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高中数学圆锥曲线


高中数学之圆锥曲线与方程
考纲导读 1.掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程. 2.掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质. 3.掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质. 4.了解圆锥曲线的初步应用. 知识网络

3. 有关直线与圆锥曲线位置关系问题, 是高考的重热点问题, 这类问题常涉及圆锥曲线的性 质和直线的基本知识以及线段中点、 弦长等, 分析这类问题时, 往往要利用数形结合思想和“设 而不求”的方法、对称的方法及韦达定理,多以解答题的形式出现. 4. 求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题, 是高考命题的一大热点, 这类问题综合性较大, 运算技巧要求较高;尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合,特别近年出现的 解析几何与平面向量结合的问题,是常考常新的试题,将是今后高考命题的一个趋势.

第 1 课时
基础过关 1.椭圆的两种定义

椭圆

椭圆

椭圆定义

标准方程 a、b、c 三者 间的关系

几何性质 第二定义 几何性质 第二定义

(1) 平面内与两定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于 F1F2 )的点的轨迹叫椭圆,这两个定点 叫做椭圆的 , 之间的距离叫做焦距. 注:①当 2a=|F1F2|时,P 点的轨迹是 .②当 2a<|F1F2|时,P 点的轨迹不存在. (2) 椭圆的第二定义:到 的距离与到 的距离之比是常数 e ,且 的点的轨迹叫椭圆. 定点 F 是椭圆的 , 定直线 l 是 , e? 常数 e 是 . 2.椭圆的标准方程 (1) 焦点在 x 轴上,中心在原点的椭圆标准方程是:
y2 a2 x2 a
2

圆 锥 曲 线

双曲线

双曲线定义

标准方程

统 一 定 义

?

y2 b2

? 1 ,(

>

>0,且 a 2 ?

抛物线 抛物线定义

标准方程

几何性质 (2) 焦点在 y 轴上, 中心在原点的椭圆标准方程是

?

x2 b2

其中 a, b 满足: ?1 ,



直线与圆锥曲线的位置关系 高考导航 圆锥曲线是高中数学的一个重要内容, 它的基本特点是数形兼备, 兼容并包, 可与代数、 三角、 几何知识相沟通, 历来是高考的重点内容。 纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查, 基本上是两个客观题,一个主观题,分值 21 分~24 分,占 15%左右,并且主要体现出以下几 个特点: 1.圆锥曲线的基本问题,主要考查以下内容: ①圆锥曲线的两种定义、标准方程及 a、b、c、e、p 五个参数的求解. ②圆锥曲线的几何性质的应用. 2、 求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高, 此类问题的解决需掌握四种基本方 法:直译法、定义法、相关点法、参数法.
1

3.椭圆的几何性质(对

x2 a2

?

y2 b2

? 1 ,a > b >0 进行讨论)

(1) 范围: ≤x≤ , ≤y≤ (2) 对称性:对称轴方程为 ;对称中心为 (3) 顶点坐标: , 焦点坐标: , 长半轴长: , 短半轴长: 准线方程: . (4) 离心率:e ? ( 与 的比),e ? ,e 越接近 1, 椭圆越 越接近 0,椭圆越接近于 . (5) 焦半径公式:设 F1 , F2 分别为椭圆的左、右焦点, P( x0 , y0 ) 是椭圆上一点,则

. ; ;e

PF1 ?

, PF2 ? 2a ? PF1 = .



∵ 点 P(3,4)在椭圆上,∴
x2 y2 ? ?1. 45 20

9 b ? ?1 a 2 a 2 ? 25

(6) 椭圆的参数方程为 4.焦点三角形应注意以下关系: (1) 定义:r1+r2=2a

解得 a2=45 或 a2=5 又 a>c,∴ a2=5 舍去. 故所求椭圆的方程为

(2) 余弦定理: r12 + r22 -2r1r2cos ? =(2c)2 (3) 面积: S ?PF 1F 2 = r1r2 sin ? = · 2c| y0 |(其中 P( x0 , y0 )为椭圆上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2, ∠F1PF2=? ) 典型例题 例 1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0) , (4,0) ,椭圆上一点 P 到两焦点距离之和等于 10;
1 2 1 2

法二:利用△PF1F2 是直角三角形,求得 c=5(以下同方法一) (2)由焦半径公式: | PF1 |=a+ex=3 5 + | PF2 |=a-ex=3 5 -
1 2

5 3 5 5 3 5

× 3=4 5 × 3=2 5
1 2

∴ S ?PF1F2 = | PF1 |· | PF2 |= × 4 5× 2 5 =20

(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2) 、 (0,2) ,并且椭圆经过点 ( ? (3)长轴长是短轴长的 3 倍,并且椭圆经过点 A(-3, 3 ) 变式训练 1:根据下列条件求椭圆的标准方程 (1) 和椭圆
1 x2 y 2 ? ? 1 共准线,且离心率为 . 2 24 20

3 5 , ); 2 2

x2 y2 变式训练 2:已知 P(x0,y0)是椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)上的任 a b
意一点,F1、F2 是焦点,求证:以 PF2 为直径的圆必和以椭圆长轴为 直径的圆相内切. 证明 设以 PF2 为直径的圆心为 A,半径为 r. ∵F1、F2 为焦点,所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2r ∴|PF1|+2r=2a,即|PF1|=2(a-r)连结 OA,由三角形中位线定理, 知 |OA|=

(2) 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上, 点 P 到两焦点的距离分别为 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点 . 例 2. 点 P(3, 4)是椭圆
x2 a
2

4 2 5和 5, 过P 3 3

1 1 | PF1 |? ? 2(a ? r ) ? a ? r. 2 2

故以 PF2 为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切. 评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理,使题目得证。 例 3. 如图,椭圆的中心在原点,其左焦点 F 1 与抛物线 y ? ?4 x 的焦点重合,过 F 1 的直线
2

?

y2 b2

=1 (a>b>0) 上的一点, F1、 F2 是它的两焦点, 若 PF1⊥PF2 求:

l 与椭圆交于 A、 B 两点, 与抛物线交于 C、 D 两点. 当直线 l 与 x 轴垂直时,
(1)求椭圆的方程; (2)求过点 O、 F 1 ,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程; (3)求 F2 A ? F2 B 的最大值和最小值.

CD AB

?2 2.

(1) 椭圆的方程;(2) △PF1F2 的面积. 解: (1)法一:令 F1(-C,0),F2(C,0) ∵ PF1⊥PF2,∴ k PF1 ? k PF 2 =-1 即 ∴ 椭圆的方程为
x2 y2 ? 2 ?1 2 a a ? 25
2
4 4 ? ? ?1 ,解得 c=5 3? c 3?c

解: (1)由抛物线方程,得焦点 F1 (?1,0) .

x2 y2 设椭圆的方程: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) . a b
? y 2 ? ?4 x 解方程组 ? 得 C(-1,2) ,D(1,-2) . ? x ? ?1
由于抛物线、椭圆都关于 x 轴对称, ∴

1 9 ? 所求圆的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? . …………………………8 分 2 4
(3) 由点F 1 (?1,0), F 2 (1,0) ①若 AB 垂直于 x 轴,则 A(?1,

2 2 ), B(?1,? ), 2 2

| F1C | | CD | 2 2 , ∴ A(1, ? ? 2 2 ,| F1 A |? ) . | F1 A | | AB | 2 2
1 1 ? 2 ? 1又 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1, 2 a 2b

…………2 分

? F2 A ? (?2,

2 2 ), F2 B ? (?2, ? ), 2 2
1 7 ? …………………………………………9 分 2 2

F2 A ? F2 B ? 4 ?



1 1 ? 2 ? 1 ,解得 b2 ? 1 并推得 a 2 ? 2 . 因此, 2 b ? 1 2b
故椭圆的方程为

②若 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的斜率为 k ,则直线 AB 的方程为

y ? k ( x ? 1)
…………4 分 由?

x2 ? y2 ? 1 . 2

y ? k ( x ? 1) 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
2

得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0

(2) a ? 2, b ? 1, c ? 1 , 圆过点 O、 F 1,

? ? ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,? 方程有两个不等的实数根.
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .

1 ? 圆心 M 在直线 x ? ? 上. 2
设 M (?

x1 ? x 2 ? ?

4k 2 , 1 ? 2k 2

x1 ? x2 ?

2(k 2 ? 1) ………………………………11 分 1 ? 2k 2

1 , t ), 则圆半径,由于圆与椭圆的左准线相切, 2

? F2 A ? ( x1 ? 1, y1 ), F2 B ? ( x2 ? 1, y2 ) F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? k 2 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)
? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (k 2 ? 1)(x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2

∴ r ? (? ) ? (?2) ?

1 2

3 . 2
2 2

由 OM ? r, 得 (? ) ? t ?

1 2

3 , 解得 t ? ? 2. 2
3

? (1 ? k 2 )

2(k 2 ? 1) 4k 2 2 ? ( k ? 1 )( ? ) ?1? k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

=

7k 2 ? 1 7 9 ? ? 2 2 2(1 ? 2k 2 ) 1 ? 2k
1 ?1 1 ? 2k 2

整理,得( 1 ? k 2 ) x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 . ① 2 因为直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于
1 2或 2. ? ? 8k 2 ? 4( ? k 2 ) ? 4k 2 ? 2 ? 0 ,解得 k ? ? k? 2 2 2

k 2 ? 0,1 ? 2k 2 ? 1,0 ?

7 7 ? F2 A ? F2 B ? [?1, ] ,所以当直线l 垂于 x 轴时, F2 A ? F2 B 取得最大值 2 2
当直线 l 与 x 轴重合时, F2 A ? F2 B 取得最小值 ? 1 变式训练 3:在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1, 0)、B(1, 0), 动点 C 满足条件:△ABC 的周长为 2+2 2.记动点 C 的轨迹为曲线 W. (1)求 W 的方程; (2)经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与曲线 W 有两个不同的交点 P 和 Q,

∴ 满足条件的 k 的取值范围为 k ? (? ?, ?

2 2 ) ( , ??) 2 2

(3)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则OP ? OQ =(x1+x2,y1+y2), 由①得 x1 ? x2 ? ? 4 2k2 . 1 ? 2k 又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 ② ③

求 k 的取值范围; (3)已知点 M( 2,0) ,N(0, 1) ,在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数 k,使得向量OP ? OQ 与 MN 共线?如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ) 设 C(x, y), ∵ AC ? BC + AB ? 2 ? 2 2 , AB ? 2 , ∴ AC ? BC ? 2 2 ? 2 , ∴ 由定义知, 动点 C 的轨迹是以 A、 B 为焦点, 长轴长为 2 2的椭圆除去与 x 轴的两个交点. ∴ a ? 2, c=1. ∴ b ? a ? c ? 1 .
2 2 2

因为 M ( 2, 0) , N (0, 1) , 所以 MN ? (? 2, 1) .……… 所以OP ?OQ 与 MN 共线等价于 x1 ? x2 =- 2( y1 ? y2 ) . 将②③代入上式,解得 k ? 2 . 2 所以不存在常数 k,使得向量OP ? OQ 与 MN 共线. 例 4. 已知椭圆 W 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 离心率为

6 , 两条准线间的距离为 6. 椭 3

圆 W 的左焦点为 F ,过左准线与 x 轴的交点 M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆 W 交 于不同的两点 A 、 B ,点 A 关于 x 轴的对称点为 C . ∴ W: x ? y 2 ? 1 2
2

(y ? 0 ) .…

(1)求椭圆 W 的方程; (2)求证:CF ? ?FB ( ? ? R ); (3)求 ?MBC 面积 S 的最大值.

