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三角函数中三角变换常用的方法和技巧


三角函数中三角变换常用的方法和技巧
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA ? cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2A=2sinA*cosA 半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

一、角的变换

在三角函数的求值、化简与证明题中,表达式往往出现较多的相异角,此时可根据角与 角之间的和差、倍半、互余、互补的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使 问题获解。常见角的变换方式有: ?

? (? ? ? ) ? ? ; 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ;

2? ? ? ? (? ? ? ) ? ? ; ? ? 2
例 1 函数 y ? 2sin ? (A) ?3

?
2

等等。

?π ? ?π ? ? x ? ? cos ? ? x ? ( x ? R) 的最小值等于( ?3 ? ?6 ?
(C) ?1 (D) ? 5

) .

(B) ?2

解析:注意到题中所涉及的两个角的关系:?

?π ? ?π ? π ? x ? ? ? ? x ? ? ,所以将函数 f ( x) 的表 ?3 ? ?6 ? 2

达式转化为 f ( x) ? 2 cos ? 选(C) .

?π ? ?π ? ?π ? 故 故 ? x ? ? cos ? ? x ? ? cos ? ? x ? , f ( x) 的最小值为 ?1 . ?6 ? ?6 ? ?6 ?

评 注 : 常 见 的 角 的 变 换 有 : ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

2? ? ? ? ? ? (? ? ? ) , ? ?

? ??
2

?

? ??
2

, ?

? 3π ? ?π ? π ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (? ? ? ) , ? 4 ? ?4 ? 2

π? ? π? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察,往往 4? ? 4? ?
会发现角之间的关系. 例 2、已知 cos? ?

1 11 , cos( ? ? ) ? ? , ? , ? 均是锐角,求 cos ? 。 ? 7 14

cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos( ? ? ) cos? ? sin(? ? ? ) sin ? . ?
解:

? sin ? ?

4 3 5 3 11 1 5 3 4 3 1 , sin(? ? ?) ? 。 cos ? ? (? ) ? ? ? ? ? 。 7 14 14 7 14 7 2

小结:本题根据问题的条件和结论进行 ? ? [(? ? ? ) ? ? ] 的变换。 例 3、已知 cos( ? ? 2? ) ? ? ,sin(

1 9

2 ? ? ? ? ?? - ? )= ,且 ? ? ? ? ,0 ? ? ? , 求 cos . 3 2 2 2 2

分析:观察已知角和所求角,可作出 余弦的差角公式求角。

? ??
2

? (? ?

?
2

)?(

?
2

? ? ) 的配凑角变换,然后利用

? ?

? ?
2

? ? ? ? ,0 ? ? ? ?? ?

?
2 ?
2

,

?
2

4

? ? ,?

?
4

?
2

?? ?

?
2

.

解: sin(? ?

?
2

)?

cos( ? ? ) ? 2 ? cos

?

1 4 5, 1? ( ) ? 9 9 2 5 1 ? (? ) ? , 3 3
2

? ??
2

? cos[(? ?

?
2

)?(

?

1 5 4 5 2 7 5 ? ? )] ? ? ? ? ? ? . 2 9 3 9 3 27

例 4、已知 sin ? ? m sin(2? ? ? ), 求证:

tan(? ? ? ) ?

1? m tan? (m ? 1). 1? m

分析:由角的特点,因已知条件所含角是 2? ? ? , ? , 所证等式含角 ? ? ? , ? , 所以以角为突 破口。

? 2? ? ? ? (? ? ? ) ? ? , ? ? (? ? ? ) ? ? , ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? m sin[(? ? ? ) ? ? ], 即 sin(? ? ? ) cos? ? cos( ? ? ) sin ? ?
证明: ? m sin(? ? ? ) cos? ? m cos( ? ? ) sin ? , ?

