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《等差数列》说课稿


2013 宜兴市职业学校公共基础学科“两课”评比

《等差数列》
说课稿

授课教材:江苏省职业学校文化课教材《数学》第二册 授课章节: 授课班级: § 6.2 等差数列 2013 级 机电(2)班
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一、教材分析 本课选自中职《数学 <第二册>》第六章第二节《等差数列》内容。在中职数学中,数列 是重点学习内容之一,首先它是培养学生观察、分析、归纳、猜想等数学能力的良好题材; 其中等差数列又是数列学习的重点。等比数列的学习可以参照本节等差数列进行展开,因此 相对于本章,它具有基础性和承上启下性;其次等差数列是众多知识的汇合点:如数、式、 方程、函数等;等差数列还是反应自然规律、刻画离散现象的数学模型。 二、学情分析 学生概况:13 级机电专业都是 16、17 岁职业中专学生。学生数学基础普遍比较差,个个好 动,好奇心强,学习积极性不高。 困难预测:经过一阶段的数学学习,学生的数学思维能力稍有提高,但是学生在抽象思维、 概括、数学语言表达等方面还有待加强,所以针对学生的认知结构通过引用实际生 活中的实例结合学生已掌握的知识,经过由浅入深、由特殊到一般地引导、分析与 归纳,学生应该能初步掌握。 三、教学目标 根据教学大纲要求、教材特点,将本课教学目标定为: 知识技能目标:1、掌握等差数列的概念,会求等差数列的通项公式及公差; 2、掌握等差数列前 n 项和公式及等差数列的性质运用。 过程方法目标:通过生活情景引入、逐层推进的问题和例题,学生归纳整理,教师精讲总结, 再由学生练习反馈来达成本课目标; 情感态度价值观:体验解题的成就感,感受数学的奇妙与丰富多彩,养成学生务实求真、积 极实践的科学态度。 四、重点,难点 重点:①等差数列的概念及通项公式、前 n 项和公式的推导过程及应用; ②等差数列的性质运用。 难点:①等差数列五个量中知三求二的方法; ②等差数列性质运用。 五、教法分析 根据上述教材分析,贯彻启发性教学原则,体现以教师为主导,学生为主体的教学思想, 实现课堂有效教学,确定本课主要的教法为: 1、情景探究教学 借助建立现实生活情境引导学生思考,使问题变得直观,贴近生活,易于学生突破难点; 并且让学生体会到数学知识与生活的紧密联系,激发学生数学学习的兴趣,从而提高学生数 学学习的积极性。 2、小组讨论式教学 通过观察“现实情景”图像课件的演示,让学生分组(六人一组)讨论、交流、总结, 由小组成员代表小组发表意见(不同层次的组员回答,教师给予评价不同) 。 3、讲议结合教学 教师耐心引导、分析、讲解和提问,并及时对学生的意见进行肯定与评议。 4、分层教学 提问分层、评价分层、作业分层,注意面向全体学生,充分调动不同层次学生的积极性。 六、学法分析 引导学生认真观察现实情境的图像的演示,指导学生进行分组讨论交流,归纳总结,促 进学生知识体系的建构和数学思想方法的形成,注意面向全体学生,培养学生勇于探索、勤 于思考的精神,提高学生合作学习和数学交流的能力。 七、教材处理 (1)情景设置:通过创设现实情境,明确教学任务,激发学生的学习动机和求知欲。
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(2)新课讲解:通过师生共同探讨解决问题,由学生观察及小组讨论得出等差数列的概念、通 项公式及等差数列的性质,可以加强学生对本节内容的理解和记忆,实现知识与技能目标。 (3)例题选取:选用并改进课本例题,另外配备几个自己改编的应用问题,目的引导学生理解 有关内容,以实现技能目标与情感态度目标,从而培养学生学会学习,善于学习的能力。 八、教学过程 学生课前预习(学案导学) 根据教师的任务导引,进行课前预习,并进行简单的课前练习。在预习过程中,根据预习 情况提出问题,并由各小组长进行收集整理。 【设计意图】使学生对上课的内容有个大致的了解,提前发现自己的问题,教师可以提前了 解学生学习情况,从而可以提高上课的效率。 【第一课时:课堂探究】 教学 情境设计和学习任务 师生活动 设计意图 环节 情景一:在过去的三百多年里,人们分别 在下列时间里观测到了哈雷慧星: 1) ( 1682, 小组讨论的形式找出三组问题 通 过 真 实 的 1758,1834,1910,1986, ( ) 【哈雷 中数列的特点 生活实例分 慧星视频播出】 观察分析并得出答案: 析,激发学生 创 设 情景二:姚明刚进 NBA 一周训练罚球的个 引导学生观察相邻两项间的关 学 习 的 探 究 数 第一天:6000,第二天:6500, 系,由学生归纳和概括出,以 知识的兴趣, 情 景 第三天: 7000, 第四天: 7500, 第五天: 8000, 上三个数列从第 2 项起,每一 引 导 揭 示 数 第六天:8500,第七天:9000. 项与前一项的差都等于同一个 列 的 共 性 特 情景三:1,1,1,1, …… 常数(即:每个都具有相邻两 点,引入新课 请问它们之间有什么特点? 项差为同一个常数的特点) 。 今天我们就先学习一类特殊的数列。 新 课 [等差数列的概念] 讲 解 等差数列:一般地,如果一个数列 通过学生自 从第 2 项起,每一项与它的前一项的 己阅读课本, 差等于同一个常数,那么这个数列就 学生认真阅读课本相关概念, 找出关键字, 叫做等差数列。这个常数叫做等差数 找出关键字并口述等差数列的 提 高 学 生 的 总 结 列的公差,公差通常用字母 d 表示。 概念。 阅读水平和 归 纳 注意: ①、 an ? an?1 ? d (n ? 2) 思维概括能 力,学会抓重 ②、d 为常数。 (当 d=0 时,此 点。 数列为常数数列)

