kl800.com省心范文网

双曲线的焦点弦的最值问题


x2 y2 1. 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点为 F1 (?c,0) , 右焦点为 F2 (c,0) , F1 的直 过 a b
线 l 交双曲线于 A 、 B . (1) 若 AB 在同支上,则 | AB |?
2b 2 (当 l ? F1 F2 时最小); a

(2) 若 AB 分别在左、右两支上,则 |

AB |? 2a . 解:(方法 1)若 k l 存在, l : y ? k ( x ? c) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

? y ? k ( x ? c) ? 2 ? (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 ck 2 x ? a 2 c 2 k 2 ? a 2 b 2 ? 0 y2 由?x ? a2 ? b2 ? 1 ?

? ? ? ? a 2 b 4 (1 ? k 2 ) ? 0 ? 2a 2 ck 2 ? b x1 ? x2 ? 2 ? 0 (左右支) 若 | k |? ,则 ? b ? a 2k 2 a ? 2 2 2 2 ? x x ? ? a (c k ? b ) ? 0 ? 1 2 b2 ? a 2k 2 ?
| AB |?| a ? ex1 | ? | a ? ex2 |? (a ? ex1 ) ? (a ? ex2 ) ? 2a ? e( x1 ? x2 )
? 2a ? e ? 2a 2 ck 2 ? 2a (当 k ? 0 时取等号) b2 ? a 2k 2

? ? ? ? a 2 b 4 (1 ? k 2 ) ? 0 ? 2a 2 ck 2 ? b x1 ? x 2 ? 2 ? 0 (左支两点) 若 | k |? 时, ? b ? a2k 2 a ? 2 2 2 2 ? x x ? ? a (c k ? b ) ? 0 ? 1 2 b2 ? a2k 2 ?
| AB |?| AF1 | ? | BF1 |?| a ? ex1 | ? | a ? ex2 |? ?2a ? e( x1 ? x2 ) ? ?2a ?
? ?2a ? 2ac2 b2 a2 ? 2 k
b2 b2 b2 ,? ? ?a 2 , a 2 ? ?0 a2 | k |2 | k |2

2ac2 k 2 a2k 2 ? b2

又 | k |2 ?

?| AB |? ?2a ?

2ac2 ? 2a 3 ? 2ac2 2b 2 ? ? a a2 a2 2b 2 2b 2 ,?| AB |? . a a
b 时过 F1 的直线 l 交双曲线于 A 、B 在同一支, a

又当 l ? F1 F2 时, | AB |?
c t r (方法 2) a 当n

b ? ? ? ? ?a n c t r a
y A

F1 O F2

x

B

b2 (2a ? m) ? m ? 4c ? 4cm cos? ? m ? ?| AF1 | a ? c cos?
2 2 2

同理 | BF1 |?

b2 a ? c cos?

| AB |?| AF1 | ? | BF1 |?
?

b2 b2 2ab2 2b 2 ? ? 2 ? a ? c cos? a ? c cos? a ? c 2 cos2 ? a

(当 ? ? 90 时取等号);
当 0 ? ? ? arctan

b 时,过 F1 的直线 l 交双曲线于 A 、 B 分别在左右两支 a
y B

A x F1 O F2

由(1) | AF1 |?

b2 ,设 | BF1 |? n , | BF2 |? n ? 2a a ? c cos?

(n ? 2a) 2 ? n 2 ? 4c 2 ? 4n(n ? 2a) cos? ? n ?

b2 c cos? ? a

| AB |?| BF1 | ? | AF1 |?

b2 b2 2ab2 ? ? 2 ? 2a c cos? ? a a ? c cos? c cos2 ? ? a 2

(当 ? ? 0 时,取等号).


题目4e1f59eef8c75fbfc77db206

理科数学 抛物线焦点弦的性质已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A B C3 D2...

题目f7e40a2e453610661ed9f4c2

抛物线y2=4x的焦点为F,点A,B在抛物线上,且∠AFB=120°,弦AB中点M在其准线上的射影为N,则的最大值为( )_答案解析_2015年数学_一模/二模/三模/联考_...

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

方程表示极点在上焦点双曲线极坐标处理二次曲线问题教案 (3) ? ? ep 1+e...点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值, 所以弦长都 是 ?1 ? ?2...

2014年高考数学双曲线的最值问题、与双曲线有关的定点与定值问题_经典资料(有答案)

2014年高考数学双曲线的最值问题、与双曲线有关的定点与定值问题_经典资料(有...总有两个不同的交点; (2)是否存在过 C1 的焦点 F1 的 C2 的弦 AB ,使...

圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式

(2)圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F, ep ep 2ab2 a2 b2 ...?1 ? -?2 ? 或 为统一起见,求双曲线时一律加绝对值,使用 ?1 ? ?2 ...

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式good

方程表示极点在下焦点双曲线 (2)圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦 MN 经过...直线 l2 交椭圆于 M 、 N 两点,求四边形 PMQN 面积的最 小值和最大值....

圆锥曲线的定比分点

一、圆锥曲线的中点弦问题: 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。...到双曲线 的两个焦点 F1 ,F2 的距离之和 为定值 2a( ),且 的最小值为...

圆锥曲线中的问题

双曲线中, F 双曲线中 与两定点 F 1 , 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a...( p > 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则...

椭圆 集体备课

(五)重难点归纳 1、与圆锥曲线定义有关的应用问题,第一定义解决好焦点三角形;...与坐标系无关的几何性质’ ” ,尤其是 双曲线中焦半径最值焦点弦最值的...

以椭圆、双曲线、抛物线为背景的计算知识点

以椭圆、双曲线、抛物线为背景的计算知识点_数学_高中...x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 左焦点弦 a ...(2)求最值问题:主要把握两个转化:一是把抛物线上...

双曲线焦点弦 | 双曲线焦点弦长公式 | 双曲线的焦点弦 | 双曲线过焦点弦长 | 双曲线焦点弦公式 | 双曲线的焦点弦长公式 | 双曲线焦点弦性质 | 椭圆双曲线共焦点问题 |