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给学生--新课标高中数学必修①第二章


第二章 基本初等函数

第 1 讲 §2.1.1 指数与指数幂的运算
¤学习目标:理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握根式与分数指数幂的互 化,掌握有理数指数幂的运算. ¤知识要点: 1. 若 xn ? a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根,记为 n a ,其中 n>1,且 n ? N ? . n 次方根具有如下性质:

(1)在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数;正数的偶次方根是两个 绝对值相等、符号相反的数,负数的偶次方根没有意义;零的任何次方根都是零. (2)n 次方根( n ? 1, 且n ? N * )有如下恒等式:
np ?a, n为奇数 ; amp ? n am , (a ? 0). ( n a )n ? a ; n a n ? ? | a |, n 为偶数 ?
n 2. 规定正数的分数指数幂: a n ? a m ( a ? 0, m, n ? N ? , 且n ? 1 ) ; a m

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

am

.

¤例题精讲: 【例 1】求下列各式的值:
n (1) n ( n ? 1, 且n ? N * ) ; (3 ? ?)

(2) ( x ? y)2 .

解:

【例 2】已知 a 2n ? 2 ? 1 ,求 解:
2 1

a3n ? a ?3n 的值. an ? a?n

【例 3】化简: (1) (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 ) ; (2)

1

1

1

5

a 3b 2 3 ab 2 (a 4 b 2 )4 ? 3
1 1

b a

(a>0,b>0) ; (3) 81? 9 3 .

4

2

解:

点评:根式化分数指数幂时,切记不能混淆,注意将根指数化为分母,幂指数化为分子,根号的嵌套,化 为幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质,是复杂根式化简的关键. 【例 4】化简与求值: 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? (1) 6 ? 4 2 ? 6 ? 4 2 ; (2) . 1? 3 3? 5 5? 7 2n ? 1 ? 2n ? 1 解:

点评:形如 A ? B 的双重根式,当 A2 ? B 是一个平方数时,则能通过配方法去掉双重根号,这也是双 重根号能否开方的判别技巧。而分母有理化中,常常用到的是平方差公式,第 2 小题也体现了一种消去法的思 想。第(1)小题还可用平方法,即先算得原式的平方,再开方而得。

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第二章 基本初等函数

第 2 讲 §2.1.1 指数与指数幂的运算
※基础达标

27 ? 1 ) 3 的结果是( ). 125 3 5 A. B. C. 3 5 3 2.下列根式中,分数指数幂的互化,正确的是(
1.化简 ( A. ? x ? (? x) ( x ? 0) 3.下列各式正确的是( A.
3 5
1 2

D.5 ). C. x
1 8

B. 6 y 2 ? y ( y ? 0) ).
3
1 1

1 3

?

3 4

1 ? 4 ( )3 ( x ? 0) x
D. 2 x
? 1 3

D. x

?

1 3

? ? 3 x ( x ? 0)

a

?

?
?

1
3

a5
2 ?

B.

3

x2 ? x 2

C. a 2 ? a 4 ? a

?

? a2

1 1 1 ? ?( ? ) 4 8

2 ? 1 1 4 ( x3 ? 2x 3 ) ? 1 ? 2 x

4.计算 2 A.1

1 ?( ) 2

(?4)0

1 2 ?1
1 16

? (1 ? 5)0 ,结果是(
C.
? 1 ? 1 ? 1

). D. 2 ). D.
1 ? 1 (1 ? 2 32 ) 2
? 1 2

B. 2 2
? 1 32
?

2

5.化简 (1 ? 2 A.

)(1 ? 2
1 32 ?1

?

)(1 ? 2 8 )(1 ? 2 4 )(1 ? 2 2 ) ,结果是(
B. (1 ? 2
1 ? 32 ?1

1 (1 ? 2 2
6
1 2

)

)

C. 1 ? 2 .

1 ? 32

6.化简 ( 3

a9 )4 (

6 3

a9 )4 的结果是
2 ? 3

4 64 7.计算 ( ) ? (?5.6)0 ? ( ) 9 27 ※能力提高
2 1

? 0.125
1 1

1 ? 3

?

.

(a 3 b 2 ) (?3a 2 b 2 ) 8.化简求值:(1) ; 1 5 1 6 6 a b 3
答:

(2) a a a 4 .

3

x2 ? x 2 ? 2 9.已知 x ? x =3,求下列各式的值:(1) x ? x ?1 ;(2) 2 . x ? x?2 ? 3
1 2 ? 1 2

3

?

3

解:

※探究创新
1 1 ? ? 1 1 1 1 ( x 3 ? x 3 ) , g ( x) ? ( x 3 ? x 3 ) . 5 5 (1)判断 f ( x) 、 g ( x) 的奇偶性; (2)分别计算 f (4) ? 5 f (2) g (2) 和 f (9) ? 5 f (3) g (3) ,并概括出涉及函数 f ( x) 和 g ( x) 对所有不为 0 的实 数 x 都成立的一个等式,并加以证明. 答:

10.已知函数 f ( x) ?