课 堂 (4) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10 让学生进一 巩 固 (5) 5,5,5,5,5,5,…… 自主回答问题(抢答形式完成) 步 熟 悉 等 差 数列的特征, (6) x,3x,5x,7x,9x,……

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思考:根据规律填空? 问 题 (7) 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , 学生自主发现规律,完成两 提 出 ( ),( )…… 空格,进一步提出通项公式的 概念

a20 ?

让学生参与 到知识的形 成过程中,获 得数学学习 的成就感。

总 结 引导学生根据等差数列的定义进行归 归 纳 纳: ? a2 ? a1 ? d , ?a ? a ? d , ? (n ? 1)个等式 ? 3 2 ? a4 ? a3 ? d , ?? ? 所以叠加得:

问题:那么,如果任意给了一个等差 引导学生进 数列的首项 a1 和公差 d, 它的通项公式 思考,并发表各自的意见。有 行 理 性 分 析 不清楚之处当堂提问。 与推导,从而 是什么呢? 得出公式。 等差数列的通项公式:

an ? a1 ? (n ?1)d
通项公式为: an ? a1 ? (n ? 1)d 注意:只要我们知道了等差数列的首 项 a1 和公差 d, 那么这个等差数列的通

让学生有自 推导过程由老师通过多煤体展 主 思 考 的 时 示,学生通过老师对等差数列 间。 通项公式的推导,提出自己的 难于理解的地方,老师再做一 解答。

项 an 就可以表示出来了。 思考:在等差数列通项公式中,有四 小组讨论形式展开:得出结论 通 过 此 问 题 个量 a1 , d , n, an ,知道几个量,这四个 知道其中的任意三个量,就可 的展开,进一 总 结 以求出另一个量,即知三求 步 明 确 本 节 提 高 量就可以求全? 一 . 第一个难点 例 题 例 1、⑴求等差数列 8,5,2,…的第 让两个学生分别对这两小题加 讲 解 20 项. 以分析。 让学生参与 ⑵-401 是不是等差数列-5,-9, 课堂。 -13,…的项?如果是,是第几项? 深入探究,得到更一般化的结 论 例题评述:从该例题中可以看出,等 聆听教师点评 通过教师点 差数列的通项公式其实就是一个关于 评,提高学生 an 、 a1 、d、n(独立的量有 3 个)的 对关键问题 的认知水平。 方程;另外,要懂得利用通项公式来 判断所给的数是不是数列中的项,当 判断是第几项的项数时还应看求出的 项数是否为正整数,如果不是正整数, 那么它就不是数列中的项。