2 (2) 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程,得 x ? (kx ? 2) 2 ? 1 . 2

4

x2 y 2 解: (1)设椭圆 W 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,由题意可知 a b
? c 6 ? , ? a 3 ? ? 2 2 2 ? a ? b ? c , 解得 a ? 6 , c ? 2 , b ? 2 , ? 2 ? 2 ? a ? 6, ? c ?
所以椭圆 W 的方程为
y A B M F C O x

又因为 ( x1 ? 2) y2 ?( x2 ?2)( ? y1 )

? ( x1 ? 2)k ( x2 ? 3) ? ( x2 ? 2)k ( x1 ? 3) ? k[2x1x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 12]
? k[ 54k 2 ? 12 ?90k 2 ? ? 12] 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

x2 y 2 ? ? 1 .……………………………………………4 分 6 2

k (54k 2 ? 12 ? 90k 2 ? 12 ? 36k 2 ) ? ? 0, 1 ? 3k 2
所以 CF ? ?FB . ……………………………………………………………10 分

a2 x ? ? ? ?3 , (2) 解法 1: 因为左准线方程为 所以点 M 坐标为 (?3,0) .于是可设直线 l c
的方程为 y ? k ( x ? 3) .

解法 2:因为左准线方程为 x ? ?

a2 ? ?3 ,所以点 M 坐标为 (?3,0) . c

? y ? k ( x ? 3), ? 2 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 18k 2 x ? 27k 2 ? 6 ? 0 . ?x y2 ?1 ? ? 2 ? 6
由直线 l 与椭圆 W 交于 A 、 B 两点,可知

于是可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,点 A , B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则点 C 的坐标为 ( x1 , ? y1 ) , y1 ? k ( x1 ? 3) , y2 ? k ( x2 ? 3) . 由椭圆的第二定义可得

? ? (18k 2 )2 ? 4(1 ? 3k 2 )(27k 2 ? 6) ? 0 ,解得 k 2 ?
设点 A , B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

2 . 3

| FB | x2 ? 3 | y2 | , ? ? | FC | x1 ? 3 | y1 |
所以 B , F , C 三点共线,即 CF ? ? FB .…………………………………10 分 (3)由题意知

?18k 27k ? 6 , x1 x2 ? , y1 ? k ( x1 ? 3) , y2 ? k ( x2 ? 3) . 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
2 2

S? ?

1 1 | MF || y1 | ? | MF || y2 | 2 2 1 | MF | ? | y1 ? y2 | 2
? 1 | k ( x1 ? x2 ) ? 6k | 2

因为 F (?2,0) , C ( x1 , ? y1 ) , 所以 FC ? ( x1 ? 2, ? y1 ) , FB ? ( x2 ? 2, y2 ) .

5

?

3 |k | 3 3 3 , ? ? ? 2 1 1 ? 3k 2 2 3 ?3| k | |k|

依题意 ? ? 20(16 ? 80k ) ? 0,得 ?
2

5 5 ?k? 5 5

1 2 当且仅当 k ? 时“=”成立, 3
3 所以 ?MBC 面积 S 的最大值为 . 2

当?

5 5 时,设交点 C ( x1 , y1 )、D( x2 , y 2 ) ,CD 的中点为 R ( x0 , y0 ) , ?k? 5 5
x1 ? x2 50k 2 25k 2 , x ? ? 0 2 5k 2 ? 4 5k 2 ? 4
25k 2 ? 20k ? 5) ? 2 . 2 5k ? 4 5k ? 4

则 x1 ? x 2 ?

x2 y2 + = 1 的左、右焦点. 变式训练 4:设 F 1 、 F2 分别是椭圆 5 4
(1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF 1 ? PF 2 的最大值和最小值; (2)是否存在过点 A(5,0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存 在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解: (1)易知 a ? 5, b ? 2, c ? 1,? F1 ? (?1,0), F2 (1,0)
2 2 设 P(x,y) ,则 PF 1 ? PF 2 ? (?1 ? x,? y) ? (1 ? x,? y) ? x ? y ? 1

? y 0 ? k ( x0 ? 5) ? k (

又|F2C|=|F2D| ? F2 R ? l ? k ? k F2 R ? ?1

? k ? k F2 R

20k ) 2 20k 2 5 k ? 4 ?k? ? ? ?1 25k 2 4 ? 20k 2 1? 2 5k ? 4 0 ? (?

x2 ? 4 ?

4 2 1 x ?1 ? x2 ? 3 5 5

∴20k2=20k2-4,而 20k2=20k2-4 不成立, 所以不存在直线l ,使得|F2C|=|F2D| 综上所述,不存在直线 l,使得|F2C|=|F2D| 小结归纳

? x ? [? 5 , 5 ] ,
?当x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF 1 ? PF 2 有最小值 3;
当 x ? ? 5 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF 1 ? PF 2 有最大值 4 (2)假设存在满足条件的直线 l 易知点 A(5,0)在椭圆的外部,当直线 l 的斜率不存在时, 直线 l 与椭圆无交点,所在直线 l 斜率存在,设为 k 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 5)

1.在解题中要充分利用椭圆的两种定义,灵活处理焦半径,熟悉和掌握 a、b、c、e 关系及 几何意义,能够减少运算量,提高解题速度,达到事半功倍之效. 2.由给定条件求椭圆方程,常用待定系数法.步骤是:定型——确定曲线形状;定位—— 确定焦点位置;定量——由条件求 a、b、c,当焦点位置不明确时,方程可能有两种形式, 要防止遗漏. 3. 解与椭圆的焦半径、 焦点弦有关的问题时, 一般要从椭圆的定义入手考虑; 椭圆的焦半径 的取值范围是[ a ? c, a ? c ] . 4.“设而不求”,“点差法”等方法,是简化解题过程的常用技巧,要认真领会. 5.解析几何与代数向量的结合,是近年来高考的热点,应引起重视.

? x2 y 2 ?1 ? ? 由方程组 ? 5 ,得(5k 2 ? 4) x 2 ? 50k 2 x ? 125k 2 ? 20 ? 0 4 ? y ? k ( x ? 5) ?
6

第 2 课时
基础过关

双 曲 线

1.双曲线的两种定义 (1) 平面内与两定点 F1, F2 的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双 曲线. 注:①当 2a=|F1F2|时,p 点的轨迹是 . ②2a>|F1F2|时,p 点轨迹不存在. (2) 平面内动点 P 到一个定点 F 和一条定直线 l (F 不在 ? 上)的距离的比是常数 e, 当e? 时 动点 P 的轨迹是双曲线. 设 P 到 F1 的对应准线的距离为 d ,到 F2 对应的准线的距离为 d 2 ,则 2.双曲线的标准方程 (1) 标准方程: b 0, a ?
2

(6) 具有相同渐近线 y ? ? x 的双曲线系方程为 (7) 为 (8)
x2 a
2

b a

的双曲线叫等轴双曲线,等轴双曲线的渐近线为 .
? y2 b2 ? 1 的共轭双曲线方程为

,离心率



典型例题 例 1.根据下列条件,写出双曲线的标准方程 (1) 中心在原点,一个顶点是(0,6),且离心率是 1.5. (2) 与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线,且过点 M(2,-2). 解:(1)∵顶点为(0,6),设所求双曲线方程为
y2 a2 ? x2 b2 ?1

PF 1 d1

?

PF2 d2

?e

x

2

a2

?

y

2

b2

? 1 ,焦点在

轴上;

y

2

a2

?

x

2

∴a ?6

b2

? 1 ,焦点在

轴上.其中:a

0, 又∵ e ? 1.5 ∴ c ? a ? e ? b ?1.5 ? 9
y 2 x2 ? ?1 36 45

. 故所求的双曲线方程为

(2) 双曲线的标准方程的统一形式:

mx2 ? ny 2 ? 1(nm ? 0)
3.双曲线的几何性质(对 (1) 范围: x ?
x2 a2 ? y2 b2 ? 1, a ? 0, b ? 0 进行讨论)

(2) 令与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线的双曲线为 x2-2y2=k ∵ 双曲线过 M(2,-2) ∴ 4-2× 4=k 得 k=-4 ∴ x2-2y2=-4 即
y2 x2 ? ?1 2 4

, y?

. ,虚轴长为 ,

(2) 对称性:对称轴方程为 ;对称中心为 . (3) 顶点坐标为 ,焦点坐标为 ,实轴长为 准线方程为 ,渐近线方程为 . (4) 离心率 e = ,且 e ? , e 越大,双曲线开口越 口越 ,焦准距 P= .

, e 越小,双曲线开

(5) 焦半径公式,设 F1,F2 分别是双曲线的左、右焦点,若 P ( x0 , y0 ) 是双曲线右支上任意一 点, PF1 ?
PF2 ?

, PF2 ? .

,若 P ( x0 , y0 ) 是双曲线左支上任意一点, PF1 ?



变式训练 1:根据下列条件,求双曲线方程。 x 2 y2 ? ? 1 有共同渐近线,且过点(-3, 2 3 ) (1)与双曲线 ; 9 16 x 2 y2 ? ? 1 有公共焦点,且过点( 3 2 ,2) (2)与双曲线 16 4 x 2 y2 4 ? ? 1 的渐近线为 y ? ? x 解:法一: (1)双曲线 9 16 3 4 令 x=-3,y=± 4,因 2 3 ? 4 ,故点(-3,2 3 )在射线 y ? ? x (x≤0)及 x 轴负半轴之间, 3 ∴ 双曲线焦点在 x 轴上 x 2 y2 设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 , (a>0,b>0) a b

7

?b 4 ?a ? 3 ? ? 2 2 ? (?3) ? (2 3 ) ? 1 ? b2 ? a2 ? 2 9 ?a ? 4 解之得: ? ?b 2 ? 4 ?