? (1 ? m) sin(? ? ? ) cos? ? (1 ? m) cos( ? ? ) sin ? ? ? m ? 1? tan(? ? ? ) ? 1? m tan ? . 1? m

小结:抓住题设与结论中角的差异,利用角的和,差,倍等关系,变不同的角为同角, 在三角变换中角的变换很重要。

二、函数名称变换
三角函数包括六种形式,因此,对于含有多种三角函数的问题,要从题目中所给的各函 数间的关系入手,寻求统一函数名称的变换途径,正确选用三角变换公式,通过变换尽量减 少三角函数的种类,可以使问题得到快速的解决. 例 1、若 sin(α +β )=

tan ? 1 1 , sin (α —β )= ,求 tan ? 2 10

解:由 sin=(α +β )=

1 1 , s in (α —β )= 得 2 10

1 ? ?sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2 3 1 ? 解得 sin ? cos ? ? , cos ? sin ? ? ? 10 5 ?sin ? cos ?-cos ? sin ? ? 1 ? 10 ?


tan ? sin ? cos ? 3 = = tan ? cos ? ? ? 2 sin

cos 2 x π 例 2、当 0 ? x ? 时,函数 f ( x) ? 的最小值是( ) . cos x sin x ? sin 2 x 4

1 4 解析:注意到函数的表达式的分子与分母是关于 sin x 与 cos x 的齐二次式,所以,分子 π 2 与 分 母 同 时 除 以 cos x 转 化 为 关 于 tan x 的 函 数 进 行 求 解 . 因 为 0 ? x ? , 所 以 4
(A) 4 (B) (C) 2 (D)

1 2

0 ? t an ? 1 ? ,所以 f ( x) ?

1 1 . ? ≥ 4 .故选(A) 2 2 tan x ? tan x 1? 1 ? ? ? tan x ? ? ? 2? 4 ?

评注:切、割化弦,弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的 两种方法: (1)若所给的三角式中出现了“切、割函数” 则可利用同角三角函数基本关系将“切、 , 割函数”化为“弦函数”进行求解、证明; (2) 若所给的三角式中出现了 “弦函数” “切函数” 有时可以利用公式 tan x ? 与 , 将“弦函数”化为“切函数”进行解答. 例 3、化简: (tan100 ? 3) 解:原式 ? (
cos100 sin 500

sin x cos x

sin100 cos100 sin100 ? 3 cos100 cos100 ?2cos 400 ? 3) ? ? ? ?2 0 cos10 sin 500 cos100 sin 500 sin 500

? 2sin ? cos ? 例 4、已知 tan(? ? ) ? ?3 ,求 2 的值。 4 sin ? ? sin ? cos ? ? 1
tan(? ? ) ? 1 4 ?2, 解:∵ tan ? ? tan(? ? ? ) ? ? 4 4 1 ? tan(? ? ) 4

?

?

?



2sin ? cos ? 2sin ? cos ? 2 tan ? 4 ? ? ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 1 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? 2 tan 2 ? ? tan ? ? 1 7

点评:在求值、化简、恒等式证明中,切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。

三、升幂与降幂变换
分析三角函数中的次数,是低次的升次,还是高次的降次,要充分结合题中的要求,正

确选用半角公式或倍角公式等三角公式,达到次数的统一.

π? ? sin ? ? ? ? 15 4? ? 例 1、 已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ? ,求 的值. 4 sin2? ? cos 2? ? 1
分析:由于已知条件中知道 sin ? 的值,而所求三角函数式中所涉及的角是与 ? 有关的 复角, 因此可利用同角三角函数的基本关系式, 二倍角公式以及三角函数式的恒等变形获得 解答.

2 (sin ? ? cos ? ) 2(sin ? ? cos ? ) 2 解:原式 ? ? 2 2sin ? cos ? ? 2 cos ? 4 cos ? (sin ? ? cos ? )


? 为 第 二 象 限 角 , 且 sin ? ?

15 时 , s i n ? c o s? ? ? 4

, cos ? ? ? 0

1 ,所以 4

π? ? sin? ? ? ? 2 4? ? ? ?? 2. s i n? ? c o ?? 2 s2 1 4? o s c
评注:解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式,消去常数 1.