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课 堂 讲练结合,有 巩 固 随堂练习:课本 11 页“练习”第 1、2 分组形式展开,分两大组,每 利 提 高 学 生 两题; 组一题。 的知识应用 水平 例 2:在等差数列中,已知 a5 ? 10 , 老师讲解,学生从此题中得到 通 过 教 师 点 一般已知等差数列的两项就可 评,提高学生 a12 ? 31,求首项 a1 与公差 d 。 以确定出这个数列。 对关键问题 的认知水平。 问 题 问题: 已知等差数列 ?an ? 中, 公差为 d 培养学生分 探 究 则 a 与 a ( n, m ? N ? )有何关系? 析问题的能 n m 以小组讨论的形式展开,让组 力,在小组讨 长归纳出本组的意见并加以说 论 中 提 高 组 得出最终答案: 明。 长的组织与 归纳组内成 n m 员想法的能 an ? am 力。 d? 例 题 n?m 讲 解 例 3 在等差数列 ?an ? 中 第 1 小题老师分析板书写出过 讲练结合,有 程,2、3 小题学生自己独立完 利 提 高 学 生 (1) 若 a p =q, aq =p (p≠q),求 a p?q ; 成,以投影仪形式展示学生完 的 知 识 应 用 (2) 若 a59 =70, a80 =112,求 a101 ; 成情况。 水平 (3) 若 a12 =23, a 42 =143, an =263,求 n.

a ? a ? (n ? m)d

小组归纳: 1、等差数列的知识点; (学生自主归 课 堂 纳) 小 结 2、整理出本节课不太理解的地方。

以学习小组为单位,在学习小 组中,各自归纳自己对这堂课 的收获,后由小组代表总结归 纳。

学生自己小 结,使学生对 自己所学知 识有更深刻 的认识。

【第二课时:课堂探究】 教学 情境设计和学习任务 师生活动 设计意图 环节 情景一:数学家高斯 10 岁时,老师给 出一道题:求 1 到 100 的自然数之和。 学生观看数学家高斯解题视频 老师话刚说完,他就说出了答案。大 及问题二、三,以小组形式探 通 过 真 实 的 家猜猜他是怎么算的呢?【观看视频】 讨: 生活实例分 1、你能用一个字说出高斯算法 析,激发学生 情景二:生活原型:如图,一堆圆木, 的巧妙之处吗? (配) 学习的探究 从上到下每层的数目分别为 1,2, 2、你能用一个字说出第二种算 知识的兴趣, 创 设 3,……,20 . 问共有多少根圆木? 法的巧妙之处吗?(倒) 引导揭示数 情 景 3、常数数列(特殊数列)前 n 列 的 共 性 特 点,引入新课 项和的求法?

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情景三:数列:1,1,1,1, ……

则 S n =1+1+1+1+…… 探究一: 1、 1 到 n 的正整数之和 求 即:n =1 学生自主发言:解决探究一的 通 过 情 景 引 s 问题,对答问题的同学给以相 入的 1、2、3 +2+3+??+n 新 课 应加分,组长记好! 来解决探究 讲 解 2、看谁算得快: 一问题,让学 如图一堆钢管有多少根? 生掌握类比 的数学方法

探究二:对于一般的等差数列,又该 问 题 如何去求它的前 n 项和? 引导学生进 提 出 思考,并发表各自的意见。有 行 理 性 分 析 即: sn =a1+a2+a3+??+an 不清楚之处当堂提问。 与推导,从而 让理解的同学做以解答。 得出公式。 总 结 利用等差数列的定义可得: (形成互帮互助) 进一步掌握 归 纳 【本节课的一个难点,分层提 倒序相加的 ?S n ? a1 ? (a1 ? d ) ? ? [a1 ? (n ? 1)d ] 出要求】 数学方法。 ? ?S n ? a n ? (a n ? d ) ? ? [a n ? (n ? 1)d ] 两式相加可得: 2Sn ? n(a1 ? an ) 即 Sn ?
n(a1 ? a n ) 2

公式变形: 将 an ? a1 ? (n ? 1)d 代入可得:
S n ? na1 ? n(n ? 1) d 2

让学生进一 步熟悉等差 数列前 n 项和 公式的特征 小组探讨:要求等差数列前 n 项和必须知道哪些量?并熟记 等差数列的前 n 项和公式.