解之得:k=4
x 2 y2 ? ?1 12 8 x 2 y2 x 2 y2 评注:与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线方程为 2 ? 2 ? ? (λ≠0) ,当 λ>0 时,焦 a b a b x 2 y2 点在 x 轴上;当 λ<0 时,焦点在 y 轴上。与双曲线 2 ? 2 ? 1 共焦点的双曲线为 a b 2 2 y x ? 2 ? 1(a2+k>0,b2-k>0) 。比较上述两种解法可知,引入适当的参数可以提高 2 a ?k b ?k 解题质量, 特别是充分利用含参数方程的几何意义, 可以更准确地理解解析几何的基本思想。 例 2 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半 径为 12 m,上口半径为 13 m,下口半径为 25 m,高 55 m.选择适当的坐标系,求出此双曲线 的方程(精确到 1m). 解:如图 8—17,建立直角坐标系 xOy,使 A 圆的直径 AA′在 x 轴上,圆心与原点重合.这时

∴ 双曲线方程为

x 2 y2 ? ?1 9 4 4 x 2 y2 (2)设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) a b
∴ 双曲线方程为

?a 2 ? b 2 ? 20 ? 则 ? (3 2 ) 2 2 2 ? 2 ?1 ? b ? a2
2 ? ?a ? 12 解之得: ? 2 ? ?b ? 8 x 2 y2 ? ?1 ∴ 双曲线方程为 12 8 x2 y2 ? ? ? (λ≠0) 法二: (1)设双曲线方程为 9 16

上、下口的直径 CC′、BB′平行于 x 轴,且 CC ? =13× 2 (m), BB? =25× 2 (m).设双曲线的方程 为

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)令点 C 的坐标为(13,y) ,则点 B 的坐标为(25,y-55). a2 b2
252 ( y ? 55) 2 132 y 2 ? ? 1 , ? ? 1. 122 b2 122 b 2

因为点 B、C 在双曲线上,所以

(?3) 2 (2 3 ) 2 ? ?? 9 16 1 ∴ ?? 4 x 2 y2 ∴ 双曲线方程为 ? ?1 9 4 4 ?16 ? k ? 0 ? y2 x2 ? ?1 ? (1) 设双曲线方程为 ?4 ? k ? 0 ? ? 16 ? k 4 ? k ? ?



? 252 ( y ? 55) 2 ? ?1 ? 2 ?122 b 解方程组 ? 2 2 ?13 ? y ? 1 ? ?122 b 2

(1)
由方程(2)得 y ?

(2)

5 b (负值舍去).代入方 12

5b ( ? 55) 2 252 程(1)得 ? 12 2 ? 1, 化简得 19b2+275b-18150=0 122 b
x2 y2 ? ? 1. 解方程(3)得 b≈25 (m).所以所求双曲线方程为: 144 625
8

(3)



(3 2 ) 2 22 ? ?1 16 ? k 4?k

变式训练 2:一炮弹在某处爆炸,在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚 2 s. (1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知 A、B 两地相距 800 m,并且此时声速为 340 m/s,求曲线的方程. 解(1)由声速及 A、B 两处听到爆炸声的时间差,可知 A、B 两处与爆炸点的距离的差,因 此爆炸点应位于以 A、B 为焦点的双曲线上. 因为爆炸点离 A 处比离 B 处更远,所以爆炸点应在靠近 B 处的一支上. (2)如图 8—14,建立直角坐标系 xOy,使 A、B 两点在 x 轴上,并且点 O 与线段 AB 的中点重合. 设爆炸点 P 的坐标为(x,y) ,则 PA ? PB ? 340? 2 ? 680 , 即 2a=680,a=340.又 AB ? 800 , ∴2c=800,c=400,b2=c2-a2=44400.

?b ? a ? 3, ? 2 ? 2a ? 1, ? (1)解:依题意有: ? c ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ? 解得a 2 ? 1, b 2 ? 3.
y2 ? 1. 可得双曲线方程为 x ? 3
2

x2 y2 ? ?1 ∵ PA ? PB ? 680 ? 0, ∴x>0.所求双曲线的方程为: 115600 44400
(x>0).
1 例 3. ?ABC 中,固定底边 BC,让顶点 A 移动,已知 BC ? 4 ,且 sin C ? sin B ? sin A ,求顶 2

(2)解:设

M ( x0 , y0 ),由双曲线的对称性 , 可得N (? x0 ,? y0 ).
设P( x P , y P ), 则k PM ? k PN ?
2 又x0 ? 2 2 y P ? y0 y P ? y0 y P ? y0 ? ? 2 . 2 x P ? x0 x P ? x0 x P ? x0

点 A 的轨迹方程. 解:取 BC 的中点 O 为原点,BC 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,因为 BC ? 4 ,所以 B( ? 2,0 ), c ( 2,0) .利用正弦定理,从条件得 c ? b ? ? 4 ? 2 ,即 AB ? AC ? 2 .由双曲线定 义知,点 A 的轨迹是 B、C 为焦点,焦距为 4,实轴长为 2,虚轴长为 2 3 的双曲线右支,
y2 点(1,0)除外,即轨迹方程为 x ? ? 1 ( x ? 1 ). 3
2

1 2

2 y0 ? 1, 3 2 2 所以y 0 ? 3 x0 ? 3, 2 2 同理y P ? 3x P ? 3,

所以 k PM ? k PN

2 2 3x P ? 3 ? 3x0 ?3 ? ? 3. 2 2 x P ? x0

变式训练 3:已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 3x ,两条 a2 b2

例 4. 设双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1、A2,垂直于 x 轴的直线 m 与双曲 2

准线的距离为 l. (1)求双曲线的方程; (2)直线 l 过坐标原点 O 且和双曲线交于两点 M、N,点 P 为双曲线上异于 M、N 的一点, 且直线 PM,PN 的斜率均存在,求 kPM· kPN 的值.

线 C 交于不同的两点 P、Q。 (1)若直线 m 与 x 轴正半轴的交点为 T,且 A1 P ? A2Q ? 1 ,求点 T 的坐标; (2)求直线 A1P 与直线 A2Q 的交点 M 的轨迹 E 的方程; (3)过点 F(1,0)作直线 l 与(Ⅱ)中的轨迹 E 交于不同的两点 A、B,设 FA ? ? FB ,

9

若 ? ?[?2,?1],求 | TA ? TB | (T 为(Ⅰ)中的点)的取值范围。 解: (1)由题,得 A1 (? 2 ,0), A2 ( 2 ,0) ,设 P( x0 , y0 ), Q( x0 ,? y0 ) 则 A1 P ? ( x0 ? 2 , y0 ), A2 Q ? ( x0 ? 2 ,? y0 ). 由 A1 P ? A2 Q ? 1 ? x ? y ? 2 ? 1,即x ? y ? 3.
2 0 2 0 2 0 2 0

x2 ,代入 ? y 2 ? 1 中,得 故可设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1 2

(k 2 ? 2) y 2 ? 4ky ? 2 ? 0.
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), y1 ? 0且y 2 ? 0

…………①

又 P( x0 , y0 ) 在双曲线上,则 联立①、②,解得

x 2 ? y0 ? 1. 2

2 0

则由根与系数的关系,得 y1 ? y 2 ? ? 22k k ?2

……⑤

…………②

y1 y 2 ? ?

x0 ? ?2

2 . k2 ? 2

……⑥

…………2 分

由题意, x0 ? 0, ? x0 ? 2. ∴点 T 的坐标为(2,0) …………3 分 (2)设直线 A1P 与直线 A2Q 的交点 M 的坐标为(x,y) 由 A1、P、M 三点共线,得

∵ FA ? ? FB ,∴有 y1 ? ?,且? ? 0.
y2

将⑤式平方除以⑥式,得

( x0 ? 2 ) y ? y0 ( x ? 2 )
由 A2、Q、M 三点共线,得

…………③ …………1 分

y1 y 2 4k 2 1 4k 2 ? ?2?? 2 ??? ?2?? 2 y2 y2 ? k ?2 k ?2
由 ? ? [?2,?1] ? ?

…………1 分

( x0 ? 2 ) y ? ? y0 ( x ? 2 )
联立③、④,解得 x0 ?

5 1 1 ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? 2 ? 0 2 ? ?
…………1 分

…………④ …………1 分

2 , y0 ? x

2y . x

…………1 分

1 4k 2 2 2 ?? ?? 2 ? 0 ? k2 ? ? 0 ? k2 ? 2 7 7. k ?2

∵ P( x0 , y0 ) 在双曲线上,
2 ( )2 ∴ x ? ( 2 y ) 2 ? 1. 2 x

∵TA ? ( x1 ? 2, y1 ),TB ? ( x2 ? 2, y2 ),?TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ). 又 y1 ? y 2 ? ?

2k 4(k 2 ? 1) , ? x ? x ? 4 ? k ( y ? y ) ? 2 ? ? . 1 2 1 2 k2 ? 2 k2 ? 2

∴轨迹 E 的方程为

x ? y 2 ? 1 ( x ? 0, y ? 0). …………1 分 2

2

故| TA ? TB |2 ? ( x1 ? x2 ? 4) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

(3)容易验证直线 l 的斜率不为 0。

15(k 2 ? 1) 2 4k 2 16(k 2 ? 2) 2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 ? ? 2 ? (k 2 ? 2) 2 (k ? 2) 2 (k 2 ? 2) 2

10

? 16 ?
令t ?

28 8 ? 2 2 k ? 2 (k ? 2) 2
2

x2 y2 ? ? 1。 所以双曲线 C 的方程为 9 12


1 2 .? 0 ? k 2 ? 7 k ?2
2 2

7 1 1 7 1 ? 2 ? ,即 t ? [ , ]. 16 k ? 2 2 16 2 7 4
2

(2)由双曲线 C 的方程可得 A1 ?? 3,0?, A2 ?3,0?, 又P?6,6? 所以△A1PA2 的重点 G(2,2) 设直线 l 的方程为 y ? k ?x ? 2? ? 2 代入 C 的方程,整理得

∴| TA ? TB | ? f (t ) ? 8t ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) ?

17 . 2

而 t ?[

7 1 169 , ] , ∴ f (t ) ? [4, ]. 16 2 32

又设 M ? x1 , y1 ?, N ? x 2 , y 2 ?, Q ? x 0 , y 0 ?

?4 ? 3k ?x
2

2

? 12 k ?k ? 1?x ? 12 k 2 ? 2k ? 4 ? 0

?

?

13 2 ∴| TA ? TB |? [2, ]. 8
变式训练 4:)已知中心在原点,左、右顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率为

x0 ? k PA2

21 的双曲线 C 经 3

x1 ? x 2 6k ?k ? 1? 8?k ? 1? ? ; y 0 ? k ?x0 ? 2? ? 2 ? 2 . 2 2 3k ? 4 3k ? 4 y0 8?1 ? k ? ? 2, k QA2 ? ? 2 . x0 ? 3 3k ? 6k ? 12

③ ③ ②

过点 P(6,6) ,动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G 与双曲线 C 交于不同两点 M、N,Q 为线段 MN 的中点 (1)求双曲线 C 的标准方程 (2)当直线 l 的斜率为何值时, QA2 ? PA2 ? 0 。 本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系,以及直线与双曲线的位置关系。 解(1)设双曲线 C 的方程为

? QA2 ? PA2 ? 0,? k PA2 ? k QA2 ? ?1,?
整理得 3k ? 10k ? 4 ? 0
2

16?1 ? k ? ? ?1 3k 2 ? 6k ? 12

解得 k ?

5 ? 13 3

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? a2 b2

由③,可得 ?

2 ? ?4 ? 3k ? 0 ?? ? 48 ? 5k 2 ? 8k ? 16 ? 0 ?

④ ③ ②

?

?

21 7 a2 ? b2 7 ,? e 2 ? ,即 ? , 3 3 3 a2 2 b 4 ? 2 ? , ① 3 a ?e ?
又 P(6,6)在双曲线 C 上,?
2 2

解得 ?

