kl800.com省心范文网

双曲线的焦点弦的最值问题


x2 y2 1. 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点为 F1 (?c,0) , 右焦点为 F2 (c,0) , F1 的直 过 a b
线 l 交双曲线于 A 、 B . (1) 若 AB 在同支上,则 | AB |?
2b 2 (当 l ? F1 F2 时最小); a

(2) 若 AB 分别在左、右两支上,则 |

AB |? 2a . 解:(方法 1)若 k l 存在, l : y ? k ( x ? c) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

? y ? k ( x ? c) ? 2 ? (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 ck 2 x ? a 2 c 2 k 2 ? a 2 b 2 ? 0 y2 由?x ? a2 ? b2 ? 1 ?

? ? ? ? a 2 b 4 (1 ? k 2 ) ? 0 ? 2a 2 ck 2 ? b x1 ? x2 ? 2 ? 0 (左右支) 若 | k |? ,则 ? b ? a 2k 2 a ? 2 2 2 2 ? x x ? ? a (c k ? b ) ? 0 ? 1 2 b2 ? a 2k 2 ?
| AB |?| a ? ex1 | ? | a ? ex2 |? (a ? ex1 ) ? (a ? ex2 ) ? 2a ? e( x1 ? x2 )
? 2a ? e ? 2a 2 ck 2 ? 2a (当 k ? 0 时取等号) b2 ? a 2k 2

? ? ? ? a 2 b 4 (1 ? k 2 ) ? 0 ? 2a 2 ck 2 ? b x1 ? x 2 ? 2 ? 0 (左支两点) 若 | k |? 时, ? b ? a2k 2 a ? 2 2 2 2 ? x x ? ? a (c k ? b ) ? 0 ? 1 2 b2 ? a2k 2 ?
| AB |?| AF1 | ? | BF1 |?| a ? ex1 | ? | a ? ex2 |? ?2a ? e( x1 ? x2 ) ? ?2a ?
? ?2a ? 2ac2 b2 a2 ? 2 k
b2 b2 b2 ,? ? ?a 2 , a 2 ? ?0 a2 | k |2 | k |2

2ac2 k 2 a2k 2 ? b2

又 | k |2 ?

?| AB |? ?2a ?

2ac2 ? 2a 3 ? 2ac2 2b 2 ? ? a a2 a2 2b 2 2b 2 ,?| AB |? . a a
b 时过 F1 的直线 l 交双曲线于 A 、B 在同一支, a

又当 l ? F1 F2 时, | AB |?
c t r (方法 2) a 当n

b ? ? ? ? ?a n c t r a
y A

F1 O F2

x

B

b2 (2a ? m) ? m ? 4c ? 4cm cos? ? m ? ?| AF1 | a ? c cos?
2 2 2

同理 | BF1 |?

b2 a ? c cos?

| AB |?| AF1 | ? | BF1 |?
?

b2 b2 2ab2 2b 2 ? ? 2 ? a ? c cos? a ? c cos? a ? c 2 cos2 ? a

(当 ? ? 90 时取等号);
当 0 ? ? ? arctan

b 时,过 F1 的直线 l 交双曲线于 A 、 B 分别在左右两支 a
y B

A x F1 O F2

由(1) | AF1 |?

b2 ,设 | BF1 |? n , | BF2 |? n ? 2a a ? c cos?

(n ? 2a) 2 ? n 2 ? 4c 2 ? 4n(n ? 2a) cos? ? n ?

b2 c cos? ? a

| AB |?| BF1 | ? | AF1 |?

b2 b2 2ab2 ? ? 2 ? 2a c cos? ? a a ? c cos? c cos2 ? ? a 2

(当 ? ? 0 时,取等号).


圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

方程表示极点在上焦点双曲线极坐标处理二次曲线问题教案 (3) ? ? ep 1+e...点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值, 所以弦长都 是 ?1 ? ?2...

双曲线知识点总结及练习题

值是常数(小于 F 1 F2 )的 点的轨 迹叫双曲线...? 4 y1 y2 [提醒]解决直线与椭圆的位置关系问题...2b 2 。 a 3、特别地,焦点弦的弦长的计算是将...

双曲线性质题组答案

( a,) . 0 其中真命题的代号是 题组 3、焦点弦的性质 (写出所有真命题的...求动点 P 的轨迹方程.【 题组 5、最值问题 、 1.P 是双曲线 x2 y 2 ...

“抛物线焦点弦的性质的探究”课实录

[2] 在学生已学完椭圆、双曲线、抛物线的基本内容后,学生对圆锥曲线的知识及...2 p 为最小值,没有最大值. 师: 这表明,焦点弦中通径是最短的,长为 2 ...

圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有!)

ny ? 1 ; 2 2 (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 2b...13.圆锥曲线中线段的最值问题: 例 1 、 (1) 抛物线 C:y2=4x 上一点 P...

圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式

(2)圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F, ep ep 2ab2 a2 b2 ...?1 ? -?2 ? 或 为统一起见,求双曲线时一律加绝对值,使用 ?1 ? ?2 ...

几何综合问题选讲

? 弦长问题:含焦点弦的转化 ? 直线与圆锥曲线 ? ...是双曲线的左支,不是完整的双曲线,这在 06、07 ...答案: (Ⅱ)y=-1/2 3.最值问题:多以函数的...

高考数学圆锥曲线与方程解题技巧方法总结

和双曲线 2- 2=1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线 3m 5n 2m 3n 方程是 ...弦中点问题、取值范围、最值问题. 3.这类问题综合性强,分析这类问题,往往...

圆锥曲线部分知识集锦

中点弦问题、垂直问题、定比分点问题等) ;对称问题;最值问题、轨迹问题等。 ...1焦点弦概念 定义焦点弦是指椭圆或者双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦. 焦点...

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式good

方程表示极点在下焦点双曲线 (2)圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦 MN 经过...直线 l2 交椭圆于 M 、 N 两点,求四边形 PMQN 面积的最 小值和最大值....

双曲线焦点弦长公式 | 双曲线焦点弦 | 双曲线过焦点弦长 | 双曲线焦点弦公式 | 双曲线的焦点弦 | 双曲线的焦点弦长公式 | 双曲线最短焦点弦 | 双曲线过焦点弦长公式 |