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福建省安溪一中、养正中学、惠安一中2012-2013学年高一数学下学期期末联考试题新人教A版


养正中学、惠安一中、安溪一中 12-13 学年高一下学期 期末联考数学试题
命题: 姚培基(养正中学) 审核:林清枝(惠安一中)陈阿成(安溪一中) 一、选择题:本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请把答案填在答题纸的相应位置. 1、不等式 3x ? 2 y ? 6 ? 0 表示的平面区域是( 3 0

0 x y x ) y x 3 0 0 x

3 0 A . B . 2 x 0 B. 0 B . 0 0 x 2 0 0 0 0 . . 2 x ?x ? x 5x ? 6 ? 0 的解集为( x 0 2、不等式 x A . {x | x ? 6或x ? ?1} B . D. {x | x ? ?6或x ? 1} 3、下列说法正确的是( )

x

C. 0 0 x



2 0 0 x

x

3 0 D. 0 0 x 0 x

x 2 0 0 x

{x | x ? 2或x ? 3}

C . {x | ?6 ? x ? 1}

2 2 A. a, b ? R ,且 a ? b ,则 a ? b

B.若 a ? b , c ? d ,则

a b ? c d 1 1 ? a b

C. a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则

a b ? ?2 b a

D. a, b ? R ,且 a ? b ? 0 ,则 ) D. 256

4、等差数列 {an } 中, a5 ? 3, a13 ? 21 ,则 S17 ? ( A.144 B. 186 C. 204

5、要得到函数 y ? cos( 2 x ? A.向右平移 C.向右平移

?
3

) 的图象,只需将函数 y ? cos 2 x 的图象(
?
3
个单位 个单位



?
3

个单位 个单位

B.向左平移 D.向左平移

?
6

?
6

6、已知向量 a ? (1, 2), b ? (1, 0), c ? (3, 4) .若 ? 为实数, (b ? ? a ) ? c ,则 ? ? (



3 11 7 、 ?ABC
A. ?

B. ?

11 3

C.

1 2

D.

3 5
a、b、c


的 内 角

A、B、C

所 对 的 边 分 别 为

a sin A ? c sin C ? 2a sin C ? b sin B
则 ?B ? ( )

1

3? ? ? C. D. 4 4 3 2 2 8、若一元二次方程 x ? (a ?1) x ? 1 ? a ? 0 有两个正实数根,则 a 的取值范围是( 3 3 3 A. (?1,1) B. (??, ? ) ? [1, ??) C. ( ?1, ? ] D. [ ? ,1) 5 5 5 9、数列 {an } 满足 a1 ? ?1, an?1 ? 2an ? 3 ,则 a7 的值是 ( )
A. B. A.125 B.61 C. 29 D.63 10、等差数列 ?an ? 中, Sn 是其前 n 项和, a1 ? ?11, A.-11 B.11 C.10 D.-10

? 6



S10 S8 ? ? 2 ,则 S11 = ( 10 8



11、已知函数 f ( x) ? cos x sin x( x ? R) ,给出下列四个命题: ① f ( x) 为奇函数 ③ f ( x) 在区间 [ ? ② f ( x) 的最小正周期是 2? ;

? ?

, ] 上是增函数; 4 4
) B.①③④
2

④ f ( x) 的图象关于直线 x ?

3? 对称; 4

其中正确的命题为( A.①②④ 12、已知不等式 xy ? ax 数 a 的取值范围是( A. ?1 ? a ? ?

C.②③

D.③④

? 2 y 2 ,若对任意 x ??1, 2? 及 y ?? 2,3? ,该不等式恒成立,则实
B. a



35 9

? ?3

C. a ? ?1

D. ?3 ? a ? ?1

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分.请把答案填在答题纸的相应 位置. 13、若向量 a ? (?2,3) , b ? (4, m) , a // b ,则实数 m ? 14、若 x

? 2 ,则 x ?