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第二章 基本初等函数

第 3 讲 §2.1.2 指数函数及其性质(一)
¤学习目标:理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像,探索并理解 指数函数的单调性与特殊点,掌握指数函数的性质. ¤知识要点: 1. 定义:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数(exponential function) ,其中 x 是自变量,函 数的定义域为 R. 2. 以函数 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 的图象为例,观察这一对函数的图象,可总结出如下 性质: 定义域为 R, 值域为 (0, ??) ; 当 x ? 0 时,y ? 1 , 即图象过定点 (0,1) ; 当0 ? a ?1 时,在 R 上是减函数,当 a ? 1 时,在 R 上是增函数。 ¤例题精讲: 【例 1】求下列函数的定义域: (1) y ? 2 3? x ; 解:
1

1 2

(2) y ? ( )

1 3

5? x



(3) y ?

10x ? 100 . 10x ? 100

【例 2】求下列函数的值域:

1 (1) y ? ( ) 3 x ?1 ; 3 解:

2

(2) y ? 4x ? 2x ? 1

【例 3】 (05 年福建卷.理 5 文 6) 函数 f ( x) ? a x ?b 的图象如图, 其中 a、 b 为常数, 则下列结论正确的是 ( A. a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0 解:

) .

点评:观察图象变化趋势,得到函数的单调性,结合指数函数的单调性, 得到参数 a 的范围. 根据所给函数式的平移变换规律,得到参数 b 的范围. 也可以取 x=1 时的特殊点,得到 a ?b ? 1 ? a 0 ,从而 b<0. 【例 4】已知函数 f ( x) ? a2?3 x (a ? 0, 且a ? 1) . (1)求该函数的图象恒过的定点坐标; (2)指出该函数的单调性. 解:

点评:底数两种情况的辨析,实质就是分类讨论思想的运用. 而含参指数型函数的研究,要求正确处理与 参数相关的变与不变.
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第二章 基本初等函数

第 4 讲 §2.1.2 指数函数及其性质(一)
※基础达标 1.下列各式错误的是( A.
0.8 0.7

). D.

3 ?3 B. 0.50.4 ? 0.50.6 C. 0.75?0.1 ? 0.750.1 2.已知 c ? 0 ,在下列不等式中成立的是( ). 1 c 1 1 c A. 2 ? 1 B. c ? ( ) C. 2c ? ( )c D. 2c ? ( )c 2 2 2 3.函数 y=ax+1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点( ). A.(0,1) B. (1,0) C.(2,1) D.(0,2) 4.设 a , b 满足 0 ? a ? b ? 1 ,下列不等式中正确的是( ).

( 3)1.6 ? ( 3)1.4

A. a a ? ab B. ba ? bb C. a a ? ba D. bb ? ab 5.世界人口已超过 56 亿,若千分之一的年增长率,则两年增长的人口可相当于一个( A. 新加坡(270 万) B. 香港(560 万) C. 瑞士(700 万) D. 上海(1200 万) 6. 某地现有绿地 100 平方公里, 计划每年按 10%的速度扩大绿地, 则三年后该地的绿地为
1

). 平方公里.

7.函数 y ? 2 x

2

? 2 x ?3

的定义域为

;函数 y ? ( ) x

1 2

2

? 2 x ?3

的值域为

※能力提高 8.已知 a , b 为不相等的正数,试比较 a a bb 与 ab ba 的大小. .解:

9.若已知函数 f ( x) ? a2?3 x (a ? 0, 且a ? 1) , g ( x) ? a x . (1)求函数 f ( x) 的图象恒过的定点坐标; (2)求证: g ( 解:

x1 ? x2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) . )? 2 2

※探究创新 10.讨论函数 y ? a x 解:
2

?1

(a ? 0,且a ? 1) 的值域.

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第二章 基本初等函数

第 5 讲 §2.1.2 指数函数及其性质(二)
¤学习目标: 在解决简单实际问题的过程中, 体会指数函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用. ¤知识要点: 以函数 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 的图象为例,得出这以下结论: (1)函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? f (? x) 的图象关于 y 轴对称. (2)指数函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的图象在第一象限内,图象由下至上,底数由下到大. ¤例题精讲: 【例 1】按从小到大的顺序排列下列各数: 3 2 , 0.3 2 , 2 解:
2

1 2

, 0.2

2

.

点评:利用指数函数图象的分步规律,巧妙地解决了同指数的幂的大小比较问题. 当然,我们在后面的学习中,可以直接利用幂函数的单调性来比较此类大小. 【例 2】已知 f ( x) ? 解:

2x ? 1 . (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)讨论 f ( x) 的单调性. 2x ? 1

点评:在这里,奇偶性与单调性的判别,都是直接利用知识的定义来解决. 需要我们理解两个定义,掌握 其运用的基本模式,并能熟练的进行代数变形,得到理想中的结果. 【例 3】求下列函数的单调区间: (1) y ? a x 解:
2

? 2 x ?3



(2) y ?

