,记作v=sin α;点P的横坐标u叫作角α 余弦函数 ,记作 u=cos . α 通常,我们用x表示自变量,即x表示角的大小,用y表示函数 值,这样我们就定义了任意角三角函数y=sin x和y=cos x.它 们的定义域为全体实数,值域为 [-1,1]. 3.正弦、余弦函数值在各象限的符号 要点一 三角函数定义的应用 例 1 已知角 α 的终边经过点 P(-4a,3a)(a≠0),求 sin α、cos α 的值. 解 r= ?-4a?2+?3a?2=5|a|. (1)若 a>0,则 r=5a,角 α 在第二象限, y 3a 3 x -4a 4 sin α=r =5a=5,cos α= r = 5a =-5. (2)若 a<0,则 r=-5a,角 α 在第四象限, 3 4 sin α=- ,cos α= . 5 5 规律方法 利用三角函数的定义,求一个角的三角函数,需 要确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐 标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意,当点的坐标含 有参数时,应分类讨论. 跟踪演练 1 已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求 10sin α+ 3 cos α的值. 解 由题意知,cos α≠0. 设角 α 的终边上任一点为 P(k,-3k)(k≠0),则 x=k,y=-3k,r= k2+?-3k?2= 10|k|. (1)当 k>0 时,r= 10k,α 是第四象限角, y -3k 3 10 1 r 10k sin α=r = =- 10 ,cos α=x= k = 10, 10k ? 3 10? 3 ? ∴10sin α+cos α=10×? - ? ?+3 10=-3 10+3 10=0. 10 ? ? (2)当 k<0 时,r=- 10k,α 为第二象限角, -3k y 3 10 sin α= = = , r - 10k 10 1 r 10k = =- =- 10, cos α x k 3 3 10 ∴10sin α+ =10× +3×(- 10)=3 10-3 10 =0. cos α 10 3 综上所述,10sin α+ =0. cos α 要点二 例2 三角函数值符号的判断 判断下列各式的符号: (1)sin α· cos α(其中 α 是第二象限角); (2)sin 285° cos(-105° ); 19 cos π 6 (3) ?

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