高中数学
探寻解三角形的入手策略
内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中 熊明军
解三角形知识一直是高考常考考点， 虽然这一块儿只要运用公式、 正弦定理与余弦定理 便能解决很多问题，但是如何针对试题，灵活、准确、快速地选定相关定理去入手解题，则 是同学们很难把握的。 本文结合具体题目， 初步探寻一些入手策略， 期望对同学们有所帮助。
【正弦定理公式】
；
【余弦定理公式】
；
；
如果将公式、正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话，那么解三角形的实质就是 把题目中所给的已知条件按方程的思想进行处理， 解题时根据已知量与所求量， 合理选择一 个比较容易解的方程（公式、正弦定理、余弦定理），从而使同学们入手容易，解题简洁。 一、直接运用公式、正弦定理、余弦定理 （1）三角公式
①在
中，已知两角 。
的三角函数值，求第三个角
；
存在
证
明
：
有
解
有
解
即 ， 要 判 断 。
是 否 有 解 ， 只 需
（2）正弦定理
①在
中，已知两角和任意一边，解三角形；
②在
中，已知两边和其中一边对角，解三角形；
（3）余弦定理
①在
中，已知三边，解三角形；
②在
中，已知两边和他们的夹角，解三角形。
直接运用正弦定理、余弦定理的上述情况，是我们常见、常讲、常练的，因此，在这里 就不加赘述，同学们可以自己从教材中找一些题目看一看！ 二、间接运用公式、正弦定理、余弦定理 （1）齐次式条件（边或角的正弦） 若题目条件中出现关于角的齐次式或关于边的齐次式， 可以根据角的异同选用公式弦切 互化或正弦定理边角互化； 有些题中没有明显的齐次式， 但经过变形得到齐次式的依然适用。 1.相同角齐次式条件的弦切互化
【例】 在
中， 若
，
， 求
。
【解析】无论是条件中的 于一个角的齐次式。 是关于 是关于
，还是 的一次齐次式；
都是关
的二次齐次式。因此，我们将弦化切，再利用三角公式求解。
由
；
由
或
；
在
中，
，且
。代值可得：
①当
，
时，
；
②当
，
时，
（舍去）。
2.不同角（正弦）齐次式条件的边角互化
【例】在 面积。【解析】条件
中，若
，且
，求
的
是关于不同角正弦的二次齐次式。
因此，我们利用正弦定理将角化为边，然后根据边的关系利用余弦定理求解。
由
；
显然这个形式符合余弦定理的公式，因此，可得
。
又因为
，所以
。
3.不同边齐次式条件的边角互化
【例】 求 。
的内角
的对边分别为
。已知
，
，
【解析】条件 化为角，然后由
是关于不同边的一次齐次式。因此，我们利用正弦定理将边 将不同角转化为同角,利用化一公式求解。
由
，又
，
，可得：
，运用化一公式
得
。
4.边角混合齐次式条件的边角互化 ①边角混合——边为齐次式
【例】
的内角
的对边分别为
，且
，求
。
【解析】条件
是边角混合——关于不同边的一次齐次式，由于
所求为切的值，所以将边化为角，然后将弦化为切求解。
由
，又
，则
。
②边角混合——角（正弦）为齐次式
【 例 】
的 内 角 ，求 。
的 对 边 分 别 为
， 且
，
【解析】条件
是边角混合——角（正弦）为不同角的一次
齐次式。因此，我们将角的正弦化为边，然后根据等式形式利用余弦定理求解。
由
，由于
，我们可以得到：
，显然这个形式符合余弦定理公式，
因此，可得
。从而得出
。
③边角混合——边、角（正弦）都为齐次式
【 例 】
的 内 角 ，求 。
的 对 边 分 别 为
， 且
【解析】条件
是边角混合——边、角（正弦）各为
一次齐次式。因此，我们可以随意边角互化，但是一般将角转化为边求解。
由
，
显然这个形式符合余弦定理公式，因此，可得
。
从而得出
。
5.非三角形内角正弦但可化为角（正弦）齐次式
【 例 】
的 内 角 ，求证：
的 对 边 分 别 为 的三边成等比数列。
， 且
【解析】条件
显然不是齐次式，并且角也不全是三角
形的内角。因此，首先得把这些角转变为三角形的内角，然后再往齐次式化利用正弦定理求 解。
由 只要将 变换为
， ，题中的条件就变成了关于不同内角正弦的二次齐次式：
。 （2）不同边的平方关系（余弦定理） 若题目条件中出现关于边的平方关系或求边的平方关系，可以选用余弦定理边角互化， 在上面的一些情况中，有利用正弦定理转化出不同边的平方关系，可以作为参考例题。
【例】
的内角
的对边分别为
，且
，求
。
【解析】 条件 式。
含有不同边的平方关系， 形式显然符合余弦定理公
由
。
（3）存在消不掉的正弦、余弦值（两定理同时使用，边角互化） 若题目条件中的条件不是上述情况，且始终含有消不去的内角正弦、余弦，可以同时使 用正弦、余弦定理边角互化，要么都化为角（正弦、余弦），要么都化为边。
【例】在
中，已知
，且
，求 。
【
解
析
】
由
题
目
中
条 ，
件
可
得
接下来再利用余弦定理可得 ，
，又
，所以
或
。
因为
。
解三角形运用的原理简单，但是题目灵活多变，往往使学生感觉不易下手，以上结合例 题谈了一下通过题中条件的特征，利用三角形内角和、边、角之间的关系快速入手的策略， 但这仅仅是初探，更多的策略还需要同学们在解题中不断地归纳总结。