1 . 0.2 x ? 1

点评:研究形如 y ? a f ( x ) (a ? 0,且a ? 1) 的函数的单调性,可以有如下结论:当 a ? 1 时,函数 y ? a f ( x ) 的 单调性与 f ( x) 的单调性相同;当 0 ? a ? 1 时,函数 y ? a f ( x ) 的单调性与 f ( x) 的单调性相反 . 而对于形如

y ? ? (a x ) (a ? 0,且a ? 1) 的函数单调性的研究,也需结合 a x 的单调性及 ? (t ) 的单调性进行研究. 复合函数 y ? f (? ( x)) 的单调性研究,遵循一般步骤和结论,即:分别求出 y ? f (u ) 与 u ? ? ( x) 两个函数
的单调性,再按口诀“同增异减”得出复合后的单调性,即两个函数同为增函数或者同为减函数,则复合后结 果为增函数;若两个函数一增一减,则复合后结果为减函数. 为何有“同增异减”?我们可以抓住 “x 的变化 → u ? ? ( x) 的变化→ y ? f (u ) 的变化”这样一条思路进行分析.
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第二章 基本初等函数

第 6 讲 §2.1.2 指数函数及其性质(二)
※基础达标 1.如果指数函数 y= (a ? 2) x 在 x∈R 上是减函数,则 a 的取值范围是( A.a>2 B.a<3 C.2<a<3 3 x ?1 ? 2 ? 0 成立的 x 的取值范围是( 2.使不等式 2 A. ( , ??) D.a>3 ). ).

3 2

B.

2 ( , ??) 3

C.

1 ( , ??) 3

D. (? , ??) ).

1 3

3.某工厂去年 12 月份的产值是去年元月份产值的 m 倍,则该厂去年产值的月平均增长率为(

m A. m B. C. 12 m ? 1 D. 11 m ? 1 12 1 2 4.函数 f ( x) ? ( ) x ?6 x ?5 的单调递减区间为( ). 3 A. (??, ??) B. [ ?3,3] C. (??,3] D. [3, ??)
5.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积( m 2 )与时间 t (月) 的关系: y ? a t ,有以下叙述: ① 这个指数函数的底数是 2; ② 第 5 个月时,浮萍的面积就会超过 30m 2 ; ③ 浮萍从 4 m 2 蔓延到 12m2 需要经过 1.5 个月; ④ 浮萍每个月增加的面积都相等. 其中正确的是( ). A. ①②③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①②

y/m2 8

4 2 1 0 1 2 3

t/月

6.我国的人口约 13 亿,如果今后能将人口数年平均增长率控制在 1%,那么经过 x 年后我国人口数为 y 亿,则 y 与 x 的关系式为 . 7.定义运算 a ? b ? ? ※能力提高 8.已知 f ( x) ? 答:

? ?a ? ?b

? a ? b? , ? a ? b?.
.

则函数 f ( x) ? 1 ? 2x 的值域为

.

( 2 ? 1) x ? 1 ( 2 ? 1) x ? 1

(1)讨论 f ( x) 的奇偶性;

(2)讨论 f ( x) 的单调性。

2 9。求函数 y ? 3? x ?2 x?3 的定义域、值域并指出单调区间。

答:

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第二章 基本初等函数

※探究创新 10.函数 f ( x) ? 2 x
2

? ax ?3

是偶函数. (1)试确定 a 的值及此时的函数解析式;
2

(2)证明函数 f ( x) 在区间 (??,0) 上是减函数; (3)当 x ? [?2, 0] 时,求函数 f ( x) ? 2 x 解:

? ax ?3

的值域.

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第二章 基本初等函数

第 7 讲 §2.2.1 对数与对数运算(一)
¤学习目标:理解对数的概念;能够说明对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的相互转化,并能运用 指对互化关系研究一些问题. ¤知识要点: 1. 定义: 一般地, 如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) , 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数 (logarithm) .记作 x ? loga N , 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数 2. 我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数 (common logarithm) , 并把常用对数 log10 N 简记为 lgN
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆



科学技术中常使用以无理数 e=2.71828??为底的对数,以 e 为底的对数叫自然对数,并把自然对数 loge N 简 记作 lnN 3. 根据对数的定义,得到对数与指数间的互化关系:当 a ? 0, a ? 1 时, loga N ? b ? ab ? N .
王新敞
奎屯 新疆

4. 负数与零没有对数; log a 1 ? 0 , log a a ? 1 ¤例题精讲: 【例 1】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:

1 ; (2) 3a ? 27 ; (3) 10?1 ? 0.1 ; 128 (4) log 1 32 ? ?5 ; (5) lg 0.001 ? ?3 ; (6)ln100=4.606.
(1) 2?7 ?
2

解:

【例 2】计算下列各式的值: (1) lg 0.001 ; (2) log 4 8 ; 解:

(3) ln e .

