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三全真高考模拟试卷(三)(数学文)1


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2011 年广东高考全真模拟试卷文科数学(三)本试卷共 4 页,
21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟.

参考公式:

? b?

? x y ? nx y
i ?1 n i i


n

? ? 线性回归方程系数: a ? y ? bx . ,

?x
i ?1

2

i

? nx

2

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1. 若集合 A ={1,2 , 3},若集合 B ? A ,则满足条件的集合 B 有( A. 3 2.函数 f ( x) ? A. (2, ??) B. 7 C. 8 D. 9 ) C. [3, ??) D. (3, ??) ) )个

x ?3 的定义域是( log 2 ( x ? 2)
B. (2,3) ? (3, ??)

2 3. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 3x ,则 f (?2) ? (

A. ?2

B. 0

C. 2

D. 10 )
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4.等差数列 ?an ? 中,若 a2 ? a8 ? 15 ? a5 ,则 a5 等于( A.3 B.4 C.5 D.6

? ? ? ? ? 5.已知向量 a ? (cos ? , ?2), b ? (sin ? ,1), 且a / / b,则 tan(? ? ) =( 4 1 1 A. 3 B. ? 3 C. D .? 3 3
6.直线 l : ax ? y ? 2 ? a ? 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是 A. 1 B. ?1 C. ?2 或 ?1 D. ?2 或1 )



?x ? y ? 2 ? 0 y ? 7. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 7 ? 0 ,则 的最大值为( x ?x ? 1 ?
A.
a

9 5
b

B. 3

C. 4

D. 6 )

8. “ 2 ? 2 ”是 “ log 2 a ? log 2 b ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 9. 若一个底面边长为 体积为( )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6 , 侧棱为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上, 则此球的 2

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A. 72 2π B. 32 3π

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C. 9 2π D. 4 3π

10. 设 S 是至少含有两个元素的集合. 在 S 上定义了一个二元运算“*” (即对任意的 a,b∈S, 对于有序元素对(a,b), S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应)若对于任意的 a,b∈S,有 a*( b 在 。 * a)=b,则对任意的 a,b∈S,下列等式中不能成立的是( ) .. A. ( a * b) * a =a C. b*( b * b)=b 每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11 ? 13 题) 11.复数 (2 ? i)(4 ? i) 的虚部为__________. 12. 如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? _________ 13. 某班有学生 52 人,现用系统抽样的方法,抽取 一个容量为 4 的样本,已知座位号分别为 6,30,42 的同学都在样本中,那么样本中还有一位同 学的座位号应该是 . (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
k ? k ?1
k ≤ 50?

B . [ a*( b * a)] * ( a*b)=a D. ( a*b) * [ b*( a * b)] =b

开始

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,

k ?1
S ?0


? 是
S ? S ? 2k

输出 S 结束

14.(几何证明选讲选做题)如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC ,已知

AD ? 2 3 , AC ? 6 ,圆 O 的半径为 3 ,则圆心 O 到 AC 的距离
为 .
A B

C

O

15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若过点

D

A(3,0) 且 与
_.
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极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4 cos? 于 A、B 两点,则 | AB |? ______

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? (sin A,cos A) , n ? ( 3, ?1) ,且

??

?

?? ? m ? n ? 1 ,A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小;
(Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域.

17.(本小题满分 12 分) 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:万元)之间有如下对应数据: (Ⅰ)画 (Ⅱ) 线 方

x
y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

出散点图 求回归直 程;

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? 13500

(参考数据:

?x
i ?1

5

2 i

? 145

?y
i ?1

5

2 i

?x y
i ?1 i

5

i

? 1380


(Ⅲ)试预测广告费支出为 10 万元时,销售额多大?

S

18.(本小题满分 14 分)如图,在直角梯形 ABCD 中,

?A ? ?D ? 90? , AB ? CD , SD ? 平面 ABCD ,
D

M C B

AB ? AD ? a , SD ? 2a .
(Ⅰ )求证:平面 SAB ? 平面 SAD ;
A

(Ⅱ )设 SB 的中点为 M ,且 DM ? MC ,试求出四棱锥 S ? ABCD 的体积

19. (本小题满分 14 分)甲、乙两人玩一种游戏;在装有质地、大小完全相同,编号分别 为 1,2,3,4,5,6 六个球的口袋中,甲先模出一个球,记下编号,放回后乙再模一个球, 记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢。 (1)求甲赢且编号和为 8 的事件发生的概率; (2)这种游戏规则公平吗?试说明理由。

20. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A 、 B 两点, M 是线段 AB 上 a b
的一点, AM ? ? BM ,且点 M 在直线 l : y ?
2 2

???? ?