3 ? 4 sin 20 ? ? 8 sin 3 20 ? 例 2、求值: 2 sin 20 ? sin 480 ?

解:原式:= = =

3 ? 4 sin 20 ?(1 ? 2 sin 2 20 ?) 3 sin 20 ?



3 ? 4 sin 20? cos 40? 3 sin 20?

2 sin(40? ? 20?) ? 4 sin 20? cos 40? 3 sin 20? 2(sin 40? cos 20? ? cos 40? sin 20? 3 sin 20? 2 sin(40? ? 20?) 3 sin 20?





2 3 3

注:怎样处理 sin320°和 3 是本题的难点,解决的方法是“降 幂”和“常数变换法” 。

例 3、化简 sin ? sin ? ? cos ? cos ? ?
2 2 2 2

1 cos 2? cos 2? 。 2

分析:从“幂”入手,利用降幂公式。

解:原式

1 1 1 (1 ? cos 2? )(1 ? cos 2? ) ? (1 ? cos 2? )(1 ? cos 2? ) ? cos 2? cos 2? 4 4 2 1 1 ? (1 ? cos 2? ? cos 2? ? cos 2? cos 2? ) ? (1 ? cos 2? ? cos 2? ? cos 2? cos 2? ) 4 4 ?
1 ? cos 2? cos 2? 2

1 1 (1 ? cos 2? cos 2? ) ? cos 2? cos 2? 2 2 1 ? 2 ?

四、常数变换
在三角函数的、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数,例如常数“1”的变 换 有 : 1 ? s in ? ? c o s ? ? s e c ? t a n ? ? c s c ? ? c o t ? , 1 ? sin 90 ? sin 45 ,
2 2 2 2 2 2 0 0

1 ? sec? ? cos? ,1 ? csc? sin ? 等等。
例 1、已知 tan ?

1 ?π ? 的值. ? ? ? ? 2 ,求 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ?4 ?

分析:由已知易求得 tan ? 的值,而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦 函数且各式都为二次式,而分子是常数 1,可将 1 化为 sin ? ? cos ? ,再利用同角三角函
2 2

数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解. 解:由 tan ?

1 ?π ? 1 ? tan ? ?? ? ? ? 2 ,得 tan ? ? , 3 ?4 ? 1 ? tan ?

于是原式 ?

sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 2 ? ? . 2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 3
2 2 3 等) ,比照特殊角的三角函数 3

, ,3, 评注:对于题中所给三角式中的常数(如:1

值,将它们化为相应的三角函数,参与其它三角函数的运算,在解题中往往起着十分奇妙的 作用. 例2、 求值(

1 3 1 — ) ? o 2 o cos 80 cos 10 c0 o s 2
2

o

解:∵

cos 2 10o-3cos 2 80o 1 3 — = cos 2 80o cos 2 10o cos 2 80o cos 2 10o

(cos10o + 3sin10o)(cos10o- 3sin10o) = cos 2 10o sin 2 10o


4(sin30o cos10o +cos30osin10o)(sin30ocos10o-cos30osin10o) cos 2 10o sin 2 10o



4sin 40o sin 20o 16sin 40o = =32cos20o 1 2 o sin 20o sin 20 4

∴原式=32 例 3、(2004 年全国高考题)求函数 f ( x) ? 期,最大值和最小值。 分析:由所给的式子 sin x ? cos x ? sin x cos x 可联想到 1 ? (sin x ? cos x) 。
4 4 2 2
2 2 2

sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x cos2 x 的最小正周 2 ? sin 2 x

解: f ( x) ?

sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x cos2 x 2 ? sin 2 x
1 ? sin 2 x cos2 x 2(1 ? sin x cos x)

?

?

1 1 sin 2 x ? 。 4 2
3 1 ,最小值为 。 4 4

所以函数 f (x) 的最小正周期是 ? ,最大值为

五、消参变换
当题设或结论中含有参数时,我们可以采用消去参数法来解决. 例 1、 已知 sin ? ? m sin(3? ? ? ) ,m ? 1且 ? ? ? ? 求证: tan(? ? ? ) ?