综上所述: 等差数列求和公式为: n(a1 ? a n ) n(n ? 1) Sn ? ? na1 ? d 2 2 思考:在等差数列中,已知哪些量可 小组展示讨论结果: 总 结 以求等差数列的前 n 项和? 1、已知 n、 a1 、 an ,求 S n ; 提 高 2、已知 n、 a1 、 d ,求 S n 。 . 通过此问题 的展开,进一 步明确本节 课的一个重 点

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应 用 例 1:求等差数列-10,-6,-2,2,… 让两个学生分别对这两小题加 巩 固 前 10 项的和。 以分析。 让学生参与 课堂。 变式题:等差数列-10,-6,-2,2,… 深入探究,得到更一般化的结 前多少项和是 54? 论 讲练结合,有 随堂练习:课本 13 页“练习”第 1、2 分组形式展开,分两大组,每 利 提 高 学 生 两题; 组一题。 的知识应用 水平 例 题 例 2: 如图, 一个堆放铅笔的 V 形架的 小组探讨将实际问题转化为数 培 养 学 生 分 讲 解 最下面一层放 1 支铅笔,往上每一层 学问题触决。哪小组先完成哪 析 问 题 的 能 都比它下面一层多放 1 支,最上面一 小组到前面来讲解。 力,在小组讨 层放 120 支. 这个 V 形架上共放了多 论中提高组 少支铅笔? 长的组织与 归纳组内成 员想法的能 力。

练 一 练

完成书本上第 14 页 3、4、5 三题

学生自己练习完成,通过实物 进 一 步 巩 固 投影展示学生的解答,教师评 等差数列前 n 价。 项和的求解。 以学习小组为单位,在学习小 组中,各自归纳自己对这堂课 的收获,后由小组代表总结归 纳。 学生自己小 结,使学生对 自己所学知 识有更深刻 的认识。

课堂小结: 1、回顾公式的推导,从特殊到一般是 课 堂 我们研究问题的一般方法; 小 结 2、 倒序相加的方法, 数形结合的思想; 3、掌握等差数列的两个求和公式并能 灵活运用。

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【第三课时:课堂探究】 教学 情境设计和学习任务 环节 1、等差数列的定义及通项公式; 复习 2、等差数列的前 n 项和公式; 引入

师生活动

设计意图

小组间互问形式展开(你问我 检 测 学 生 对 答) 所学知识点 的掌握情况 问题 1:如果在 a 与 b 中间插入一个数 学生自主发言:解决问题一的 问 题 A,使 a ,A, b 成等差数列,那么 A 应 问题,对答问题的同学给以相 探 究 应加分,组长记好! 满足什么条件? 性质 1、若 a ,A, b 成等差数列,那 总 结 a b 归 纳 么 A 叫做 与 的等差中项 a?b 则: A ? 2 练习 练 习 巩 固 1、求下列两个数的等差中项: (1)30 与 18; (2)-13 与 9。 2、数列 1,3,5,7,9,11,13…… 中 7 是那些项的等差中项? 思考,并发表各自的意见。有 不清楚之处当堂提问。 让理解的同学做以解答。 (形成互帮互助) 引导学生进 行理性分析 与推导,从而 得出公式。

学生自主回答(抢答形式) :对 让学生进一 积极的同学加以加分 步熟悉等差 中项概念及 求解

以小组讨论的形式展开,让组 培养学生分 问 题 长归纳出本组的意见并加以说 析问题的能 探 究 问题 2:已知等差数列 ?an ? 中,公差为 明。 力,在小组讨 d , an 与 a m( n, m ? N ? ) 则 有何关系? 论中提高组 长的组织与 性质 2、等差数列 ?an ? 中 归纳组内成 员想法的能 力。 n m

a ? a ? (n ? m)d
an ? am n?m

d?