4 6?4 4 6 ?4 2 3 ?k? , 且k ? ? 5 5 3 5 ? 13 3

⑤ ③ ②

由④、⑤,得 k ? ② ② 小结归纳

36 36 ? ?1 a2 b2

由①、②解得 a ? 9, b ? 12.
11

1.复习双曲线要与椭圆进行类比,尤其要注意它们之间的区别,如 a、b、c、e 的关系. 2. 双曲线的渐近线的探求是一个热点. ①已知双曲线方程求渐近线方程; ②求已知渐近线方

程的双曲线方程. 3. 求双曲线的方程, 经常要列方程组, 因此, 方程思想贯穿解析几何的始终, 要注意定型 (确 定曲线形状) 、定位(曲线的位置) 、定量(曲条件求参数) . 4.求双曲线的方程的常用方法: (1) 定义法. (2) 待定系数法.涉及到直线与圆锥曲线的交点问题,经常是“设而不求”. 5.对于直线与双曲线的位置关系,要注意“数形转化”“数形结合”,既可以转化为方程组的解 的个数来确定,又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较,从“形”的角度来判断.

特别地,当? ? iii) S△AOB=

? 时,AB 为抛物线的通径,且 AB = 2



(表示成 P 与 θ 的关系式) . .

1 1 iv) 为定值,且等于 ? | AF | | BF |

典型例题 例 1. 已知抛物线顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 A(?3, n) 到焦点的距离为 5,求 抛物线的方程和 n 的值. 解:设抛物线方程为 y 2 ? ?2 px( p ? 0) ,则焦点是 F (? ,0) ∵点 A(-3,n)在抛物线上,且| AF |=5
?n 2 ? 6P 故? 解得 P=4, n ? ?2 6 ? p 2 2 ? (?3 ? ) ? n ? 5 2 ?
p 2

第 3 课时
基础过关

抛 物 线

1.抛物线定义:平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线, 叫抛物线的焦点, 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外,否则,轨迹将退化为一 条直线). 2.抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程 ① y 2 ? 2 px ,焦点为 ② y 2 ? ?2 px ,焦点为 ③ x 2 ? 2 py ,焦点为 ④ x 2 ? ?2 py ,焦点为 ,准线为 ,准线为 ,准线为 ,准线为 .

故所求抛物线方程为 y 2 ? ?8x, n ? ?2 6 . . . 变式训练 1:求顶点在原点,对称轴是 x 轴,并且顶点与焦点的距离等于 6 的抛物线方程. 解:因为对称轴是 x 轴,可设抛物线方程为 y 2 ? 2 px 或 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 故抛物线方程为 y 2 ? 24 x 或 y 2 ? ?24x 例 2. 已知抛物线 C: y 2 ? 4 x 的焦点为 F,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B. (1) 若 AB ?
16 ,求直线 l 的方程. 3 p ? 6 ,∴p=12 2



3.抛物线的几何性质:对 y 2 ? 2 px( p ? 0) 进行讨论. ① 点的范围: 、 ② 对称性:抛物线关于 ③ 离心率 e ? . . 轴对称. .

(2) 求 AB 的最小值. 解:(1)解法一: 设直线 l 的方程为: x ? my ? 1 ? 0 . 代入 y 2 ? 4 x 整理得, y 2 ? 4my ? 4 ? 0

④ 焦半径公式:设 F 是抛物线的焦点, P( x o , y o ) 是抛物线上一点,则 PF ? ⑤ 焦点弦长公式:设 AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦) i) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB = , y1 y 2

ii) 若 AB 所在直线的倾斜角为? ( ? ? 0) 则 AB = .
12

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

则 y1, y2 是上述关于 y 的方程的两个不同实根,所以 y1 ? y2 ? ?4m 根据抛物线的定义知:| AB |= x1 ? x 2 ? 2 = (1 ? my1 ) ? (1 ? my2 ) ? 2 ? 4(m 2 ? 1) 若 | AB |?
16 16 3 ,则 4(m2 ? 1) ? , m ? ? 3 3 3

过 P 作 PQ 垂直于准线于 Q 点,由抛物线定义得|PQ|=| PF |,∴| PF |+| PA |=| PA |+| PQ | 要使| PA |+| PQ |最小,A、P、Q 三点必共线,即 AQ 垂直于准线,AQ 与抛物线的交点为 P 点 从而|PA|+|PF|的最小值为 3 ? ? 此时 P 的坐标为(2,2) 变式训练 3:一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分, 它的方程是 x2 ? 2 y (0 ? y ? 20) ,在杯内放 入一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径 r 的取值范围是 。 解: 0 ? r ? 1 例 4. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),两点在抛物线 y=2x2 上,l 是 AB 的垂直平分线. (1)当且仅当 x1+x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论? (2)当直线 l 的斜率为 2 时,求在 y 轴上的截距的取值范围. 解:(1)F∈l ? |FA|=|FB| ? A、B 两点到抛物线的准线的距离相等. ∵抛物线的准线是 x 轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意 y1,y2 不同时为 0.∴上述条件等价于
2 y1=y2 ? x12 ? x2 ? (x1+x2)(x1-x2)=0

1 2

7 2

即直线 l 有两条,其方程分别为:
x? 3 3 y ? 1 ? 0, x ? y ?1 ? 0 3 3
2P 3 (θ 为 AB 的倾斜角)易知 sinθ=± , sin 2 ? 2

解法二:由抛物线的焦点弦长公式 |AB|=

即直线 AB 的斜率 k=tanθ=± 3 , 故所求直线方程为:
x?

3 3 y ?1 ? 0 或 x ? y ?1 ? 0 . 3 3

∵x1≠x2 ∴x1+x2=0 即当且仅当 x1+x2=0 时,l 过抛物线的焦点 F. (2)设 l 在 y 轴上的截距为 b,依题意得 l 的方程为 y=2x+b,过点 A、B 的直线方程可写为 y =- x+m
1 2

(2) 由(1)知,| AB |? 4(m2 ? 1) ? 4 当且仅当 m ? 0 时,|AB|有最小值 4. 解法二:由(1)知|AB|=
2P 4 = 2 sin 2 ? sin ?

所以 x1、x2 满足方程:2x2+ x-m=0 且 x1+x2=- ,由于 A、B 为抛物线上不同的两点,所以△= +8m>0,即 m>- 设 AB 之中点为 N(x0,y0),则 x0= y0=- x0+m= 由 N∈l 得: 于是 b=
1 2 1 +m 16
x1 ? x 2 1 ?? 2 8

1 2

1 4

1 4

1 32

∴ |AB|min=4 (此时 sinθ=1,θ=90° ) 变式训练 2:过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标 之和等于 5,则这样的直线 ( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无数条 D.不存在 解:B 例 3. 若 A(3,2),F 为抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,P 为抛物线上任意一点,求 PF ? PA 的最小值 及取得最小值时的 P 的坐标. 解:抛物线 y 2 ? 2 x 的准线方程为 x ? ?
1 2

1 1 +m=- +b 16 4

5 5 1 9 +m> - = 32 32 16 16
9 ,+ ? ) 32

即 l 在 y 轴上截距的取值范围是(

变式训练 4:正方形 ABCD 中,一条边 AB 在直线 y=x+4 上,另外两顶点 C、D 在抛物线
13

y2=x 上,求正方形的面积. 设 C、D 的坐标分别为(y12,y1),(y22,y2)( y1> y2),则直线 CD 的斜率为 1. ∴
y1 ? y2 y1 ? y2
2 2



1 =1,即 y1+y2=1 y1 ? y 2



B(x2,y2),直线 AB 的斜率为 k,则:|AB|=————————或:—————————. 利用这个公式求弦长时,要注意结合韦达定理. 当弦过圆锥曲线的焦点时,可用焦半径进行运算. 3.中点弦问题: 设 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆
x2 y2 ? ? 1 上不同的两点,且 x1≠x2,x1+x2≠0,M(x0,y0)为 a2 b2

又| CD |= 1 ? k 2 | x1 ? x2 | = 2 | y1 ? y 2 | = 2 (y1-y2) | BC |=
| y12 ? y1 ? 4 | 2 ? y12 ? y1 ? 4 2

(y12-y1+4 恒正)
2 y12 ? y2 ?4

? x12 y12 ? ?1 ? ? a 2 b2 y ?y y ?y AB 的中点,则 ? 两式相减可得 1 2 ? 1 2 2 2 x1? x 2 x1? x 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? a 2 b2
即 . 对于双曲线、抛物线,可得类似的结论. 典型例题

??

b2 a2

由| CD |=| BC |,有 2 (y1-y2)= 解①、② 得 y1=2 或 y1=3

2



当 y1=2 时,有| BC |=3 2 ,此时 SABCD=18 当 y1=3 时,有| BC |=5 2 ,此时 SABCD=50 ∴ 正方形的面积为 18 或 50. 小结归纳 1.求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向,以便准确设出方程,然后用待定系数法. 2.利用好抛物线定义,进行求线段和的最小值问题的转化. 3. 涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理, 能避免求交点坐标的复杂运算. 4、解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,应注意焦点弦的几何性质. 基础过关

例 1. 直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 相交于 A、B 两点. (1) 当 a 为何值时,A、B 两点在双曲线的同一支上?当 a 为何值时,A、B 两点分别在双曲 线的两支上? (2) 当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过原点? 解: (1) 联立 ?
? ? y ? ax ? 1 2 2 ? (3-a )x -2ax-2=0 ① 2 2 ? 3 x ? y ? 1 ?
消去 y

显然 a2≠3,否则方程①只有一解,于是直线与双曲线至多一个交点. 若交点 A、B 在双曲线同支上,则方程①满足:
?? ? 4a 2 ? 8(3 ? a 2 ) ? 0 ? ?? 6 ? a ? 6 ? ?? ? 2 ?0 ? ? 2 ?a ? ? 3或a ? 3 ?a ? 3

第 4 课时

直线与圆锥曲线的位置关系

1. 直线与圆锥曲线的位置关系, 常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立, 由所得方程组 的解的个数来决定,一般地,消元后所得一元二次方程的判别式记为△,△>0 时,有两个公 共点,△=0 时,有一个公共点,△<0 时,没有公共点.但当直线方程与曲线方程联立的方 程组只有一组解(即直线与曲线只有一个交点)时,直线与曲线未必相切,在判定此类情形 时,应注意数形结合. (对于双曲线,重点注意与渐近线平行的直线,对于抛物线,重点注意 与对称轴平行的直线) 2.直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦.设弦 AB 端点的坐标为 A(x1,y1),
14

? a∈(- 6 ,- 3 )∪( 3 , 6 )

若 A、B 分别在双曲线的两支上,则有:
?4a 2 ? 8(3 ? a 2 ) ? 0 ? ? a∈(- 3 , 3 ) ? 2 ?0 ? 2 ?a ? 3

(2) 若以 AB 为直径的圆过点 O,则 OA⊥OB,设 A(x1,y1),B(x2,y2)由于 x1+x2= x1x2=
2a . a2 ? 3

2a , 3 ? a2

据对称性知 x1 ? x2 ,所以

y1 ? y2 是中点弦 P1P2 所在直线的斜率,由 P1 、 P2 在双曲线上,则 x1 ? x2

2 2 2 2 有关系 2x1 ? y1 ? 2,2x2 ? y2 ? 2 .两式相减是:

∴y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a(x1+x2)+a2x1x2+1
2 2a =a · 2 +a· 2 +1=1 a ?3 3?a
2

2( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0

∵OA⊥OB ∴x1x2+y1y2=0 ∴

2 +1 ? a=± 1 a ?3
2

∴ 2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 ) ? 0 ∴

y1 ? y2 ?4 x1 ? x2

此时△>0,符合要求. 变式训练1:已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值.
? y ? (a ? 1) x ? 1 解:联立方程为 ? 2 ? y ? ax

所求中点弦所在直线为 y ? 1 ? 4( x ? 2) ,即 4 x ? y ? 7 ? 0 . (2)可假定直线 l 存在,而求出 l 的方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 方法同(1),联立方程 ? ?
?2 x 2 ? y 2 ? 2 ,消去 y,得 2 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ?