???? ?

1 x 上,(1)求椭圆的离心率; (2)若椭圆的 2

焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x ? y ? 1上,求椭圆的方程。
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21.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 中的相邻两项 a2k ?1,a2k 是关于 x 的方程 x ? (3k ? 2 )x ? 3k ?2 ? 0 的两个
2 k k

根,且 a2k ?1 ≤ a2k (k ? 1 2,?) . ,3, (I)求 a1 , a3 , a5 , a7 ; (II)求数列 ?an ? 的前 2n 项和 S 2n ;

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(Ⅲ)记 f ( n) ?

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? 1 ? sin n ? 3? , ? 2 ? sin n ?

Tn ?

(?1) f (2) (?1) f (3) (?1) f (4) (?1) f ( n?1) , ? ? ? …? a1a2 a3a4 a5a6 a2 n?1a2 n
求证:

1 5 ≤ Tn ≤ (n ? N* ) . 6 24

2011 年广东高考全真模拟试卷文科数学(三)答案

一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 C 5 B 6 D 7 D 8 B 9 D 10 A

选择题参考答案: 1. 由集合 B ? A ,则 B 是 A 的子集,则满足条件的 B 有 23 ? 8 个 ,选 C
?x ? 3 ? 0 x ?3 ? 2. 由 f ( x) ? ,则 ? x ? 2 ? 0 ,则 x ? (3, ??) ,选 D log 2 ( x ? 2) ?log ( x ? 3) ? 0 ? 2
2 3. 因为函数是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 3x ,则 f (?2) ? ? f (2) ? ?(4 ? 6) ? 2 ,

选C

4. 由 a2 ? a8 ? 15 ? a5 ,根据等差数列的下脚标公式,则 2a5 ? 15 ? a5 ,?a5 ? 5 ,选 C ? ? ? ? a ? (cos ? , ?2), b ? (sin ? ,1), 且a / /b,则? 2sin a ? cos a, 化简 5.由
1 ? tan ? ? 1 tan a ? ? ,则 tan(? ? ) ? ? ?3 ,选 B 2 4 1 ? tan ?
6. 直线 l : ax ? y ? 2 ? a ? 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,若直线过原点,则 a ? ?2 ;若 不过原点,则 a ? 1 ,故选 D 7. 利用线性规划作出平面区域后,

y y?0 ? 表示区域上的点与原点连线的斜率,代入点 x x?0

(1, 6) 符合题意,故选 D

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a b

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8.由 2 ? 2 ,则 a ? b ,但不能说明 a , b 是正数,则不是充分条件。而 log 2 a ? log 2 b 能得 到 a ? b ? 0 ,故选 B.
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9.球的半径为

4 4 6 3 ? 2 ? 3 ,则球的体积 V ? π r 3 ? π( 3) ? 4 3π . 3 3 2

选 D.

10. 解: b 代替题目给定的运算式中的 a 同时用 a 代替题目给定的运算式中的 b, 用 不难知 道 B 是正确的;用 b 代替题目给定的运算式中的 a 又可以导出选项 C 的结论,而用代替题目 给定的运算式中的 a 我们也能得到 D 是正确的. 选 A

二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. ?2 12.