1? m tan ? . 1? m

π kπ ? kπ(k ? Z) ,? ? (k ? Z) . 2 2

分析:由于已知和结论中都含有参数 m ,所以我们可以把已知变形,求出

m,m ?

sin ? 1? m ,代入 tan ? 化简,即可证得等式成立. sin(2? ? ? ) 1? m

评注:在解答含有参数的等式证明问题时,我们往往可以采用这种办法.本例并未给出 证明过程,同学们可试着自己完成. 六、变换公式的方法

使用任何一个公式都要注意它的逆向变幻,多向变幻,这是灵活,深刻地使用公式所必 须的,尤其是三角公式众多,把这些公式变活,显得更加重要。 三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。如 cosα =

sin 2? ,tanα ±tanβ =tan(α +β ) ? tanα tanβ )等。 (1 2 sin?
( 3 ? tan12? ? 3) csc12? 4 cos2 12? ? 2

例 1:求值:

解:先看角,都是 12°;再看“名” ,需将切割化为弦,最后在化简过程中再看变换。

(
原式=

3 sin12? 1 ? 3) ? cos12? sin12? (切、割化为弦) 2 4 cos 12? ? 2

1 3 2 3 ( sin12? ? cos12?) 3 sin 12 ? ? 3 cos12 ? 2 2 = = (逆用二倍角) 2 sin 12 ? cos12 ?(2 cos2 12? ? 1) sin 24? cos 24?

= =

2 3 (sin 12? cos 60? ? cos12? sin 60?) (常数变换) sin 24? cos 24? 4 3 sin(12? ? 60?) 4 3 sin(?48?) (逆用差角公式)= 2 sin 24? cos 24? sin 48?

=-4 3 (逆用二倍角公式)
注:要养成逆用公式的意识,熟悉教材给出的三角基本公式的同时,如果我们熟悉其 他变通形式常可以开拓解题思路。 例 2、求 tan17? ? tan 28? ? tan17? tan 28? 的值。

tan(17? ? 28?)(1 ? tan17? tan 28?) ? tan17? tan 28?
解:原式= ? tan 45?(1 ? tan17? tan 28?) ? tan17? tan 28?

?1
小结:对于两个角的正切的三角函数的和与积的形式的求值问题,通常利用

t a n? ? ? ) ? (

t a n ? t a n? ? 的变形式 tan? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan? tan ? ). 1 ? t a n t a n? ?

例 3、求 tan(

?

? ? ) ? tan( ? ? ) ? 3 tan( ? ? ) tan( ? ? ) 的值。 6 6 6 6

?

?

?

解: tan[( ? ? ) ? ( ? ? )] ? tan ? 3 , ? 6 6 3

?

?

?

tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) 6 6 tan[( ? ? ) ? ( ? ? )] ? ? ? 6 6 1 ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) 6 6

?

?

?

?

? tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) 6 6
又?

?

?

3[1 ? tan( ? ? ) ? tan( ? ? )] 6 6

?

?

? 原式 ? 3[1 ? tan( ? ? ) ? tan( ? ? )] ? 3 tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) 6 6 6 6 ? 3

?

?

?

?

例 4、 若α β 为锐角且满足 sinα —sinβ = — 的值。 解:由题中条件把两等式平方相加得

1 1 ,cosα —cosβ = ,求 tan(α —β ) 2 2

sin2α —2sinα sinβ +sin2 β +cos2α —2cosα cosβ +cos2β = 即 2—2cos(α —β )= ∵α 、β 为锐角 ∴ 0<α <β <

1 2

1 2

∵cos(α —β )=

3 4

sinα —sinβ =—

? 2

?

?
2

1 <0 2

<α —β <0

2 ∴s in(α —β )=— 1-cos (?-? ) =—

7 , 4

∴ tan(α —β )=

7 sin(? ? ? ) = — , 3 cos(? ? ? )


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