【例 3】求证: (1) loga an ? n ; 证明:

(2) loga M ? loga N ? loga

M . N

点评:对数运算性质是对数运算的灵魂,其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁,结合指数运算的 性质而得到. 我们需熟知各种运算性质的推导. log c b 【例 4】试推导出换底公式: log a b ? ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ). log c a 证明:

点评:换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具. 其推导也密切联系指数运算性质,牢牢扣住 指对互化关系.
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第二章 基本初等函数

第 8 讲 §2.2.1 对数与对数运算(一)
※基础达标 1. logb N ? a (b ? 0, b ? 1, N ? 0) 对应的指数式是( A. a ? N B. b ? N C. a ? b 2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是(
b a N

). D. b N ? a ).

A. e0 ? 1与 ln1 ? 0 C. log3 9 ? 2与9 2 ? 3
1

B. 8

1 ?( ) 3

1 1 1 ? 与 log 8 ? ? 2 2 3

D. log7 7 ? 1与71 ? 7 D. 1000 ). D. 等于(

3.设 5lg x ? 25 ,则 x 的值等于( ). A. 10 B. 0.01 C. 100

1 3 4.设 log x ? ,则底数 x 的值等于( 8 2 1 A. 2 B. C. 4 2
5.已知 log 4 [log3 (log 2 x)] ? 0 ,那么 x A.
? 1 2

1 4
). D.

1 3

B.

1 2 3

C.

1 2 2


1 3 3

1 ,则 x= 3 7.计算: log 3 81=
6.若 log 2 x ? ※能力提高

若 log x 3 ? ?2 ,则 x=. .



6 = lg 0. 1

8.求下列各式的值:(1) log 解:

2 2

8;

(2) log9 3 .

9.求下列各式中 x 的取值范围:(1) log x ?1 ( x ? 3) ; 解:

(2) log1?2 x (3x ? 2) .

※探究创新 10. (1)设 loga 2 ? m , log a 3 ? n ,求 a 2 m ? n 的值. (2)设 A ? {0,1, 2} , B ? {loga 1,loga 2, a} ,且 A ? B ,求 a 的值. 解:

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第二章 基本初等函数

第 9 讲 §2.2.1 对数与对数运算(二)
¤学习目标: 通过阅读材料, 了解对数的发现历史以及对简化运算的作用; 理解对数的概念及其运算性质, 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;理解推导这些运算性质的依据和过程;能较熟练地 运用运算性质解决问题. ¤知识要点: 1. 对数的运算法则: loga (M N ) ? loga M ? loga N , loga

M ? loga M ? loga N , loga M n ? n loga M , N

其中 a ? 0, 且a ? 1 , M ? 0, N ? 0, n ? R . 三条法则是有力的解题工具,能化简与求值复杂的对数式. 2. 对数的换底公式 log a N ?

log b N 1 . 如果令 b=N,则得到了对数的倒数公式 log a b ? . 同样,也可 log b a logb a

以推导出一些对数恒等式,如 logan N n ? loga N , logam N n ? ¤例题精讲:

n loga N , log a b logb c logc a ? 1等. m

【例 1】化简与求值: (1) (lg 2)2 ? lg 2 lg5 ? (lg 2)2 ? lg 2 ? 1 ; (2) log2 ( 4 ? 7 ? 4 ? 7 ) . 解: (1)

1 2

(2)

【例 2】若 2a ? 5b ? 10 ,则 解:

1 1 ? = a b

.

(教材 P83 B 组 2 题)

【例 3】 (1)方程 lg x ? lg( x ? 3) ? 1 的解 x=________; (2)设 x1 , x2 是方程 lg2 x ? a lg x ? b ? 0 的两个根,则 x1 x2 的值是 解: .

点评:同底法是解简单对数方程的法宝,化同底的过程中需要结合对数的运算性质 . 第 2 小题巧妙利用了 换元思想和一元二次方程根与系数的关系. 1 1 1 ? ? 【例 4】 (1)化简: ; log 5 7 log 3 7 log 2 7 (2)设 log2 3 log3 4 log 4 5 ??? log 2005 2006 log 2006 m ? 4 ,求实数 m 的值. 解:

点评:换底时,一般情况下可以换为任意的底数,但习惯于化为常用对数. 换底之后,注意结合对数的运 算性质完成后阶段的运算.
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第二章 基本初等函数

第 10 讲 §2.2.1 对数与对数运算(二)
※基础达标 1. log
n ?1 ? n

1- n )等于( ( n+
B. -1 B. a2 (a≠0)化简得结果是(

). C. 2 ). D. a ). C. |a| D. -2

A. 1 2. ( 5) A. -a
log5 ( ? a )2

3.化简 lg 2 ? lg 5 ? log3 1 的结果是( A.