2550

13. 18 14. 5 15. 2 3 填空题参考答案: 11.解: (2 ? i)(4 ? i) ? 8 ? 2i ? 4i ? 1 ? 9 ? 2i ,故虚部为 ?2 . 12.解: S ? 0 ? 2 ? 4 ? ? ? 100 ? 2(1 ? 2 ? ? ? 100) ? 2? 13. 根据各数之间的间隔相等,易知该数是18,过程略

1 ? 50 ? ? 2550 50 2

6, 14.由切割线定理: AD 2 ? AB?AC ,? (2 3) ? AB? ? AB ? 2, 则 BC ? 4
2

4 d ? 3 ?( ) ? 5 2
2

2

15.直线为 x ? 3 ,曲线为 x 2 ? y ? 4x ,即 ( x?2) ? y ? 4 .? d ? 1
2 2 2

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l ? 2 R 2 ? d 2 ? 2 4 ?1 ? 2 3

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三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函 数的最值等基本知识,考查运算能力. 已知向量 m ? (sin A,cos A) , n ? ( 3, ?1) ,且 m ? n ? 1 ,A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大 小; 解: (Ⅰ)由题意得 m? ? 3sin A ? cos A ? 1, ???2 分 n

??

?

?? ?

?? ?

? ? 1 2sin( A ? ) ? 1,sin( A ? ) ? . 6 6 2
由 A 为锐角得 A ?

???4 分

?

A?

? ? ? ? , A ? . ???6 分 6 6 3

6

? (?

? ?

, ), 6 3

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(Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos Asin x( x ? R) 的值域. 由(Ⅰ)可得 cos A ?

1 , ???7 分 2
2

所以 f ( x) ? cos 2x ? 2sin x ? 1 ? 2sin x ? 2sin s

1 3 ? ?2(sin x ? ) 2 ? . ???9 分 2 2
因为 x ? R ,则 sin x???1,1? , 当 sin x ?

1 3 时, f ( x ) 有最大值 . 2 2

当 sin x ? ?1 时, f ( x ) )有最小值 ?3 ,???11 分 故所求函数 f ( x ) 的值域是 ? ?3, ? .???12 分 2

? ?

3? ?

17. (本小题满分 12 分) 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:万元)之间有如下对应数据:
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(Ⅰ)画 解 (Ⅰ) 所列数据 图如下:

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4 40 5 60 6 50 8 70
出散点图 根据表中 可得散点

x
y

2 30

??????3 分 (Ⅱ)求回归直线方程;

(参考数据:

? xi2 ? 145
i ?1

5

? yi2 ? 13500
i ?1

5

?x y
i ?1 i

5

i

? 1380


x?
解: 分

2+4+5+6+8 25 30+40+60+50+70 250 = ?5 y? = ? 50 5 5 5 5 , ???

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?4

又已知

? xi2 ? 145
i ?1

5

?x y
i ?1 i

5

i

? 1380

? b?
于是可得:

? x y ? 5x y
i ?1 5 i i

5

?x
i ?1

?

2 i

? 5x

2

1380 ? 5 ? 5 ? 50 ? 6.5 145 ? 5 ? 5 ? 5
???????????6 分 ??????8 分 . ???????????9 分

? ? a ? y ? bx ? 50 ? 6.5 ? 5 ? 17.5
因此,所求回归直线方程为: y ? 6.5x ?17.5

?

(Ⅲ)试预测广告费支出为 10 万元时,销售额多大? 解: 根据上面求得的回归直线方程, 当广告费支出为 10 万元时,

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? ? 6.5?10 ?17.5=82.5 y (万元)

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即这种产品的销售收入大约为 82. 5 万元.

?????12 分

18. (本小题满分 14 分) 如图,在直角梯形 ABCD 中, ?A ? ?D ? 90 , AB ? CD ,
?

SD ? 平面 ABCD , AB ? AD ? a , SD ? 2a .
(Ⅰ )求证:平面 SAB ? 平面 SAD 证明:? ?A ? 90? ,? AB ? AD. 又 SD ? 平面 ABCD, AB ? 平面 ABCD ,

? SD ? AB .………………2 分
? AB ? 平面 SAD . …………………………………4 分
又 AB ? 平面 SAB ,

? 平面 SA B ? 平面 SA D ……………………………6 分

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(Ⅱ )设 SB 的中点为 M ,且 DM ? MC ,试求出四棱锥 S ? ABCD 的体积 解: 连结 BD,? ?A ? 90 , AB ? AD ? a
?