(1) 当 a=0 时,此时方程组恰有一组解 ? (2) 当 a≠0 时,消去 x 得 ①若 ②若
a ?1 2 y ? y ?1 ? 0 a

? x ?1 ? y?0

然而方程的判别式 ? ? (?4) 2 ? 4 ? 2 ? 3 ? ?8 ? 0 ,无实根,因此直线 l 与双曲线无交点,这一矛 盾说明了满足条件的直线 l 不存在.
x2 y 2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为 36 9

? x ? ?1 a ?1 =0,即 a=-1 方程变为一次方程,-y-1=0,方程组恰有一组解 ? a ? y ? ?1
a ?1 ≠0,即 a≠-1,令△=0 a 4(a ? 1) 4 ? 0 ,解得 a=- a 5

变式训练 2:若椭圆 A.2
1 C. 3

( )

B.-2 D.-
1 2

得 1+

此时直线与曲线相切,恰有一个公共点,综上所述知,当 a=0,-1,- 时,直线与曲线 只有一个公共点. 例 2. 已知双曲线方程 2x -y =2. (1) 求以 A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程; (2) 过点 B(1,1)能否作直线 l, 使 l 与所给双曲线交于 Q1、 Q2 两点, 且点 B 是弦 Q1Q2 的中点? 这样的直线 l 如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由. 解:(1)即设 A( 2,1) 的中点弦两端点为 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,则有关系 x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ? 2 .又
2 2

4 5

解:D 例 3. 在抛物线 y2=4x 上恒有两点关于直线 y=kx+3 对称,求 k 的取值范围. 解法一:设 B 、 C 关于直线 y ? kx ? 3 对称,直线 BC 方程为 x ? ?ky ? m ,代入 y 2 ? 4 x 得,
C ( x2 , y2 ) , y 2 ? 4ky ? 4m ? 0 , 设 B ( x1 , y1 ) 、 则 y0 ? BC 中点 M ( x 0 , y 0 ) ,

y1 ? y2 ? ?2k , x 0 ? 2k 2 ? m 2

∵点 M ( x0 , y0 ) 在直线 l 上,∴ ? 2k ? k (2k 2 ? m) ? 3 ∴m ? ?
2k 3 ? 2k ? 3 k 3 ? 2k ? 3 (k ? 1)(k 2 ? k ? 3) ,代入 ? ? 16k 2 ? 16m ? 0 ,得 ? 0 ,即 ?0 k k k

解得 ?1 ? k ? 0
15

解法二:设 B ( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) 关于 l 对称,中点 M ( x0 , y0 ) ,则 ? ? 相减得: ( y2 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2 )
1 ?2k ? 3 ∴ 2 y0 ? (? ) ? 4, y0 ? ?2k ,则 x0 ? k k
2 ∵ M ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 4 x 内部,∴ y0 ? 4 x0

2 ? y1 ? 4 x1 2 ? ? y2 ? 4 x2

∴ y=0 或 y=

2at a 2t 2 ? 1 2at a 2t 2 ? 1

∴ 点 B 的纵坐标为 y B ?
2a 2 t (t ? 0, a ? 1) a 2t 2 ? 1

∴ S(t)=S△ABC=2S△AOB=|OA|· yB =

(2) 当 a=2 时,S(t)=

8t 4t 2 ? 1



8 4t ? 1 t

化简而得

k 3 ? 2k ? 3 (k ? 1)(k 2 ? k ? 3) ? 0 ,即 ? 0 ,解得 ?1 ? k ? 0 . k k

∵ t∈[ ,1],∴ 4t+ ≥2 4t ? =4 当且仅当 4t= ,t= 时,上式等号成立. . ∴ S(t)=
8 1 4t ? t
1 t 1 2

1 2

1 t

1 t

变式训练 3:设抛物线 x 2 ? 12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A、 B 两点,又知点 P 恰为 AB 的中点,则 AF ? BF ? 解:8 例 4. 已知椭圆
x2 a2

≤ =2

8 4

且 a>1), 向量 m =(1, t) (t >0), 过点 A(-a, 0)且以 m 为 ? y 2 =1(a 为常数,

即 S(t)的最大值 S(t)max=2 变式训练 4:设椭圆 C:

方向向量的直线与椭圆交于点 B,直线 BO 交椭圆于点 C(O 为坐标原点) . (1) 求 t 表示△ABC 的面积 S( t ); (2) 若 a=2,t∈[ , 1],求 S( t )的最大值.
y

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,上顶点为 A,过点 A 作 a2 b2 8 PQ 5

1 2

垂直于 AF 的直线交椭圆 C 于另外一点 P,交 x 轴正半轴于点 Q, 且 AP ? (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l:

B A O C x

x ? 3 y ? 5 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程.
解:⑴设 Q(x0,0) ,由 F(-c,0)
王新敞
奎屯 新疆

y A

A(0,b)知 FA ? (c, b), AQ ? ( x0 ,?b) 解:(1) 直线 AB 的方程为:y=t(x+a),
? y ? t ( x ? a) ? 由? x2 2 ? 2 ? y ?1 ? a

P F O

得 (a 2 t 2 ? 1) y 2 ? 2aty ? 0

? FA ? AQ,? cx0 ? b 2 ? 0, x0 ?

b2 …2 分 c

16

8b 2 5 8 , y1 ? b …… 设 P( x1 , y1 ),由AP ? PQ ,得 x1 ? 13 c 13 5

A. C.

x2 y2 ? ?1 4 3 x2 ? y2 ? 1 4

B. D. x 2 ?

x2 y2 ? ?1 3 4 y2 ?1 4

8b 2 2 5 ) ( b) 2 13c ? 13 ? 1 …… 因为点 P 在椭圆上,所以 a2 b2 (
1 整理得 2b2=3ac,即 2(a2-c2)=3ac, 2e2 ? 3e ? 2 ? 0 ,故椭圆的离心率 e= …… 2 ⑵由⑴知 2b 2 ? 3ac,得

2. AB 是抛物线 y2=2x 的一条焦点弦,|AB|=4,则 AB 中点 C 的横坐标是 ( ) A.2 C.
3 2

B. D.
5 2

1 2

b2 3 ? a; c 2



c 1 1 ? ,得c ? a , a 2 2

3. 若双曲线 ( ) A. 2 C.4

x2 y2 2 ? ? 1 的一条准线与抛物线 y =8x 的准线重合,则双曲线的离心率为 8 b2

3 1 于是 F(- a,0) , Q ( a ,0 ) 2 2
△AQF 的外接圆圆心为(

B. 2 2 D. 4 2
1 2

1 1 a,0) ,半径 r= |FQ|=a……… 2 2

4. 已知抛物线 y=2x2 上两点 A(x1,y1), B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,且 x1x2= , 那么 m 的值等于( ) A.
5 2 3 2

1 | a ?5| 所以 2 ? a ,解得 a=2,∴c=1,b= 3 , 2
所求椭圆方程为 小结归纳 1. 判断直线与圆锥曲线的位置关系时, 注意数形结合; 用判别式的方法时, 若所得方程二次 项的系数有参数,则需考虑二次项系数为零的情况. 2.涉及中点弦的问题有两种常用方法:一是“设而不求”的方法,利用端点在曲线上,坐标满 足方程,作差构造出中点坐标和斜率的关系,它能简化计算;二是利用韦达定理及中点坐标 公式.对于存在性问题,还需用判别式进一步检验. 3.对称问题,要注意两点:垂直和中点.

B. D.3

C. 2 5.已知双曲线 x2- 轴的距离为 A. C.
4 3

x y ? ?1 4 3

2

2

y2 =1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF 1 ? MF 2 =0,则点 M 到 x 2

( ) B.
5 3

2 3 3

D. 3
x2 a2 y2 b2

6.点 P(-3,1)在椭圆

?

? 1 (a>b>0)的左准线上,过点 P 且方向为 a =(2,-5)的光线,

圆锥曲线单元测试题
一、选择题 1. 中心在原点,准线方程为 x=± 4,离心率为 的椭圆方程是
17
1 2

经直线 y=-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为 ( ) A.
3 3

( )

B.

1 3

2 C. 2

1 D. 2

12. 双曲线 3x2-4y2-12x+8y-4=0 按向量 m 平移后的双曲线方程为 量m = .

x2 y2 则平移向 ? ?1 , 4 3

7. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上有 n 个不同的点:P1,P2,…,Pn,椭圆的右焦点为 F,数列{|PnF|} 4 3

1 是公差大于 的等差数列,则 n 的最大值是 100

( )

13.P 在以 F1、F2 为焦点的双曲线
—————————.

x2 y 2 ? ? 1 上运动,则△F1F2P 的重心 G 的轨迹方程是 16 9

A.198 C.200

B.199 D.201
2 2

x y 8. 过点(4, 0)的直线与双曲线 ? ? 1 的右支交于 A、B 两点,则直线 AB 的斜率 k 的取 4 12

14.椭圆

x2 y2 ? ? 1 中,以 M(-1,2)为中点的弦所在直线的方程为 16 9

.

15.以下四个关于圆锥曲线的命题中: ① 设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,若 PA ? PB ? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线;

值范围是( ) A.| k |≥1 C.| k |≤ 3 B.| k | > 3 D.| k | < 1

② 过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB、O 为坐标原点,若 OP ? ( OA ? OB ),则动点 P
1 9. 已知 θ 为三角形的一个内角,且 sinθ+cosθ= ,则方程 x2sinθ-y2cosθ=1 表示 2

1 2

的轨迹为椭圆; ③ 方程 2x2-5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④ 双曲线
x2 y2 x2 ? ?1与 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. 25 9 35

( ) A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 y 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线 10.下列图中的多边形均为正多边形,M、N 是所在边上的中点,双曲线均以图中的 F1、F2 为焦点,设图①、②、③中的双曲线离心率分别为 e1、e2、e3,则( ) M F1 ① N F2 F1 ② M N F2 M F1 ③ N F2

其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号) . 三、解答题 16.已知双曲线的离心率为 2,它的两个焦点为 F1、F2,P 为双曲线上的一点,且∠F1PF2= 60° ,△PF1F2 的面积为12 3 ,求双曲线的方程.

17.已知动圆 C 与定圆 x2+y2=1 内切,与直线 x=3 相切. (1) 求动圆圆心 C 的轨迹方程; (2) 若 Q 是上述轨迹上一点,求 Q 到点 P(m,0)距离的最小值.

A.e1 > e2 > e3 B.e1 < e2 < e3 C.e1=e2 < e3 D.e1=e2 > e3 二、填空题 11.抛物线 y=x2 上到直线 2x-y=4 的距离最近的点是

.