1 B. 1 C. 2 D. 10 2 4.已知 f ( x3 ) ? log 2 x , 则 f (8) 的值等于( ).
A. 1 B. 2 C. 8 D. 12 5.化简 log3 4 ? log4 5 ? log5 8 ? log8 9 的结果是 ( ).

3 A .1 B. 2 2 6.计算 (lg5) ? lg 2 ? lg50 =
a

C. 2 .

D.3

7.若 3 =2,则 log38-2log36= . ※能力提高 8. (1)已知 log18 9 ? a , 18b ? 5 ,试用 a、b 表示 log18 45 的值;

log14 5 ? b ,用 a、b 表示 log35 28 . (2)已知 log14 7 ? a,
解:

9.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度 v (m / s) 和燃料的质量 M (kg ) 、火箭(除燃料外)的质 量 m (kg ) 的关系是 v ? 2000ln(1 ? 解:

M 火箭的最大速度可达到 10 km / s ? ) . 当燃料质量是火箭质量的多少倍时, m

※探究创新 10. (1)设 x, y, z 均为实数,且 3x ? 4 y ,试比较 3x 与 4y 的大小. (2)若 a、b、c 都是正数,且至少有一个不为 1, a x b y c z ? a y b z c x ? a z b x c y ? 1 ,讨论 x、y、z 所满足的 关系式. 解:

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第二章 基本初等函数

第 11 讲 §2.2.2 对数函数及其性质(一)
¤学习目标:通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会 对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的单 调性与特殊点. ¤知识要点: 1. 定义:一般地,当 a>0 且 a≠1 时,函数 y=log a x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是 x; 函 数的定义域是(0,+∞). 2. 由 y ? log 2 x 与 y ? log 1 x 的图象,可以归纳出对数函数的性质:定义域为 (0, ??) ,值域为 R;当 x ? 1
2

时, y ? 0 ,即图象过定点 (1,0) ;当 0 ? a ? 1 时,在 (0, ??) 上递减,当 a ? 1 时,在 (0, ??) 上递增. ¤例题精讲: 【例 1】比较大小: (1) log0.9 0.8 , log0.9 0.7 , log0.8 0.9 ; (2) log 3 2 , log 2 3 , log 4 解:

1 . 3

【例 2】求下列函数的定义域: (1) y ? log2 (3x ? 5) ; (2) y ? log0.5 (4x) ? 3 . 解:

【例 3】已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 3) 的区间 [?2, ?1] 上总有 | f ( x) |? 2 ,求实数 a 的取值范围. 解:

点评:先对底数 a 分两种情况讨论,再利用函数的单调性及已知条件,列出关于参数 a 的不等式组,解不 等式(组)而得到参数的范围. 解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论,不等式法求参数范围. 【例 4】求不等式 loga (2 x ? 7) ? log a (4 x ? 1) (a ? 0, 且a ? 1) 中 x 的取值范围. 解:

点评:结合单调性,将对数不等式转化为熟悉的不等式组,注意对数式有意义时真数大于 0 的要求. 当底 数 a 不确定时,需要对底数 a 分两种情况进行讨论.
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第二章 基本初等函数

第 12 讲 §2.2.2 对数函数及其性质(一)
※基础达标 1.下列各式错误的是( ). A. 30.8 ? 30.7 C. log0..5 0.4 ? log0..5 0.6 B. D.

0.75?0.1 ? 0.750.1 lg1.6 ? lg1.4 .
).

2.当 0 ? a ? 1 时,在同一坐标系中,函数 y ? a? x与y ? loga x 的图象是(

y

y

y

y

1 o

x 1

1 o 1 x

1 o 1
C ) D.

x

1 o
D y= x 2

1

x

A B 3.下列函数中哪个与函数 y=x 是同一个函数( A. y ? alog a x (a ? 0, a ? 1) B. y=

x2 x

C. y ? loga a x (a ? 0, a ? 1) ).

4.函数 y ? log 1 ( x ? 1) 的定义域是(
2

A. (1, ??)

B. (??, 2)

C. (2, ??)

D. (1, 2] D. 0 ? m ? n ? 1

5.若 log m 9 ? log n 9 ? 0 ,那么 m, n 满足的条件是( ). m ? n ? 1 n ? m ? 1 0 ? n ? m ?1 A. B. C. 6.函数 y ? log3 x 的定义域为 7.比较两个对数值的大小: ln 7 ※能力提高 8.求下列函数的定义域: ( 1) f ? x ? ? 解:

. (用区间表示)

l n 1 2; log 0.5 0.7

log 0. 5 0. 8

4?x ? log 3 ? x ? 1? ; (2) y ? 1 ? log2 (4x ? 5) . x ?1

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第二章 基本初等函数

9.已知函数 f ( x) ? 3 ? log2 x, x ?[1, 4] , g ( x) ? f ( x2 ) ? [ f ( x)]2 ,求: (1) f ( x) 的值域; (2) g ( x) 的最大值及相应 x 的值. 解:

※探究创新 10.若 a , b 为不等于 1 的正数,且 a ? b ,试比较 log a b 、 loga 解:

1 1 、 logb . b b

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第二章 基本初等函数

第 13 讲 §2.2.2 对数函数及其性质(二)
¤学习目标:掌握对数函数的性质,并能应用对数函数解决实际中的问题 . 知道指数函数 y=ax 与对数函 数 y=loga x 互为反函数. (a > 0, a≠1) ¤知识要点: 1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变 量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数(inverse function). 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y ? x 对称. 2. 函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 与对数函数 y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 互为反函数. 3. 复合函数 y ? f (? ( x)) 的单调性研究,口诀是“同增异减” ,即两个函数同增或同减,复合后结果为增 函数;若两个函数一增一减,则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是: (i)求定义域; (ii) 拆分函数; (iii)分别求 y ? f (u ), u ? ? ( x) 的单调性; (iv)按“同增异减”得出复合函数的单调性. ¤例题精讲: 【例 1】讨论函数 y ? log0.3 (3 ? 2 x) 的单调性. 解:

【例 2】 (05 年山东卷.文 2)下列大小关系正确的是( A. 0.43 ? 30.4 ? log 4 0.3 B. 0.43 ? log4 0.3 ? 30.4 C. log4 0.3 ? 0.43 ? 30.4 解: D. log4 0.3 ? 30.4 ? 0.43

).

【例 3】指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象与对数函数 y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 的图象有何关系? 解:

点评:两个函数的对称性,由任意点的对称而推证出来. 这种对称性实质是反函数的图象特征,即函数 y ? a x 与 y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 互为反函数,而互为反函数的两个函数图象关于直线 y ? x 对称. 【例 4】2005 年 10 月 12 日,我国成功发射了“神州”六号载人飞船,这标志着中国人民又迈出了具有历 史意义的一步.已知火箭的起飞重量 M 是箭体(包括搭载的飞行器)的重量 m 和燃料重量 x 之和.在不考虑空气 阻力的条件下, 假设火箭的最大速度 y 关于 x 的函数关系式为:y ? k[ln(m ? x) ? ln( 2m)] ? 4ln 2 (其中k ? 0) . 当燃料重量为 ( e ? 1)m 吨(e 为自然对数的底数, e ? 2.72 )时,该火箭的最大速度为 4(km/s). (1)求火箭的最大速度 y(km / s) 与燃料重量 x 吨之间的函数关系式 y ? f ( x) ; (2)已知该火箭的起飞重量是 544 吨,是应装载多少吨燃料,才能使该火箭的最大飞行速度达到 8km/s, 顺利地把飞船发送到预定的轨道? 解:

点评:直接给定参数待定的函数模型时,由待定系数法的思想,代入已知的数据得到相关的方程而求得待 定系数. 一般求出函数模型后,还利用模型来研究一些其它问题 . 代入法、方程思想、对数运算,是解答此类 问题的方法精髓.
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第二章 基本初等函数

第 14 讲 §2.2.2 对数函数及其性质(二)
※基础达标 1.函数 y ? lg

1? x 的图象关于( 1-x

). C. 原点对称 ). C. (??, ?3] D. 直线 y=x 对称

A. y 轴对称 B. x 轴对称 2.函数 y ? log 1 ( x 2 ? 6 x ? 17) 的值域是(
2

A.

R

B. [8, ??)

D. [3, ??)

3. (07 年全国卷.文理 8)设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a x 在区间 ? a, 2a ? 上的最大值与最小值之差为 ( ). A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4 4.图中的曲线是 y ? log a x 的图象,已知 a 的值为 2 , 则相应曲线 C1 , C2 , C3 , C4 的 a 依次为( A. ).

1 ,则 a ? 2

4 3 1 , , , 3 10 5

y C2 C1 0 1 C3 C4 x

4 1 3 4 3 1 , , B. 2 , , , 3 5 10 3 10 5 1 3 4 4 3 1 C. , , , 2 D. , 2, , 3 10 5 5 10 3 5.下列函数中,在 (0, 2) 上为增函数的是( ).
2,
A. y ? log 1 ( x ? 1)
2

B. y ? log2

x2 ? 1

C. y ? log2

1 x
.

D. y ? log0.2 (4 ? x2 )

6. 函数 f ( x) ? lg( x2 ? 1 ? x) 是
x

函数. (填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)

7.函数 y ? a 的反函数的图象过点 (9, 2) ,则 a 的值为 ※能力提高 8.已知 f ( x) ? loga 解:

6 , (a ? 0, a ? 1) ,讨论 f ( x) 的单调性. x ?b

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第二章 基本初等函数

9. 我们知道, 人们对声音有不同的感觉, 这与它的强度有关系. 声音的强度 I 用瓦/平方米 ( W / m2 ) 表示. 但 I 在实际测量中,常用声音的强度水平 L1 表示,它们满足以下公式: L1 ? 10 lg (单位为分贝) , L1 ? 0 ,其 I0 中 I 0 ? 1 ? 10?12 ,这是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端. 回答以下问题: ( 1 )树叶沙沙声的强度是 1 ? 10?12W / m 2 ,耳语的强度是 1 ? 10?10W / m 2 ,恬静的无限电广播的强度为 1 ? 10?8 W / m2 . 试分别求出它们的强度水平. (2)在某一新建的安静小区规定:小区内的公共场所声音的强 度水平必须保持在 50 分贝以下,试求声音强度 I 的范围为多少? 解:

※探究创新 10. 已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1), g ( x) ? log a (1 ? x) 其中 (a ? 0 且a ? 1 ) . (1) 求函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并说明理由; (3)求使 f ( x) ? g ( x) ? 0 成立的 x 的集合. 解:

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第二章 基本初等函数

第 15 讲 §2.3 幂函数
¤学习目标:通过实例,了解幂函数的概念;结合函数 y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的图像,了解它们的 变化情况. 知识要点: 1. 幂函数的基本形式是 y ? x? ,其中 x 是自变量, ? 是常数. 要求掌握 y ? x ,

y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x1/ 2 , y ? x?1 这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性,总结如下: (1)当 ? ? 0 时,图象过定点 (0, 0), (1,1) ; 在 (0, ??) 上是增函数.(2)当 ? ? 0 时,图象过定点 (1,1) ;在 (0, ??) 上是减函数;
在第一象限内,图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数 y ? x? 的图象,在第一象限内,直线 x ? 1 的右侧,图象由下至上, 指数 ? 由小到大. y 轴和直线 x ? 1 之间,图象由上至下,指数 ? 由小到大. ¤例题精讲: 【例 1】已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (27,3) ,试讨论其单调性. 解:

【例 2】已知幂函数 y ? xm?6 (m ? Z ) 与 y ? x2?m (m ? Z ) 的图象都与 x 、 y 轴都没有公共点,且

y ? xm?2 (m ? Z ) 的图象关于 y 轴对称,求 m 的值.
解:

【例 3】幂函数 y ? xm 与 y ? x n 在第一象限内的图象如图所示,则( A. ? 1 ? n ? 0 ? m ? 1 B. n ? ?1, 0 ? m ? 1 C. ?1 ? n ? 0, m ? 1 D. n ? ?1, m ? 1 解:

).

点评:观察第一象限内直线 x ? 1 的右侧,结合所记忆的分布规律. 注意 比较两个隐含的图象 y ? x1 与 y ? x 0 . 【例 4】本市某区大力开展民心工程,近几年来对全区 a m2 的老房子进行平改坡( “平改坡”是指在建筑 结构许可条件下,将多层住宅平屋面改建成坡屋顶,并对外墙面进行整修粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外 观视觉效果的房屋修缮行为) , 且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时, 所用时间需 10 年. 已 知到今年为止,平改坡剩余面积为原来的

2 . 2 (1)求每年平改坡的百分比; (2)问到今年为止,该平改坡工程已进行了多少年? a (3)若通过技术创新,至少保留 m2 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年? 4 解:

点评:以房屋改造为背景,从中抽象出函数模型,结合两组改造数据及要求,通过三个等式求得具有实际 意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.
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第二章 基本初等函数

第 16 讲 §2.3 幂函数
※基础达标

2 ) ,则 f (4) 的值等于( 2 1 1 A. 16 B. 2 C. D. 16 2 2.下列函数在区间 (0,3) 上是增函数的是( ).
1.如果幂函数 f ( x) ? x? 的图象经过点 (2, A. y ?

).

1 x
1

B. y ? x 2
1

1

C. y ? ( ) x

1 3

D. y ? x2 ? 2 x ? 15 ). D. b<a<c
8

3.设 a ? 0.7 2 , b ? 0.8 2 ,c ? log3 0.7 ,则( A. c<b<a B. c<a<b C. a<b<c

4.如图的曲线是幂函数 y ? x n 在第一象限内的图象. 已知 n 分别取 ?2 , ?

1 6 四个值,与曲线 c1 、 c 2 、 c3 、 2
4

c 4 相应的 n 依次为( ). 1 1 1 1 A. 2, , ? , ?2 B. 2, , ?2, ? 2 2 2 2 1 1 1 1 C. ? , ?2, 2, D. ?2, ? , , 2 2 2 2 2 5.下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是(
A. y ? x 2
1

c1
2

c2 c3 c4

). D. y ? x 3 .
? 2 3
-2

B. y ? x 4

C. y ? x?2

1

-5

5

1

6.幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (4, ) ,则 f (8) 的值为 7.比较下列各组数的大小: (a ? 2) 2 ※能力提高 8.幂函数 f ( x) ? (t ? t ? 1) x
3 7 ? 3t ? 2t 2 5
3

1 2

a 2 ; (5 ? a 2 )

3

5

?

2 3

; 0.40.5

0.4 0.5 .