S

? BD ? 2a ? SD ? BD, ?BDA ? 45?
M
又 M 为 SB 中点,

D A

P B

C

? DM ? SB

……………… 8 分

由条件 DM ? MC , MC ? SB ? M ,

? DM ? 面SBC ,又 BC ? 面SBC ,
则 DM ? BC ,………10 分 由(1)可知 SD ? BC , SD ? DM ? D ,? BC ? 面SDB ,则 BC ? BD , ……………… 12 分
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由平面几何知识,则 ?BDC 是等腰直角三角形, 则 故 VS ? ABCD ?

DC ? 2DB ? 2a ,……… 13 分
1 1 a ? 2a 2 3 S ABCD ? SD ? ( ) ? a. 2 ? a ? a .……… 14 分 3 3 2 2

19. (本小题满分 14 分) 甲、乙两人玩一种游戏;在装有质地、大小完全相同,编号分别为 1,2,3,4,5,6 六个球的口袋中,甲先模出一个球,记下编号,放回后乙再模一个球,记下编号,如果两个 编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢。 (1)求甲赢且编号和为 8 的事件发生的概率; 解: (1)设“两个编号和为 8”为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件为(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)共 5 个,又甲、乙 , , , , 两人取出的数字共有 6×6=36(个)等可能的结果, 故

P ( A) ?

5 ------------6 分 36

(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由。 解: 这种游戏规则是公平的。----------------------------7 分

设甲胜为事件 B,乙胜为事件 C,

则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有 18 个: (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6) …… … 11 分 所以甲胜的概率 P ( B ) ? 乙胜的概率 P (C ) ? 1 ?

18 1 ? , 36 2

1 1 ? = P ( B ) ------------------------13 分 2 2

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所以这种游戏规则是公平的.----------------------------14 分

20. (本小题满分 14 分) 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A 、 B 两点, M 是线段 AB 上 a 2 b2
1 x 上, 2

的一点, AM ? ? BM ,且点 M 在直线 l : y ? (1)求椭圆的离心率;

???? ?

???? ?

解:设 A 、 B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( I)由 AM ? ?BM 知 M 是 AB 的中点,??????1 分

???? ?

???? ?

?x ? y ?1 ? 0 ? 由 ? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 ?a b

得: (a ? b ) x ? 2a x ? a ? a b ? 0 ???????4 分
2 2 2 2 2 2 2

2a 2 2b 2 x1 ? x2 ? 2 , y1 ? y2 ? ?( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2 ?????5 分 a ? b2 a ? b2
? M 点的坐标为 (

a2 b2 , 2 ) a 2 ? b2 a ? b2

又 M 点的直线 l 上:

?

a2 2b 2 ? 2 ? 0 ?????6 分 a 2 ? b2 a ? b2

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?a2 ? 2b2 ? 2(a2 ? c2 ) ?a2 ? 2c2
?e ? c 2 ? ??7 分 a 2

(2)若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x ? y ? 1上,求椭圆的方程。
2 2

解: 由(1)知 b ? c ,不妨设椭圆的一个焦点坐标为

F (b, 0)





F (b , 0 ) 于 直 线 关

l:y?

1 x 2











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( x0 , y0 ) ,
? y0 ? 0 1 ? x ? b ? 2 ? ?1 ? 则有 ? 0 ? x0 ? b ? 2 ? y0 ? 0 ? 2 ? 2

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??????8 分

3 ? ? x0 ? 5 b ? 解得: ? ??????11 分 4 ?y ? b ? 0 5 ?
2 2 由已知 x0 ? y0 ? 1,

3 4 ? ( b) 2 ? ( b) 2 ? 1 ,??????13 分 5 5

?b2 ? 1 .???13 分
?

x2 ? y 2 ? 1??????14 分 所求的椭圆的方程为 2

21. (本小题满分 14 分) 已 知 数 列

?an ?

