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三角恒等变换专题复习(教师版)


三角恒等变换专题复习
一.要点精讲
1.两角和与差的三角函数

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;
2.二倍角公式

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?



sin 2? ? 2 sin ? cos ? ;

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ;
tan 2? ?
3.半角公式

2 tan ? 1 ? tan 2 ?



sin

?
2

??

1 ? cos? 2

cos ?? 2


?

1? c o ? s 2

? 1? c o ? s t an ?? 2 1? c o ? s

( tan

?
2

?

sin ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ? 1 sin 2? 2

4.(1)降幂公式

sin ? cos ? ?
( 2 sin
2

; sin

2

??

1 ? cos 2? 2

; cos

2

??

1 ? cos 2? 2



? ? 1 ? cos2?

2c o 2 ? ? 1? c o s? ) s 2

(2)辅助角公式

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? ,

其中sin ? ?

b a ?b
2 2

, ?? cos

a a ? b2
2



5.三角函数式的化简、求值、证明

(1)三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角 与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间 的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。
(2)常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名化同名,异角化同角;③ 三角公式的逆 用等。 (3)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角 函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数。

二.典例解析 题型 1:巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其 和差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ?

? ??
2



???
2

? ??

?

?
2

? ?? ? ?
? 2 ?

等) ,

例 1: (1)已知 tan(? ? ? ) ?

2 ? 1 ? 3 , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____(答: ) ; 5 4 4 4 22 ? ? 1 ? 2 (2)已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos( ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求 cos( ? ? ? ) 的值 2 2 9 2 3 490 (答: ) ; 729 3 (3) 已知 ? , ? 为锐角,sin ? ? x,cos ? ? y ,cos(? ? ? ) ? ? , y 与 x 的函数关系为______ 则 5 3 4 3 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ) (答: y ? ? 5 5 5

题型 2:三角函数名互化(切化弦) 例 2(1)求值 sin50? (1 ? 3 tan10? ) (答:1) ; (2)已知

sin ? cos ? 2 1 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值(答: ) 1 ? cos 2? 3 8

题型 3:公式变形使用( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? 。 例 3: (1)已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) =_____ (答: ?

2 ) ; 2
3 , 则此三角形是____ 4

(2)设 ?ABC 中,tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B ,sin Acos A ? 三角形(答:等边) 题型 4:三角函数次数的降升(降幂公式: cos ? ?
2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? 与升幂公式: 2 2

1 ? cos 2? ? 2cos2 ? , 1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? )。

? 1 1 1 1 ; ? ? cos 2? 为_____(答: sin ) 2 2 2 2 2 5 3( x ? R ) 的单调递增区间为___________ (2)函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos 2 x ? 2 ? 5? ,k? ? ]( k ? Z ) ) (答: [ k? ? 12 12
例 4:(1)若 ? ? ( ? , ? ) ,化简

3 2

题型 5:式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。 例 5: (1)求证:

1 ? sin ? 1 ? 2sin

2 ?

?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2;

2 1 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ? 2 (答: 1 cos 2 x ) (2)化简: ? ? 2 2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4

2

题型 6:常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin x ? cos x ? tan ? ? sin ? ?? 等) 。
2 2

4 3 2 2 例 6:已知 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ? (答: ). 5

2

sin 题型 7:正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、 x cos x ”的内存联系――“知一求二” 。
i s 例 7: 若 sin x ? cos x ? t , s cx (1) 则n o

t 2 ?1 ), 特别提醒: 这里 t ?[? 2, 2] ; 2 4? 7 (2)若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。 (答: ? ) ; 2 3 ? ? sin 2? ? 2sin 2 ? ? k ( ? ? ? ) ,试用 k 表示 sin ? ? cos ? 的值(答: 1 ? k ) (3)已知 。 4 2 1 ? tan ?
x?
__ (答:?

题型 8:求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择,其标准 有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值) 。
2 例 8: (1)若 ? , ? ? (0, ? ) ,且 tan ? 、tan ? 是方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的两根,则求 ? ? ? 的值______

(答:

? ) ; 3 (3)若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? 且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 ,cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,求 ? ? ? 的值 2? (答: ). 3
(2) ?ABC 中, 3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1,则 ?C =_______(答:

3? ) ; 4

《三角恒等变换》课时作业
一、选择题 1、 sin105? cos105? 的值为 A. ( B.- ) D.- ( D.

1 4

1 4

C.

3 4

3 4


2、已知 tan(? ? ? ) ? A. 3、 sin

2 ? ? 1 , tan( ? ? ) ? ,则 tan(? ? ) 等于 5 4 4 4
B.

?

1 6 ? 3 cos

?
12

13 22

C.

3 22

13 18
)

12

的值为

(

A.0
4、 若 sin ?? ? ? ? ?

B. ? 2

C.2

D. 2
( )

tan ? 1 1 为 ,sin ?? ? ? ? ? ,则 2 3 tan ?
B. ? 1
C.6

A.5

D.


1 6


5、 已知锐角 ? 、? 满足 sin ? ?
A. 3? 4

B.

?
4



5 3 10 ,则 ? ? ? 等于 , cos ? ? 5 10 3? ?
C. 4 4

D.2 k? ?

3? 4

?k ? Z?

二、填空题 6. 已知 cos ? =

3 ? ? 3? ? ,且 ? ? ? )=____. , 2? ? ,则 cos( ? ? 5 3 ? 2 ?
?

7. tan 20? ? tan 40? ? 3 tan 20 tan 40? 的值是 8
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.
0

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设 a ? sin14 ? cos14 , b ? sin16 ? cos16 , c ?
0 0 0

6 , 2

则 a, b, c 大小关系
9
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已知 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 , 那么 sin ? 的值为 3

, cos 2? 的值为

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三、解答题 10. 已知 ? , ? 为锐角, tan ? ?

1 10 , sin ? ? ,求 ? ? 2 ? . 7 10

11 已知 tan ?
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1 5 ? ? , cos ? ? , ? , ? ? (0, ? ) 3 5 (1)求 tan(? ? ? ) 的值;
(2)求函数 f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 的最大值.

12. 已知函数 f ( x) ? 5sin x cos x ? 5 3 cos x ?
2

5 3 (其中 x ? R ) ,求: 2

( 1 函数 f ( x) 的最小正周期; )
( 2 ) 数 f ( x) 的单调区间; 函

( 3 ) 数 f ( x) 图象的对称轴和对称中心. 函

《三角恒等变换》课时作业参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 6.
3?4 3 10

1 B

2 C

3 B

4 A

5 C

7.

3

8. a<c<b

9.

1 7 、 3 9

三、解答题 10.

? ; 4

11.(1) 1; (2) 5

12. (1) ? ;

? 5? ? 5? 11? ? ? ? (2)增区间: ?k? ? , k? ? ? ,减区间: ?k? ? , k? ? ,其中 k ? Z; 12 12 ? 12 12 ? ? ? ? k? 5? ? k? ? ? (3)对称轴方程: x ? ? , 对称中心: ? ? , 0 ? ,其中 k ? Z。 2 12 2 6 ? ?


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