是偶函数,且在 (0, ??) 上为增函数,求函数解析式.

解:

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第二章 基本初等函数

9.1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口的平均增长率为 x%,2008 年底世界人口数为 y(亿). (1)写出 1993 年底、1994 年底、2000 年底的世界人口数; (2)求 2008 年底的世界人口数 y 与 x 的 函数解析式. 如果要使 2008 年的人口数不超过 66.8 亿,试求人口的年平均增长率应控制在多少以内? 解:

※探究创新 10.请把相应的幂函数图象代号填入表格. ① y ? x 3 ; ② y ? x?2 ;③ y ? x 2 ; ④ y ? x?1 ; ⑤ y ? x 3 ;⑥ y ? x 3 ;⑦ y ? x
1 4 ? 1 2 2 1

;⑧ y ? x 3 .

5

函数代号 图象代号

















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第二章 基本初等函数

第 17 讲 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 复习
¤学习目标:理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与 讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究,加深对函数概念 的理解. ¤例题精讲: 【例 1】若 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) ,则 f ( 证明:

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . )? 2 2

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 a x1 ? a x2 a x1 ? a x2 ? 2 a x1 a x2 ( a x1 ? a x2 )2 ? f( 1 )? ?a 2 ? ? ?0. 2 2 2 2 2 x ?x2 f ( x 1)? f x ( 2) ∴ f( 1 . (注:此性质为函数的凹凸性) )? 2 2 bx 【例 2】已知函数 f ( x) ? 2 (b ? 0, a ? 0) . ax ? 1 1 1 (1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)若 f (1) ? , log3 (4a ? b) ? log2 4 ,求 a,b 的值. 2 2 解:

ex a ? 是 R 上的偶函数. a ex (1)求 a 的值; (2)证明 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数.
【例 3】 (01 天津卷.19)设 a>0, f ( x) ? 解:

点评:本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识.此题中的函数,也可以看成指数函数 y ? a x 与y?

x a x a ? 的复合,可以进一步变式探讨 y ? ? 的单调性. a x a x

【例 4】已知 1992 年底世界人口达到 54.8 亿. (1)若人口的平均增长率为 1.2%,写出经过 t 年后的世界人口数 y(亿)与 t 的函数解析式; (2)若人口的平均增长率为 x%,写出 2010 年底世界人口数为 y(亿)与 x 的函数解析式. 如果要使 2010 年的人口数不超过 66.8 亿,试求人口的年平均增长率应控制在多少以内? 解:

点评:解应用题应先建立数学模型,再用数学知识解决,然后回到实际问题,给出答案. 此题由增长率的 知识,可以得到指数型或幂型函数,并得到关于增长率的简单不等式,解决实际中增长率控制问题 .
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第二章 基本初等函数

第 18 讲 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 复习
※基础达标 1. (06 年全国卷 II.文 2 理 1)已知集合 M ? {x | x ? 3}, N ? ?x | log2 x ? 1? ,则 M A. ? B.

N ?(

).

?x | 0 ? x ? 3?

C.

?x |1 ? x ? 3?

D.

?x | 2 ? x ? 3?

2. (08 年北京卷.文 2)若 a ? log3 π,b ? log7 6,c ? log2 0.8 ,则( ). A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b D. b ? c ? a 3.(05 年福建卷)函数 f ( x) ? a x ?b 的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是( A. a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0 4. (06 年广东卷)函数 f ( x) ? ).

? lg(3x ? 1) 的定义域是( ). 1? x 1 1 1 1 1 A. (? , ??) B. (? ,1) C. (? , ) D. (??, ? ) 3 3 3 3 3 5. (06 年陕西卷)设函数 f ( x) ? log a ( x ? b) (a ? 0, a ? 1) 的图像过点 (2,1) ,其反函数的图像过点 (2,8) , 则 a ? b 等于( ). A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 x ?e ,x ? 0 1 6.(06 年辽宁卷.文 14 理 13)设 g ( x) ? ? ,则 g ( g ( )) ? . 2 ?lnx, x ? 0
7. 如图所示, 曲线是幂函数 y ? x? 在第一象限内的图象, 已知 ? 分别取 ?1,1, , 2 四个值,则相应图象依次为 ※能力提高 8.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? 解: .

3x 2

1 2

?2x ? b 是奇函数. 求 a , b 的值. 2x ?1 ? a

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第二章 基本初等函数

9.已知函数 y= log 2
2

x x (2≤x≤4). log 4 4 2

(1)求输入 x= 4 3 时对应的 y 值; (2)令 t ? log 2 x ,求 y 关于 t 的函数关系式及 t 的范围. 解:

※探究创新 10.设 f ( x ) ? log 1 (1)求 a 的值;

1 ? ax 为奇函数, a 为常数. 2 x ?1
(2)证明 f ( x) 在区间(1,+∞)内单调递增;

(3)若对于区间[3,4]上的每一个 x 值,不等式 f ( x) > ( ) x ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:

1 2

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