中 的 相 邻 两 项 a2k ?1,a2k 是 关 于 x 的 方 程

x2 ? ( k ? 3

k

,3, 2 ?) k ? k3? 的两个根,且 a2k ?1 ≤ a2k (k ? 1 2,?) . x 2 0

(I)求 a1 , a3 , a5 , a7 ; 解:方程 x ? (3k ? 2 ) x ? 3k ? ? 0 的两个根为 2
2 k k

x1 ? 3k , x2 ? 2k ,?????2 分
当 k ? 1 时, x1 ? 3,x2 ? 2 ,所以 a1 ? 2 ; 当 k ? 2 时, x1 ? 6 , x2 ? 4 ,所以 a3 ? 4 ; 当 k ? 3 时, x1 ? 9 , x2 ? 8 ,所以 a5 ? 8 ; 当 k ? 4 时, x1 ? 12 , x2 ? 16 ,所以 a7 ? 12 .?????4 分

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(II)求数列 ?an ? 的前 2n 项和 S 2n ; (II)解: S2n ? a1 ? a2 ? ? ? a2n
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? (3 ? 6 ? ? ? 3n) ? (2 ? 22 ? ?? 2n ) ???5 分 ?
? 1 ? sin n ? 3? , ? 2 ? sin n ?

3n2 ? 3n n?1 ? 2 ? 2 .?????7 分 2

(Ⅲ)记 f ( n) ?

Tn ?

(?1) f (2) (?1) f (3) (?1) f (4) (?1) f ( n?1) , ? ? ? …? a1a2 a3a4 a5a6 a2 n?1a2 n
1 5 ≤ Tn ≤ (n ? N* ) . 6 24

求证:

1 1 1 (?1) f ( n?1) 证明: Tn ? , ? ? ??? a1a2 a3a4 a5a6 a2 n?1a2 n
所以 T1 ?

1 1 ? , a1a2 6

?????8 分

T2 ?

1 1 5 . ? ? a1a2 a3a4 24

??????????9 分

当 n ≥ 3 时,

1 1 1 (?1) f ( n?1) , Tn ? ? ? ??? 6 a3a4 a5a6 a2 n?1a2 n

? 1 1 1 1 ? ≥ ? ?? ??? ? 6 a3a4 ? a5a6 a2 n?1a2 n ?
1 1 1? 1 1 ? ≥ ? ? ? 3 ??? n ? 2 6 6?2 6 ? 2 2 ?
? 1 1 1 ? ? , n 6 6?2 6
??????????11 分

同时, Tn ?

5 1 1 (?1) f ( n?1) ? ? ??? 24 a5a6 a7 a8 a2 n?1a2 n



? 1 5 1 1 ? ? ?? ??? ? 24 a5 a6 ? a1a2 a2 n?1a2 n ?

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?

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5 1 1? 1 1? ? ? ? 1 ??? n ? 3 24 9?2 9 ? 2 2 ?
?????????13 分

5 1 5 ? ? . n 24 9?2 24

综上,当 n ? N * 时,

1 5 ≤ Tn ≤ .????? 6 24

14 分

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广东省2011届高三全真高考模拟试卷(三)(数学文)

2011 年广东高考全真模拟试卷文科数学(三)本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 参考公式: $ b= ∑ x y ? nx y i =1 n i ...

广东省2011届高三全真高考模拟试卷(五)(数学文)

广东省2011届高三全真高考模拟试卷()(数学文)高三数学模拟题优化...题满分 ( 料知,甲击中 8 环,9 环,10 环的概率分别为 0.6,0.3,0.1...

2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学全真模拟试题(新课标全国1卷)

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 7 2016 年普通高考文科数学全真模拟试题1页 (共 1 页) 输出y结束 ?x ? y ? 3 ? 0 y ? (6)若实数 x, y ...

广东省2011届高三全真高考模拟试卷(二)(数学文)

年广东高考全真模拟试卷文科数学( 2011 年广东高考全真模拟试卷文科数学(二)本试卷...{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,6,7} D.{1,2,3,4,5} 2.下表表示...

广东省2011届高三全真高考模拟试卷(六)(数学文)

年广东高考全真模拟试卷文科数学( 2011 年广东高考全真模拟试卷文科数学(六)本试卷...1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为高. 3 小题, 在每小题给出的四个...

2013年江苏省南通市合作盟校高三数学考前全真模拟密卷苏教版(测试题)

江苏省南通市合作盟校 2013 届高三考前全真模拟卷数学卷 6 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. 若全集 U ? R , 集合 A ...

广东省2011届高三全真高考模拟试卷四(数学文)

年广东高考全真模拟试卷文科数学( 2011 年广东高考全真模拟试卷文科数学(四)本试卷...(1,2) B. (e, +∞) C. (1,+∞) D. (1, e) 3.已知函数 f ( ...

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