高中数学

探寻解三角形的入手策略
内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中 熊明军

解三角形知识一直是高考常考考点， 虽然这一块儿只要运用公式、 正弦定理与余弦定理 便能解决很多问题，但是如何针对试题，灵活、准确、快速地选定相关定理去入手解题，则 是同学们很难把握的。 本文结合具体题目， 初步探寻一些入手策略， 期望对同学们有所帮助。

【正弦定理公

式】

；

【余弦定理公式】

；

；

如果将公式、正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话，那么解三角形的实质就是 把题目中所给的已知条件按方程的思想进行处理， 解题时根据已知量与所求量， 合理选择一 个比较容易解的方程（公式、正弦定理、余弦定理），从而使同学们入手容易，解题简洁。 一、直接运用公式、正弦定理、余弦定理 （1）三角公式

①在

中，已知两角 。

的三角函数值，求第三个角

；

存在

证

明

：

有

解

有

解

即 ， 要 判 断 。

是 否 有 解 ， 只 需

（2）正弦定理

①在

中，已知两角和任意一边，解三角形；

②在

中，已知两边和其中一边对角，解三角形；

（3）余弦定理

①在

中，已知三边，解三角形；

②在

中，已知两边和他们的夹角，解三角形。

直接运用正弦定理、余弦定理的上述情况，是我们常见、常讲、常练的，因此，在这里 就不加赘述，同学们可以自己从教材中找一些题目看一看！ 二、间接运用公式、正弦定理、余弦定理 （1）齐次式条件（边或角的正弦） 若题目条件中出现关于角的齐次式或关于边的齐次式， 可以根据角的异同选用公式弦切 互化或正弦定理边角互化； 有些题中没有明显的齐次式， 但经过变形得到齐次式的依然适用。 1.相同角齐次式条件的弦切互化

【例】 在

中， 若

，

， 求

。

【解析】无论是条件中的 于一个角的齐次式。 是关于 是关于

，还是 的一次齐次式；

都是关

的二次齐次式。因此，我们将弦化切，再利用三角公式求解。

由

；

由

或

；

在

中，

，且

。代值可得：

①当

，

时，

；

②当

，

时，

（舍去）。

2.不同角（正弦）齐次式条件的边角互化

【例】在 面积。【解析】条件

中，若

，且

，求

的

是关于不同角正弦的二次齐次式。

因此，我们利用正弦定理将角化为边，然后根据边的关系利用余弦定理求解。

由

；

显然这个形式符合余弦定理的公式，因此，可得

。

又因为

，所以

。

3.不同边齐次式条件的边角互化

【例】 求 。

的内角

的对边分别为

。已知

，

，

【解析】条件 化为角，然后由

是关于不同边的一次齐次式。因此，我们利用正弦定理将边 将不同角转化为同角,利用化一公式求解。

由

，又

，

，可得：

，运用化一公式

得

。

4.边角混合齐次式条件的边角互化 ①边角混合——边为齐次式

【例】

的内角

的对边分别为

，且

，求

。

【解析】条件

是边角混合——关于不同边的一次齐次式，由于

所求为切的值，所以将边化为角，然后将弦化为切求解。

由

，又

，则

。

②边角混合——角（正弦）为齐次式

【 例 】

的 内 角 ，求 。

的 对 边 分 别 为

， 且

，

【解析】条件

是边角混合——角（正弦）为不同角的一次

齐次式。因此，我们将角的正弦化为边，然后根据等式形式利用余弦定理求解。

由

，由于

，我们可以得到：

，显然这个形式符合余弦定理公式，

因此，可得

。从而得出

。

③边角混合——边、角（正弦）都为齐次式

【 例 】

的 内 角 ，求 。

的 对 边 分 别 为

， 且

【解析】条件

是边角混合——边、角（正弦）各为

一次齐次式。因此，我们可以随意边角互化，但是一般将角转化为边求解。

由

，

显然这个形式符合余弦定理公式，因此，可得

。

从而得出

。

5.非三角形内角正弦但可化为角（正弦）齐次式

【 例 】

的 内 角 ，求证：

的 对 边 分 别 为 的三边成等比数列。

， 且

【解析】条件

显然不是齐次式，并且角也不全是三角

形的内角。因此，首先得把这些角转变为三角形的内角，然后再往齐次式化利用正弦定理求 解。

由 只要将 变换为

， ，题中的条件就变成了关于不同内角正弦的二次齐次式：

。 （2）不同边的平方关系（余弦定理） 若题目条件中出现关于边的平方关系或求边的平方关系，可以选用余弦定理边角互化， 在上面的一些情况中，有利用正弦定理转化出不同边的平方关系，可以作为参考例题。

【例】

的内角

的对边分别为

，且

，求

。

【解析】 条件 式。

含有不同边的平方关系， 形式显然符合余弦定理公

由

。

（3）存在消不掉的正弦、余弦值（两定理同时使用，边角互化） 若题目条件中的条件不是上述情况，且始终含有消不去的内角正弦、余弦，可以同时使 用正弦、余弦定理边角互化，要么都化为角（正弦、余弦），要么都化为边。

【例】在

中，已知

，且

，求 。

【

解

析

】

由

题

目

中

条 ，

件

可

得

接下来再利用余弦定理可得 ，

，又

，所以

或

。

因为

。

解三角形运用的原理简单，但是题目灵活多变，往往使学生感觉不易下手，以上结合例 题谈了一下通过题中条件的特征，利用三角形内角和、边、角之间的关系快速入手的策略， 但这仅仅是初探，更多的策略还需要同学们在解题中不断地归纳总结。