18

18.如图,O 为坐标原点,直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a 和 b ,且交抛物线
y ? 2 px( p ? 0) 于 M ( x1, y1) 、 N ( x2 , y2 ) 两点.
2

(1)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 P(0,2)的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 E、F,求 PE ? PF 的取值范围.

(1) 写出直线 l 的截距式方程; (2) 证明:
1 1 1 ? ? ; y1 y2 b

(3) 当 a ? 2 p 时,求 ?MON 的大小. y l M a N b x

21.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c, 0)、F2(c, 0),Q 是椭圆外的 a 2 b2

动点, 满足| F1Q |? 2a , 点 P 是线段 F1Q 与椭圆的交点, 点 T 在线段 F2Q 上, 并且满足 PT ? TF2 =0, | TF2 | ≠0.

O

(1) 设 x 为点 P 的横坐标,证明| F1 P |? a ? x ; (2) 求点 T 的轨迹 C 的方程; (3) 试问: 在点 T 的轨迹 C 上, 是否存在点 M, 使△F1MF2 的面积 S=b2 ?若存在, 求∠F1MF2 的正切值,若不存在,请说明理由. y Q P

c a

19.设 x,y∈R, i , j 为直角坐标平面内 x 轴,y 轴正方向上的单位向量,若 a =x i +(y+ 2) j , b =x i +(y-2) j ,且| a |+| b |=8 (1) 求动点 M(x,y)的轨迹 C 的方程. (2) 设曲线 C 上两点 A、B,满足(1)直线 AB 过点(0,3) ,(2) OP ? OA ? OB 且 OAPB 为矩 形,求直线 AB 方程.. F1

O

F2

x

圆锥曲线单元测试题答案
1.B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. A 7. C 8. B 9. B 10. D 11. (1,1) 12. (-2,-1) 13. 20.动圆 M 过定点 A(- 2 ,0),且与定圆 A? :(x- 2 )2+y2=12 相切.
19

9 x2 ? y 2 ? 1( y ? 0) 16

14. 9x-32y+73=0

15. ③④

16. 解:以焦点 F1、F2 所在直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系,如

右图所示: 设双曲线方程为:
x2 y2 ? ?1 a2 b2

所以

1 1 y ?y 1 ? ? 1 2 ? y1 y2 y1 y2 b y1 y , k2 ? 2 . x1 x2

(3) 设直线 OM,ON 的斜率分别为 k1,k2 y P 60° F2 x 则 k1 ?

依题意有:
c ? ?e ? a ? 2 ? 1 ? ? ?S ?PF 1F 2 ? | PF 1| ? | PF 2| ? sin 60 ? 12 3 2 ? ?| PF 1| ? | PF 2|? 2a ? ?

F1

0

当 a=2p 时,知 y1y2=-4p2,x1x2=4p2 所以,k1k2=-1,即 ? MON=90° . 19.( 1 ) 解:令 M(x,y),F1(0,-2),F2(0,2) 则 a = F1 M , b = F2 M ,即 | a |+| b |=| F1 M |+| F2 M |,即| F1 M |+| F2 M |=8 又∵ F1 F2 =4=2c,∴ c=2,a=4,b2=12 所求轨迹方程为
y2 x2 ? ?1 16 12
? y ? kx ? 3 ? 2 2 ? (3k +4)x +18kx-21=0 x2 ? ?1 ? ? 16 12

解之得:a2=4,c2=16,b2=12 故所求双曲线方程为:
x2 y2 ? ?1 4 12

17.解:(1) 设 C (a, b), 则 R ? 3 ? a

? ⊙C 与⊙O 内切,?

a 2 ? b2 ? 1 ? 3 ? a

( 2) 解: 由条件(2)可知 OAB 不共线, 故直线 AB 的斜率存在, 设 AB 方程为 y=kx+3, A(x1, y1),B(x2,y2),则 ? y 2 x1+x2=-
18k 3k 2 ? 4

? b2 ? ?4a ? 4 即轨迹方程为 y 2 ? ?4 x ? 4
2 2 (2) 设 Q ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? ?4x0 ?4
2 ? PQ ? ( x0 ? m) 2 ? y0 ? ( x0 ? m) 2 ? 4 x0 ? 4

x1· x2=

?21 3k 2 ? 4

y1· y2=(kx1+3) (kx2+3)=k2 x1x2+3k(x1+x2)+9 =
3b ? 48k 2 3k 2 ? 4
OA ? OB =0

?

?x0 ? (m ? 2)?

2

? 4m

当 m ? 2 ? 1 ,即 m ? ?1 时
PQ min ?

?1 ? (m ? 2)?2 ? 4m ?

∵ OAPB 为矩形,∴ OA⊥OB
m 2 ? 2m ? 1 ? m ? 1

当 m ? 2 ? 1,即 m ? ?1 时, ∴ x1x2+y1y2=0 得 k=±
5 4
?

PQ min ? 2 ? m
x y 18.解:(1) ? ? 1 a b

y
P(0, 2) E
?

所求直线方程为 y=±

(2) 由直线方程及抛物线方程可得: by2+2pay-2pab=0 故
y1 ? y 2 ? ?2 pa , y1 y 2 ? ?2 pa b

5 x+3. 4

M
?

A(- 2 ,0) A? ( 2 ,0) F

x

20.解:(1)A? ( 2 ,0),依题意有|MA? |+ ? =2 3 |+|MA| ? |MA?

20

=2 3 >2 2 ∴点 M 的轨迹是以 A? 、A 为焦点,2 3 为长轴上的椭圆,∵a= 3 ,c= 2 此点 M 的轨迹方程为
x2 ? y2 ? 1 3 x2 消去 x 得: (k2+3)y2-4k2y+4k2-3=0 ? y 2 ? 1, 3
2

PF = PE ·PF cos0° ∴ PE ·

∴b2=1.因

=|PE|· |PF|=t1t2=

9 1 ? 2 sin 2 ?

1 ? 9? PF ∈ ?3, ? 由 <sin2 ? ≤1 得: PE · 2

?

2?

(2) 解法一: 设 l 的方程为 x=k(y-2)代入
4 2 2

由△>0 得 16k -(4k -3)(k +3)>0 ? 0≤k <1 设 E(x1,y1),F(x2,y2), 则 y1+y2=
4k ? 3 4k ,y1y2= 2 k ?3 k2 ?3
2 2

21.(1) 证法一:设点 P 的坐标为(x,y) 由 P(x,y)在椭圆上,得 y
| F1 P | = ( x ? c)2 ? x2
Q P O F1 F2 T x

又 PE =(x1,y1-2), PF =(x2,y2-2)
PF =x1x2+(y1-2)(y2-2) ∴ PE ·

= ( x ? c) 2 ? b 2 ?
c a

b 2 x a2

2

= (a ? x)2 高考荟萃 2009 年高考题 1.(2009 浙江文)已知椭圆

=k(y1-2)· k (y2-2) +(y1-2)(y2-2) =(1+k2) ? ? =
2

? 4k 2 ? 3 ? 4k 2 ? 2 ? ? 4? 2 2 ? k ?3 ? k ?3 ?

9(k ? 1) 2 ? ? ? 9?1 ? 2 ? k2 ?3 ? k ?3?
2 2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在 a 2 b2
, 则椭圆的离心率是 ( )

P ?2 P B 椭圆上, 且 BF ? x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P . 若A
? 9? PF ∈ ?3, ? ∵0≤k <1 ∴3≤k +3<4 ∴ PE · ? 2?
2 1 世 育 教 纪 网

解法二:设过 P(0,2)的直线 l 的参数方程为
?x ? t cos? (t 为参数,? 为直线 l 的倾角) ? ? y ? 2 ? t sin ?

A.

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

答案:D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查,既体现了几何与向量的交 汇,也体现了数形结合的巧妙应用.

代入

x ? y 2 ? 1 中并整理得: 3

2

OF ,?a ? 2 c ,?e ? 【解析】对于椭圆,因为 AP ? 2 PB ,则 OA ? 2
2

(1+2sin2 ? )t2+12sin ? · t+9=0 2 2 由△=12 sin ? -36(1+2sin2 ? )>0
1 得:sin ? > 2
2

1 2

9 又 t1t2= 1 ? 2 sin 2 ?

2.(2009 山东卷文)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为(
21

).

A. y 2 ? ? 4 x

B. y 2 ? ? 8x

C. y 2 ? 4 x

D. y 2 ? 8x

【答案】A

【解析】 : 抛物线 y 2 ? ax ( a ? 0) 的焦点 F 坐标为 ( ,0) ,则直线l 的方程为 y ? 2( x ? ) ,

a 4

a 4

5.(2009 天津卷文)设双曲线 双曲线的渐近线方程为( ) A y ? ? 2x 【答案】C

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则 a2 b2

它与 y 轴的交点为 A (0, ? ) ,所以△OAF 的面积为 线方程为 y 2 ? ? 8x ,故选 B. 答案:B.

a 2

1 a a | | ?| | ?4 ,解得 a ? ?8 .所以抛物 2 4 2

B y ? ?2 x

C y??

2 x 2

Dy ? ?

1 x 2

【解析】由已知得到 b ? 1, c ? 3, a ? 故渐近线方程为 y ? ?

c 2 ? b 2 ? 2 ,因为双曲线的焦点在 x 轴上,

【命题立意】 :本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积 的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数 a 的符号不定而引发 的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合 二为一.

b 2 x?? x a 2

【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推 理能力。 6.(2009 辽宁卷文)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为

3.(2009 安徽卷文)下列曲线中离心率为

的是

2

(A) ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

(B) ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(C) A.
2

B.
2

C.

D.

( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

【解析】圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等 于半径 2即可. 【答案】B 7. (2009 宁夏海南卷文)已知圆 C1 : ( x ? 1) + ( y ? 1) =1 ,圆 C2 与圆 C1 关于直线
2 2

【解析】依据双曲线 【答案】B

c x y c 6 ? 2 ? 1 的离心率 e ? 可判断得. e ? ? .选 B。 2 a a b a 2

4.(2009 安徽卷文)直线 过点(-1,2)且与直线垂直,则 的方程是 A. C. B. D.

x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆C2 的方程为
(A) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(B) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

3 3 【解析】可得 l 斜率为 ? ? l : y ? 2 ? ? ( x ? 1) 即 3x ? 2 y ? 1 ? 0 ,选 A。 2 2
22

(C) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(D) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

【答案】B

? a ?1 b ?1 ? ?1 ? 0 ? ?a ? 2 ? 2 2 【解析】 设圆 C2 的圆心为 (a, b) , 则依题意, 有? , 解得:? , ?b ? ?2 ? b ? 1 ? ?1 ? a ?1 ?
对称圆的半径不变,为 1,故选 B。. 8.(2009 福建卷文)若双曲线 A. 2 C. B. D. 1

1 | 2 2 a 0)到直线的距离 d ? 为 2 ? 3 ? 1 ,解得 a=1 1 |
【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察 了同学们的运算能力和推理能力。 11.(2009 宁夏海南卷文)已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物 线 C 交于 A,B 两点,若 P ? 2,2 ? 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为 【答案】 y 2 ? 4 x 【解析】设抛物线为 y2=kx,与 y=x 联立方程组,消去 y,得:x2-kx=0, x1 ? x2 =k=2 ×2,故 y 2 ? 4 x . 12.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 。

x2 y 2 ? ? 1? a ? o ? 的离心率为 2,则 a 等于 a 2 32

3

3 2

x2 y 2 c a2 ? 3 解析解析 由 2 ? ? 1可知虚轴b= 3,而离心率e= ? ? 2 ,解得 a=1 a 3 a a
或 a=3,参照选项知而应选 D. 9.(2009 年广东卷文)以点 (2,?1 ) 为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 【答案】 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

.

