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双曲线的焦点弦的最值问题


x2 y2 1. 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点为 F1 (?c,0) , 右焦点为 F2 (c,0) , F1 的直 过 a b
线 l 交双曲线于 A 、 B . (1) 若 AB 在同支上,则 | AB |?
2b 2 (当 l ? F1 F2 时最小); a

(2) 若 AB 分别在左、右两支上,则 | AB |? 2a . 解:(方法 1)若 k l 存在, l : y ? k ( x ? c) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

? y ? k ( x ? c) ? 2 ? (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 ck 2 x ? a 2 c 2 k 2 ? a 2 b 2 ? 0 y2 由?x ? a2 ? b2 ? 1 ?

? ? ? ? a 2 b 4 (1 ? k 2 ) ? 0 ? 2a 2 ck 2 ? b x1 ? x2 ? 2 ? 0 (左右支) 若 | k |? ,则 ? b ? a 2k 2 a ? 2 2 2 2 ? x x ? ? a (c k ? b ) ? 0 ? 1 2 b2 ? a 2k 2 ?
| AB |?| a ? ex1 | ? | a ? ex2 |? (a ? ex1 ) ? (a ? ex2 ) ? 2a ? e( x1 ? x2 )
? 2a ? e ? 2a 2 ck 2 ? 2a (当 k ? 0 时取等号) b2 ? a 2k 2

? ? ? ? a 2 b 4 (1 ? k 2 ) ? 0 ? 2a 2 ck 2 ? b x1 ? x 2 ? 2 ? 0 (左支两点) 若 | k |? 时, ? b ? a2k 2 a ? 2 2 2 2 ? x x ? ? a (c k ? b ) ? 0 ? 1 2 b2 ? a2k 2 ?
| AB |?| AF1 | ? | BF1 |?| a ? ex1 | ? | a ? ex2 |? ?2a ? e( x1 ? x2 ) ? ?2a ?
? ?2a ? 2ac2 b2 a2 ? 2 k
b2 b2 b2 ,? ? ?a 2 , a 2 ? ?0 a2 | k |2 | k |2

2ac2 k 2 a2k 2 ? b2

又 | k |2 ?

?| AB |? ?2a ?

2ac2 ? 2a 3 ? 2ac2 2b 2 ? ? a a2 a2 2b 2 2b 2 ,?| AB |? . a a
b 时过 F1 的直线 l 交双曲线于 A 、B 在同一支, a

又当 l ? F1 F2 时, | AB |?
c t r (方法 2) a 当n

b ? ? ? ? ?a n c t r a
y A

F1 O F2

x

B

b2 (2a ? m) ? m ? 4c ? 4cm cos? ? m ? ?| AF1 | a ? c cos?
2 2 2

同理 | BF1 |?

b2 a ? c cos?

| AB |?| AF1 | ? | BF1 |?
?

b2 b2 2ab2 2b 2 ? ? 2 ? a ? c cos? a ? c cos? a ? c 2 cos2 ? a

(当 ? ? 90 时取等号);
当 0 ? ? ? arctan

b 时,过 F1 的直线 l 交双曲线于 A 、 B 分别在左右两支 a
y B

A x F1 O F2

由(1) | AF1 |?

b2 ,设 | BF1 |? n , | BF2 |? n ? 2a a ? c cos?

(n ? 2a) 2 ? n 2 ? 4c 2 ? 4n(n ? 2a) cos? ? n ?

b2 c cos? ? a

| AB |?| BF1 | ? | AF1 |?

b2 b2 2ab2 ? ? 2 ? 2a c cos? ? a a ? c cos? c cos2 ? ? a 2

(当 ? ? 0 时,取等号).


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