在等差数列 ?an ? 中, 练 习 1、已知 a3 ? 10 , a6 ? 19 ,求 a1 , d ; 巩 固 2、已知 a ? 20 , a ? 2 ,求 a 。 12 3 9 问 题 性质 3、在等差数列 ?an ? 中, 探 究 若 m+n=p+q , 则 , am ? an ? a p ? aq

学生自己练习完成,通过实物 通 过 练 习 进 投影展示学生的解答,教师评 一 步 巩 固 通 价。 项公式的推 导公式。 让学生进一 老师分析等差数列的此性质的 步 熟 悉 等 差 由来,并让有问题的学生提问, 数 列 的 第 三 当堂解决 个性质

(m, n, p, q ∈N ) 例 题 讲 解 例 1、若{an}是等差数列,且 a1+a4+ 老师分析两种不同的方法,学 讲练结合,有 a7=45,a2+a5+a8=39,求 a3+a6+ 生比较哪个方法好, 明确性质 3 利 提 高 学 生 a9 的值。 (用两种方法求解) 的好处 的知识应用 课 堂 水平
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巩 固 练习:在等差数列{an}中: 小组探讨,组长整理本组完成 在 小 组 讨 论 (1) a2+a3+a10+a11=48,求 a6+a7; 情况。哪小组先完成哪小组到 中 提 高 组 长 (2) a1-a4-a8-a12+a15=2, 前面来讲解。 的组织与归 求 a3+a13; 纳组内成员 (3) a3+a11=10,求 S13 。 想法的能力。 课堂小结: 1、掌握等差数列三个性质; 课 堂 2、熟练运用等差数列的性质解题。 小 结 以学习小组为单位,在学习小 组中,各自归纳自己对这堂课 的收获,后由小组代表总结归 纳。 学生自己小 结,使学生对 自己所学知 识有更深刻 的认识。

九、板书设计 等差数列: 1、定义: 2、通项公式: 3、前 n 项和公式: 4、等差数列性质: ①、 ②、 ③、 ④、

例 1、 例 2、

投影屏幕

例 3、

十、作业设计: (分别对应几课时) 必做题:1)学习指导用书 P5 A 组 1、2、4 2)学习指导用书 P6 A 组 3,B 组 3、4 3)学习指导用书 P6B 组 1、2、5 选做题:1)学习指导用书 B 组 9、10 2)学习指导用书 B 组 6、7 3)学习指导用书 B 组 8 和问题解决题 【设计意图】体现分层教学的思想,使各层次的学生都找到各自的学习区,进一步完善教学 目标的实现。 十一、教学评价 1、通过学生的探究以及与学生的问答交流,发现其思维过程,在鼓励的基础上,纠正偏差. 2、在学生讨论、交流、合作时,教师通过观察,就个别或整体参与活动的态度和表现做出评 价,以此来调动学生参与活动的积极性。 3、通过应用(上黑板板演、问答交流等)来检验学生学习的效果,并在讲评中,肯定优点, 指出不足。 4、通过作业,反馈信息,再次对本节课做出评价,以便查漏补缺,指导今后的教学
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十二、资源整合 1、多媒体与板书相结合 2、教师备课的素材与学生已有的知识、经验相结合。 十三、教学反思 教学亮点:本节内容设计的成功之处是充分利用熟悉的生活中的实例。这些实例的运用一方 面使学生保持了较高的参与热情,另一方面始终注重“以生为本” ,打破教师讲,学生听的传 统教学模式,一开始让学生带着问题自主学习,自己去发现问题;再通过合作探究,以集体 的智慧去解决问题;最后教师加以引导、点评、小结,效果良好。 存在问题:本节课,学生的学习积极性很高涨,但是设计教学的成面与学生的知识面还有一 定的差距,不然可以使学生的学习兴趣进一步进一步高涨。在以后的教学中,除了备好教材 外,还要备好学生。一堂好课,不是看老师讲的有多好,而是看学生学得有多好。 改进设想:注意评价手段的多样化,发挥教学评价的激励功能;在资源整合中,加强数学知 识与专业的结合。

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