1 的最小值为__________ x?2

15、公差不为零的等差数列 {a n } 中, a2 , a3 , a6 成等比数列,则其公比 q 为__________

?x ? y ? 3 ? 0 ? 1 1 ? 16、已知角 ? 的终边上一点 M ( x, y ) 满足 ? y ? x ? 0 ,则 u ? tan ? ? 的取值范围 tan ? 2 ? ? ? x ?1 ? 0
为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 12 分) 锐角 △ ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c , 且 a ? 3,

C ? 60 , △ ABC 的面积等于

3 3 ,求边长 b 和 c . 2
2

18、 (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an n ? N ? ,数列 ?bn ? 是公差 为 3 的等差数列,且 b2

?

?

? a3 .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?a n ? bn ?的前 n 项和 S n

19、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 4sin ? x cos ? ? x ? 期为 ? . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ) 若 y ? f ( x) ? m 在 ??

? ?

??

? ? 3 ?? ? 0 ? 的最小正周 3?

? ? ?? 的最小值为 2,求 m 值 , ? 4 6? ?

20 、 (本小题满分 12 分)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单 位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营 养中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个 单位的午餐、 晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元, 那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少, 应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?

21、(本小题满分 12 分)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位 m) ,如示意图,垂直放 置的标杆 BC 高度 h=4m,仰角 ?ABE ? ? , ?ADE ? ? . (Ⅰ)该小组已经测得一组 ? , ? 的值, tan ? ? 1.24 , tan ? ? 1.20 ,请据此算出 H 的值;

? 与 ? 之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为 125m,问 d 为多少时 ? ? ?
最大?

(Ⅱ)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视的距离 d(单位: m) ,使

3

22. 〔本小题满分 14 分) ,数列{ an }的前 n 项和为 S n , S n ? an ? ? (Ⅰ)设 bn

1 2 3 n ? n ? 1(n ? N *) 2 2

? an ? n ,证明:数列{ bn }是等比数列;

(Ⅱ)求数列 ?nbn ?的前 n 项和 Tn ;
n 1 1 1? ? (Ⅲ)若 cn ? ? ? ? an , d n ? 1 ? 2 ? 2 , P ? d1 ? d 2 ? d 3 ? ? ? ? ? d 2013 ,求不 c c 2 n n ?1 ? ?

超过 P 的最大整数的值。

4

2012-2013 年度安一、惠一、养正高一下期末数学联考试卷答案 一、选择题(满分 60 分,每小题 5 分) 1 C 2 D 3 D 4 C 5 C 6 A 7 B 8 C 9 A 10 A 11 B 12 C

二、填空题: (本小题 4 题,每小题 4 分,共 16 分) 13. -6 14. 4 15. 3 16.

? 5? 2, ? ? 2? ?

三、解答题(本大题有 6 小题,共 74 分) 17 . 解 :

C ? 60



sin C ?

3 2

--------------------------------------------------2 分

S?

1 3 3 ab sin C ? 3 ,代入 a ? 3,sin C ? 得b ? 2 2 2 2

----------6 分

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 9 ? 4 ? 2 ? 3 ? 2 ?
分 ∴ b ? 2, c ? 7

1 ?7 2

------------------10

--------------------12 分

18.解: (Ⅰ)? a1 ? 1, an?1 ? 2an n ? N ? ,? 数列 ?an ? 是公比为 2 的等比数列,

?

?

? an ? 1? 2n?1 ? 2n?1

----------3 分

? 等差数列 ?bn ? 的公差为 3,又 b2 ? a3 = 2 2 ? 4 ,? bn ? b2 ? ?n ? 2? ? 3 ? 3n ? 2
----------6 分 (Ⅱ) S n ? ?a1 ? b1 ? ? ?a2 ? b2 ? ? ?? ? ?an ? bn ? = ?a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ?b1 ? b2 ? ?bn ? ----------8 分

1? 1 ? 2 n n?1 ? 3n ? 2? ? = 1? 2 2
=2 ?
n

?

?

----------10 分

3 2 n n ? ?1 2 2


----------12 分 :

19.

f ? x? ? 4

?x ?

? ?

?x

?
3

?

?x

??

? ? s ----------------------------1 分 3?
5

i

? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3 ? sin 2? x ? 3 cos 2? x
-----------------------------------------------------------3 分

?? ? ? 2sin ? 2? x ? ? 3? ?
-----------------------------------------------------4 分

T?