3 ,两个焦点分别为 F1 和 F2 ,椭圆 G 2

25 2

上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 Ck : x 2 ? y 2 ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的圆心为

【解析】将直线 x ? y ? 6 化为 x ? y ? 6 ? 0 ,圆的半径 r ?

| 2 ?1 ? 6 | 5 ? ,所以圆的方 1?1 2

点 Ak . (1)求椭圆 G 的方程 (2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由.

程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

25 2
2 2 2 2

10.(2009 天津卷文) 若圆 x ? y ? 4 与圆 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0(a ? 0) 的公共弦长为 【解析】 (1)设椭圆 G 的方程为:

2 3 ,则 a=________.
【答案】1 【解析】 由已知, 两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 y ?

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )半焦距为 c; a 2 b2

1 , 利用圆心 (0, a

? 2a ? 12 ? ? a?6 ? 2 2 2 则? c , ?b ? a ? c ? 36 ? 27 ? 9 3 , 解得 ? ? ?c ? 3 3 ? ? 2 ?a

23

x2 y 2 ? ?1 所求椭圆 G 的方程为: 36 9
(2 )点 AK 的坐标为 ? ?K , 2?

? y ? t 2 ? k (x ? t) 联立方程 ? ,整理得: x 2 ? kx ? t (k ? t ) ? 0 2 x ? y ?
即: ( x ? t )[x ? (k ? t )] ? 0 ,解得 x ? t , 或 x ? k ? t

SV AK F1F2

1 1 ? ? F1 F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 2 2

? Q(k ? t , (k ? t ) 2 ) ,而QN ? QP ,? 直线 NQ 斜率为 ?
1 ? l NQ : y ? (k ? t ) 2 ? ? [ x ? (k ? t )] k
, 联

1 k
立 方 程

2 2 (3)若 k ? 0 ,由 6 ? 0 ? 12k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12k f 0 可知点(6,0)在圆 Ck 外,

若 k ? 0 ,由 (?6)2 ? 02 ?12k ? 0 ? 21 ? 5 ?12k f 0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外;

? 不论 K 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G.
13.(2009 浙江文) (本题满分 15 分)已知抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 上一点 A(m, 4) 到

1 ? ? y ? (k ? t ) 2 ? ? [ x ? (k ? t )] ? k 2 ? x ?y ?
整 理 得 :

x2 ?

17 其焦点的距离为 . 4
(I)求 p 与 m 的值; (II) 设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t (t ? 0) , 过 P 的直线交 C 于另一点 Q , 交x 轴 于点 M ,过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N .若 MN 是 C 的切线,求 t 的最 小值.

1 1 x ? (k ? t ) ? (k ? t ) 2 ? 0 k k







kx2 ? x ? (k ? t )[k (k ? t ) ? 1] ? 0
[kx ? k (k ? t ) ? 1][x ? (k ? t )] ? 0 ,解得: x ? ?
k (k ? t ) ? 1 ,或 x ? k ? t k


? N (?

k (k ? t ) ? 1 [k (k ? t ) ? 1]2 , ) k k2
[k (k ? t ) ? 1] 2 (k 2 ? kt ? 1) 2 k2 ? ? k (k ? t ) ? 1 ? t 2 ? kt k (t 2 ? k 2 ? 1) ? ? k k
k ( k ?t ) ?1 x?? k

p 解析(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程: y ? ? ,根据抛物线定义 2
点 A(m,4) 到焦点的距离等于它到准线的距离,即 4 ?

? K NM

p 17 1 ? ,解得 p ? 2 4 2

? 抛物线方程为: x 2 ? y ,将 A(m,4) 代入抛物线方程,解得 m ? ?2
(Ⅱ)由题意知,过点 P(t , t ) 的直线 PQ 斜率存在且不为 0,设其为 k 。
2 则 l PQ : y ? t ? k ( x ? t ) ,当 y ? 0, x ?
2

而抛物线在点 N 处切线斜率: k 切 ? y ?

?

? 2k ( k ? t ) ? 2 k

? t 2 ? kt , k

则M (

? t 2 ? kt ,0) 。 k

? MN 是 抛 物 线 的 切 线 , ?
k 2 ? tk ? 1 ? 2t 2 ? 0

(k 2 ? kt ? 1) 2 ? 2k (k ? t ) ? 2 , 整理得 ? k k (t 2 ? k 2 ? 1)

24

2 2 2 ,或 t ? ,? t min ? ? ? ? t 2 ? 4(1 ? 2t 2 ) ? 0 ,解得 t ? ? (舍去) 3 3 3
14. (2009 山东卷文)(本小题满分 14 分) 设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? (mx, y ? 1) ,向量 b ? (x, y ?1) , a ? b , 动点 M (x, y ) 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
2

? y ? kx ? t ? 解方程组 ? x 2 得 x2 ? 4(kx ? t )2 ? 4 ,即 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使△= 64k 2t 2 ?16(1 ? 4k 2 )(t 2 ?1) ? 16(4k 2 ? t 2 ? 1) ? 0 ,

(2)已知 m ?

1 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交 4

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,即 t ? 4k ? 1 ,
2 2 2 2

8kt ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 4k 2 且? 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
k 2 (4t 2 ? 4) 8k 2t 2 t 2 ? 4k 2 2 ? ? t ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

点 A,B,且 OA ? OB (O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 m ?

y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? k 2 x1 x2 ? kt ( x1 ? x2 ) ? t 2 ?
, 要使 OA ?OB ,
2 2

1 2 2 2 ,设直线 l 与圆 C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共点 4

B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解:(1)因为 a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ?1) , 所以 a ? b ? mx2 ? y 2 ?1 ? 0 , 即 mx 2 ? y 2 ? 1 .
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需使 x1x2 ? y1y2 ? 0 ,即
2 2

4t 2 ? 4 t 2 ? 4k 2 5t 2 ? 4k 2 ? 4 ? ? ? 0, 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2 2 2 2

所以 5t ? 4k ? 4 ? 0 , 即 5t ? 4k ? 4 且 t ? 4k ? 1 , 即 4k ? 4 ? 20k ? 5 恒 成立. 所以又因为直线 y ? kx ? t 为圆心在原点的圆的一条切线,

当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ; 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线. (2).当 m ?

4 (1 ? k 2 ) 4 t 4 2 5 所以圆的半径为 r ? ,r ? ? ? , 所求的圆为 x 2 ? y 2 ? . 2 2 2 5 1? k 1? k 5 1? k
t
2

当切线的斜率不存在时, 切线为 x ? ?

1 x2 ? y 2 ? 1,设圆心在原点的圆的一条切线为 y ? kx ? t , 时, 轨迹 E 的方程为 4 4

2 2 2 x2 5 , 与 ? y 2 ? 1 交于点 ( 5 ,? 5) 或 5 5 5 4

(?

2 2 5 ,? 5 ) 也满足OA ? OB . 5 5

25

综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ?
2 2

4 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 5

在直角三角形 OA1B1 中, | A1 B1 | ?| OB1 | ? | OA1 | ? 5 ?
2 2 2

4 4 ? R 2 ? 5 ? ( 2 ? R 2 ) 因为 2 R R

A,B,且 OA ? OB . (3)当 m ?

1 x2 ? y 2 ? 1,设直线 l 的方程为 y ? kx ?t ,因为直线l 与圆 时,轨迹 E 的方程为 4 4

4 ? R 2 ? 4 当且仅当 R ? 2 ? (1, 2) 时取等号,所以| A1B1 |2 ? 5 ? 4 ? 1 ,即 2 R
当 R ? 2 ? (1, 2) 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1. 【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以 通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. 15.(2009 安徽卷文)(本小题满分 12 分)

C: x 2 ? y 2 ? R2 (1<R<2)相切于 A1, 由(2)知 R ? 因为 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,

t 1? k 2

, 即 t 2 ? R2 (1 ? k 2 )

①,

? y ? kx ?t ? 由(2)知 ? x 2 得 x2 ? 4(kx ? t )2 ? 4 , 2 ? y ? 1 ? ?4
即 (1 ? 4k ) x ? 8ktx ? 4t ? 4 ? 0 有唯一解
2 2 2

已知椭圆 (a>b>0)的离心率为 圆与直线 y=x+2 相切, (Ⅰ)求 a 与 b; (Ⅱ)设该椭圆的左,右焦点分别为 和

,以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的

,直线 过

且与 x 轴垂直,动直线 与 y

则 △ = 64k t ?16(1 ? 4k )(t ?1) ? 16(4k ? t ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,
2 2

轴垂直, 交 与点 p..求线段 P 【思路】 (1)由椭圆

垂直平分线与 的交点 M 的轨迹方程, 并指明曲线类型。



? 2 3R 2 t ? ? ? 4 ? R2 由①②得 ? , 2 R ? 1 2 ?k ? ? ? 4 ? R2

x2 y2 c 3 ? 2 ? 1中a 2 ? b2 ? c 2 及e ? ? 建立 a、b 等量关系,再根据 2 a 3 a b

此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点,

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直线与椭圆相切求出 a、b. (2)依据几何关系转化为代数方程可求得,这之中的消参就很重要了。 【解析】 (1) 由于 e ?
2 2

3 3

∴e2 ?

c 2 a 2 ? b2 1 ? ? 3 a2 a2



b2 2 ? a2 3

又b ?

2 1?1

? 2



8kt ? x1 ? x2 ? ? ? 4t 2 ? 4 16 R 2 ? 16 ? 1 ? 4k 2 2 x ? ? 由? 中 , 所以 , , x ? x 1 1 2 2 1 ? 4k 2 3R 2 ? x x ? 4t ? 4 1 2 ? 1 ? 4k 2 ?
B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 y1 ? 1 ?
2

b =2,a =3 因此, a ? 3 . b= 2 . (2)由(1)知 F1,F2 两点分别为(-1,0) , (1,0) ,由题意可设 P(1,t).(t≠0).那么

4 1 2 4 ? R2 2 2 2 x1 ? ,所以| OB1 | ? x1 ? y1 ? 5 ? 2 , 2 R 4 3R
26

t 线 段 PF1 中 点 为 N (0, ) , 设 M(x 、 y) 是 所 求 轨 迹 上 的 任 意 点 . 由 于 2

t ? t ? MN ? PF1 ? 2 x ? t ( y ? ) ? 0 消去参数 t 得 MN ? (? x, ? y ) . PF1 ? (?2, ?t ) 则 ? 2 2 ? ?y ? t
y 2 ? ?4 x( x ? 0)



2 2k ? 1 2 ,即 32k ? 36k ? 5 ? 0 ? 2 3 1? k
?9 ? 41 ?9 ? 41 , k2 ? 16 16

(4)

,其轨迹为抛物线(除原点) 16.(2009 江西卷文) (本小题满分 14 分) 如图, 已知圆 G : ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 是椭圆 为椭圆的左顶点. (1)求圆 G 的半径 r ; (2)过点 M (0,1) 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E,F 两点, 证明:直线 EF 与圆 G 相切. 解: (1)设 B(2 ? r, y0) ,过圆心 G 作 GD ? AB 于 D , BC 交长轴于 H 由

解得 k1 ?

x2 ? y 2 ? 1的内接△ ABC 的内切圆, 其中 A 16

将(3)代入

32k x2 ? y 2 ? 1得 (16k 2 ? 1) x2 ? 32kx ? 0 ,则异于零的解为 x ? ? 16k 2 ? 1 16

y M A

设 F ( x1 , k1 x1 ? 1) , E ( x2 , k2 x2 ? 1) ,则 x1 ? ? 则直线 FE 的斜率为: kEF ?

