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高中数学


探寻解三角形的入手策略
内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中 熊明军

解三角形知识一直是高考常考考点, 虽然这一块儿只要运用公式、 正弦定理与余弦定理 便能解决很多问题,但是如何针对试题,灵活、准确、快速地选定相关定理去入手解题,则 是同学们很难把握的。 本文结合具体题目, 初步探寻一些入手策略, 期望对同学们有所帮助。

【正弦定理公式】



【余弦定理公式】





如果将公式、正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话,那么解三角形的实质就是 把题目中所给的已知条件按方程的思想进行处理, 解题时根据已知量与所求量, 合理选择一 个比较容易解的方程(公式、正弦定理、余弦定理),从而使同学们入手容易,解题简洁。 一、直接运用公式、正弦定理、余弦定理 (1)三角公式

①在

中,已知两角 。

的三角函数值,求第三个角



存在















即 , 要 判 断 。

是 否 有 解 , 只 需

(2)正弦定理

①在

中,已知两角和任意一边,解三角形;

②在

中,已知两边和其中一边对角,解三角形;

(3)余弦定理

①在

中,已知三边,解三角形;

②在

中,已知两边和他们的夹角,解三角形。

直接运用正弦定理、余弦定理的上述情况,是我们常见、常讲、常练的,因此,在这里 就不加赘述,同学们可以自己从教材中找一些题目看一看! 二、间接运用公式、正弦定理、余弦定理 (1)齐次式条件(边或角的正弦) 若题目条件中出现关于角的齐次式或关于边的齐次式, 可以根据角的异同选用公式弦切 互化或正弦定理边角互化; 有些题中没有明显的齐次式, 但经过变形得到齐次式的依然适用。 1.相同角齐次式条件的弦切互化

【例】 在

中, 若



, 求



【解析】无论是条件中的 于一个角的齐次式。 是关于 是关于

,还是 的一次齐次式;

都是关

的二次齐次式。因此,我们将弦化切,再利用三角公式求解。













中,

,且

。代值可得:

①当



时,



②当



时,

(舍去)。

2.不同角(正弦)齐次式条件的边角互化

【例】在 面积。【解析】条件

中,若

,且

,求



是关于不同角正弦的二次齐次式。

因此,我们利用正弦定理将角化为边,然后根据边的关系利用余弦定理求解。





显然这个形式符合余弦定理的公式,因此,可得



又因为

,所以



3.不同边齐次式条件的边角互化

【例】 求 。

的内角

的对边分别为

。已知





【解析】条件 化为角,然后由

是关于不同边的一次齐次式。因此,我们利用正弦定理将边 将不同角转化为同角,利用化一公式求解。



,又



,可得:

,运用化一公式





4.边角混合齐次式条件的边角互化 ①边角混合——边为齐次式

【例】

的内角

的对边分别为

,且

,求



【解析】条件

是边角混合——关于不同边的一次齐次式,由于

所求为切的值,所以将边化为角,然后将弦化为切求解。



,又

,则



②边角混合——角(正弦)为齐次式

【 例 】

的 内 角 ,求 。

的 对 边 分 别 为

, 且



【解析】条件

是边角混合——角(正弦)为不同角的一次

齐次式。因此,我们将角的正弦化为边,然后根据等式形式利用余弦定理求解。



,由于

,我们可以得到:

,显然这个形式符合余弦定理公式,

因此,可得

。从而得出



③边角混合——边、角(正弦)都为齐次式

【 例 】

的 内 角 ,求 。

的 对 边 分 别 为

, 且

【解析】条件

是边角混合——边、角(正弦)各为

一次齐次式。因此,我们可以随意边角互化,但是一般将角转化为边求解。





显然这个形式符合余弦定理公式,因此,可得



从而得出



5.非三角形内角正弦但可化为角(正弦)齐次式

【 例 】

的 内 角 ,求证:

的 对 边 分 别 为 的三边成等比数列。

, 且

【解析】条件

显然不是齐次式,并且角也不全是三角

形的内角。因此,首先得把这些角转变为三角形的内角,然后再往齐次式化利用正弦定理求 解。

由 只要将 变换为

, ,题中的条件就变成了关于不同内角正弦的二次齐次式:

。 (2)不同边的平方关系(余弦定理) 若题目条件中出现关于边的平方关系或求边的平方关系,可以选用余弦定理边角互化, 在上面的一些情况中,有利用正弦定理转化出不同边的平方关系,可以作为参考例题。

【例】

的内角

的对边分别为

,且

,求



【解析】 条件 式。

含有不同边的平方关系, 形式显然符合余弦定理公





(3)存在消不掉的正弦、余弦值(两定理同时使用,边角互化) 若题目条件中的条件不是上述情况,且始终含有消不去的内角正弦、余弦,可以同时使 用正弦、余弦定理边角互化,要么都化为角(正弦、余弦),要么都化为边。

【例】在

中,已知

,且

,求 。

















条 ,







接下来再利用余弦定理可得 ,

,又

,所以





因为



解三角形运用的原理简单,但是题目灵活多变,往往使学生感觉不易下手,以上结合例 题谈了一下通过题中条件的特征,利用三角形内角和、边、角之间的关系快速入手的策略, 但这仅仅是初探,更多的策略还需要同学们在解题中不断地归纳总结。


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