2? ? ? ,?? ? 1 2?

-----------------------------------------5 分

?? ? ? f ( x) ? 2 sin? 2 x ? ? 3? ?
---------------------------------------------------------6 分 (2) y ? f ( x) ? m ? 2 sin? 2 x ?

? ?

??

??m 3?
2? 3

?

?
4

?x?

?
6

,??

?
6

? 2x ?

?
3

?

当 2x ?

?
3

??

?
6

,即 x ? ?

?
4

时, y min ? ?1 ? m ? 2 ,? m ? 3 -------------12 分

20、解:设该儿童分别预订 x , y 个单位的午餐和晚餐,共花费 z 元,则 z ? 2.5 x ?4 y .可行 域为

?12x ? 8 y ? 64, ?3x ? 2 y ? 16, ? x ? y ? 7, ?6 x ? 6 y ? 42, ? ? ? ? ?6 x ? 10 y ? 54, 即 ?3x ? 5 y ? 27, ? x ? 0, x ? N , ? x ? 0, x ? N , ? ? ? ? ? y ? 0, y ? N , ? y ? 0, y ? N ,
作出可行域如图所示:

经试验发现,当 x=4,y=3 时,花费最少,为 z ? 2.5 x ? 4 y =2.5×4+4×3=22 元.

6

21.解:本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 (1)

H H H h ,同理: AB ? , BD ? 。 ? tan ? ? AD ? tan ? AD tan ? tan ?

AD — AB=DB , 故 得

H H h , 解 得 : ? ? tan ? tan ? tan ?

H?

h tan ? 4 ?1.24 ? ? 124 。 tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 ( 2 ) 由 题 设 知

d ? AB





H h? H h t ? a ?n , A D D B d H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d d tan(? ? ? ) ? ? ? 2 ? H H ? h H ( H ? h) 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? ? d ? H ( H ? h) d ? d d d H ( H ? h) d? ? 2 H ( H ? h) , (当且仅当 d ? H (H ? h) ? 125?121 ? 55 5 时, 取等号) d t

? a?n

H d

??,

故当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,所以当 d ? 55 5 时, ? - ? 最大。

故所求的 d 是 55 5 m。 22.解:(Ⅰ) 因为 an ? S n ? ? n 2 ? n ? 1 , 所以 ① 当 n ? 1 时, 2a1 ? ?1 ,则 a1 ? ? ,……………………………….(1 分)

1 2

3 2

1 2

3 2 所以 2an ? an ?1 ? ?n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an ?1 ? n ? 1 , 1 1 所以 bn ? bn ?1 (n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? ,…………………….(3 分) 2 2 1 1 1 所以数列 ?bn ? 是首项为 ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ( ) n .…………….(4 分) 2 2 2 n (Ⅱ) 由 (Ⅰ)得 nbn ? n . 2
② 当 n ≥ 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ,…………………….(2 分)

1 2

1 2 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? .......... ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 2 3 4 n ?1 n ② 2Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? .......... ? n ? 2 ? n ?1 …………….(6 分) 2 2 2 2 2
所以 ① Tn ?

7

②-①得: Tn ? 1 ?
n

1 1 1 n ? 2 ? ...... ? n ?1 ? n …………….(7 分) 2 2 2 2

?1? 1? ? ? ? 2 ? ? n ? 2 ? n ? 2 ………………(8 分) Tn ? 1 2n 2n 1? 2 1 (Ⅲ)由(Ⅰ)知 a n ? ( ) n ? n ? c n ? n ………………(9 分) 2
而 dn ? 1?

1 1 n 2 (n ? 1) 2 ? ( n ? 1) 2 ? n 2 ? ? n 2 (n ? 1) 2 n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1) ? 1 1 1 1 ? ?1? ?1? ? , ………………(11 分) n(n ? 1) n(n ? 1) n n ?1

所以 P ? (1 ? ? ) ? (1 ?

1 1 1 2

1 1 1 1 ? ) ? (1 ? ? ) ? 2 3 3 4

? (1 ?

1 1 1 , ? ) ? 2014 ? 2013 2014 2014

故不超过 P 的最大整数为 2013 .………………………………………………..(14 分)

8

9


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