32k1 32k2 , x2 ? ? 2 16k1 ? 1 16k2 2 ? 1

B

0

F

k2 x2 ? k1 x1 k ?k 3 ? 1 2 ? x2 ? x1 1 ? 16k1k2 4
2

32k1 x . 于是直线 G FE 的方程为: y ? 2

C

32k1 3 ?1 ? ( x ? ) 16k1 ? 1 4 16k12 ? 1

即y ?

E

GD HB y r ? 得 ? 0 , AD AH 36 ? r 2 6 ? r

3 7 x? 4 3



r 6?r y0 ? 6?r

(1)

3 7 ? 2 2 3 ? 则圆心 (2,0) 到直线 FE 的距离 d ? 3 9 1? 16
(2 ? r )2 12 ? 4r ? r 2 (r ? 2)(r ? 6) ? ?? 16 16 16
2 6 或 r ? ? (舍去) 3 5
(3) 故结论成立. 17.(2009 天津卷文) (本小题满分 14 分) 已知椭圆

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2 而 点 B (2 ? r, y0)在 椭 圆 上 , y0 ? 1 ?

(2)
2 12 ?0 ,解得 r ? 由(1)、 (2)式得15 r ?8 r ?

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的两个焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) , 过点 a2 b2

(2) 设过点 M(0,1) 与圆 ( x ? 2) ? y ?
2 2

4 相切的直线方程为: y ? 1 ? kx 9

a2 E ( ,0) 的直线与椭圆相交于点 A,B 两点,且 F1 A // F2 B, | F1 A |? 2 | F2 B | c
(Ⅰ求椭圆的离心率 (Ⅱ)直线 AB 的斜率;

27

(Ⅲ) 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称, 直线 F2 B 上有一点 H(m,n)( m ? 0 )在 ?AF1C 的外接圆上,求

k ??

n 的值。 m

2 3
3c 2 , 当k ? ? 时, 得 A (0, 2c) 由已知得 C(0,? 2c) 2 3

(3)由 (2) 知,x1 ? 0, x 2 ?

【答案】 (1) e ?

n 2 2 c 3 2 (2) k ? ? (3) ? ? m 5 a 3 3

线段 AF 1 的垂直平分线 l 的方程为 y ?

【解析】 (1)解:由 F1 A // F2 B, | F1 A |?| F2 B | ,得

| EF2 | | F2 B | 1 ? ? ,从而 | EF1 | | F1 A | 2

2c 2 c ?? ( x ? ), 直线 l 与 x 轴的交点 2 2 2

a2 ?c 1 c 3 c ? ,整理得 a 2 ? 3c 2 ,故离心率 e ? ? 2 2 a a 3 ?c c
2 2 2 b ? a ? c ? 2c , (2) 解: 由 (1) 知, 所以椭圆的方程可以写为 2x ? 3 y ? 6c
2 2 2 2

c c c ( ,0) 是 ?AF1C 的外接圆的圆心,因此外接圆的方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ( ? c) 2 2 2 2
直 线 F2 B 的 方 程 为 y ?

2 ( x ? c) , 于 是 点 H (m, n) 满 足 方 程 组

? c 2 9c 2 2 5c 2 2c n 2 2 ?(m ? ) ? n ? ,故 ? 2 4 由 m ? 0 ,解得 m ? , n ? ? 3 2 m 5 ?n ? 2 ( m ? c ) ?
当k ?

设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?

a2 ) 即 y ? k ( x ? 3c) c
? y ? k ( x ? 3c )
2 2 2 ? 2 x ? 3 y ? 6c
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2 n 2 2 时,同理可得 ? 3 m 5

由已知设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) 则它们的坐标满足方程组 ?
2 2 2 2 2

【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,圆的方程等基 础知识。 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想, 考查运算能力和推理能力。 18.(2009 辽宁卷文) (本小题满分 12 分) 已知,椭圆 C 以过点 A(1, (1) (2) 求椭圆 C 的方程; E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直 线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。

消去 y 整理,得 (2 ? 3k ) x ? 18k cx ? 27k c ? 6c ? 0
2

3 3 ?k? 依题意, ? ? 48c (1 ? 3k ) ? 0,? 3 3
2 2

3 ) ,两个焦点为(-1,0) (1,0) 。 2

18k 2 27k 2 c 2 ? 6c 2 , x1 x2 ? 而 x1 ? x 2 ? ,有题设知,点 B 为线段 AE 的中点, 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
所以 x1 ? 3c ? 2 x2 联立三式,解得 x1 ?

9k 2 c ? 2c 9k 2 c 2 ? 2c 2 , x ? ,将结果代入韦达定理中解得 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
28

x2 y2 ? ? 1。 (22)解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为 1 ? b 2 4b 2

因为 A 在椭圆上,所以

1 9 3 ? 2 ? 1 ,解得 b2 =3, b2 = ? (舍去) 。 2 1? b 4b 4
. . . . . .4 分

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

1 。 2

. . . . . . .12 分

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
3 x2 y 2 ? 1得 ,代入 ? 2 4 3

19.(2009 宁夏海南卷文)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个项点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1 (I) (II) 求椭圆 C 的方程‘ 若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,

(Ⅱ)设直线AE方程:得 y ? k ( x ? 1) ?

3 (3+4k 2)x 2 +4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2
设E( xE , yE ) ,F( xF , yF ) .因为点A(1,

3 )在椭圆上,所以 2

OP OM

?e

3 4( ? k )2 ? 12 , xE ? 2 3 ? 4k 2
3 yE ? kxE ? ? k 。 2
分 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 ? k 代 k ,可得 . . . . . . .8

(e 为椭圆 C 的离心率) ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 解: (Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得 {

a ? c ? 1, 解得 a=4,c=3, a ? c ? 7.

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所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 7

3 4( ? k )2 ? 12 , xF ? 2 3 ? 4k 2
yF ? ? kxF ? 3 ?k。 2

(Ⅱ)设 M(x,y),P(x, y1 ),其中 x ???4,4 ? . 由已知得

x 2 ? y12 ? e2 . x2 ? y 2
而e ?

所以直线 EF 的斜率 kEF

y ? yE ?k ( xF ? x 1 E ) ?2 k ? F ? ? 。 xF ? xE xF ? xE 2

3 2 2 2 2 ,故16( x ? y1) ?9( x ? y ). 4



由点 P 在椭圆 C 上得

y12 ?

112 ? 7 x 2 , 16

29

代入①式并化简得 9 y 2 ? 112,

(I)由已知得,椭圆 C 的左顶点为 A(?2, 0), 上顶点为 D(0,1), ?a ? 2, b ? 1 故椭圆 C 的方程为

4 7 所以点 M 的轨迹方程为 y ? ? (?4 ? x ? 4), 轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3
20.(2009 福建卷文) (本小题满分 14 分)

x2 ? y2 ? 1 4

(Ⅱ)直线 AS 的斜率 k 显然存在,且 k ? 0 ,故可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,从
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x2 y 2 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 C 的右顶点为 B ,点 S 和椭 圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线, AS , BS 与直线 l : x ? 分别交于 M , N 两点。 (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 MN 的长度的最小值; (Ⅲ)当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这

而M (

10 16k , ) 3 3

10 3

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
设 S ( x1 , y1 ), 则 (?2), x1 ? 即S(

4k 16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 x ? 得 ,从而 y1 ? 1 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k

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2 ? 8k 2 4k , ), 又 B(2, 0) 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

样的点T ,使得 ?TSB 的面积为 ?若存在,确定点T 的个数,若不存在,说明理由

1 5

1 10 ? ? y ? ? ( x ? 2) ? x ? ? ? ? 4k 3 由? 得? ? x ? 10 ?y ? ? 1 ? ? 3 3k ? ?
10 1 ?N( ,? ) 3 3k
故| MN |?

16k 1 ? 3 3k

| MN |? 又 k ? 0,?
当且仅当 解法一:
30

16k 1 16k 1 8 ? ?2 ? ? 3 3k 3 3k 3
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16k 1 1 ? ,即 k ? 时等号成立 3 3k 4

?k ?

1 8 时,线段 MN 的长度取最小值 4 3 1 4

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 MN 取最小值时, k ?

此时 BS 的方程为 x ? y ? 2 ? 0, s( , ), ? | BS| ?

6 4 5 5

4 2 5

要使椭圆 C 上存在点 T ,使得 ?TSB 的面积等于 ,只须T 到直线 BS 的距离等于

1 5

2 2 ,所以T 在平行于 BS 且与 BS 距离等于 的直线 l 上。 4 4
设直线 l ': x ? y ?1 ? 0 则由

3 5 | t ? 2| 2 ? , 解得 t ? ? 或 t ? ? 2 2 4 2

31


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高中数学 圆锥曲线题型总结

高中数学 圆锥曲线题型总结_数学_高中教育_教育专区。直线和圆锥曲线常考题型运用的知识: 1、中点坐标公式: x 2、弦长公式:若点 则 ? x1 ? x2 y ? y2 ,...

高中数学圆锥曲线重要结论

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高中数学选修圆锥曲线

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高中数学 有关圆锥曲线的经典结论

18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 其他常用公式: 1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,利用方程的根与系数关系...

高中数学圆锥曲线知识点总结_图文

高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点(限考)概要: 1、椭圆: (1)轨迹定义: ①定义一: 在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆, 两定点是焦点...

高考专题讲解之圆锥曲线全部经典题型

高考专题讲解之圆锥曲线全部经典题型_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2011 年高考数学专题讲解———圆锥曲线 8_one 整理 90 题突破高中数学圆锥曲线 1.如图,已...

高中数学讲义 圆锥曲线

高中数学讲义【知识图解】 定义 椭圆 几何性质 定义 圆锥曲线标准方程 标准方程 圆锥曲线应用 圆锥曲线 双曲线 几何性质 定义 抛物线 几何性质 标准方程 【方法点拨...

高中数学圆锥曲线经典题型.doc

高中数学圆锥曲线经典题型.doc_数学_高中教育_教育专区。高中数学圆锥曲线经典题型椭圆一、选择题: 1.已知椭圆方程 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ,双曲线 2 ? ...

人教版高中数学《圆锥曲线和方程》全部教案

人教版高中数学圆锥曲线和方程》全部教案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。人教版高中数学全部教案人教版高中数学全部教案 椭圆及其标准方程 一、教学目标 (一)知...