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1.2解三角形的实际应用举例(高中数学人教A版必修五)


解三角形的实际应用举例
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意,分清已知 与所求,根据题意画出示意图,并正确运用正弦定理和余 弦定理解题。 3、在解实际问题的过程中,贯穿了数学建模的思想,其流程 图可表示为: 实际问题
画图形

数学模型
解 三 角 形

实际问题的解

检验(答)

数学模型的解

解应用题中的几个角的概念: 1.基线:在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫 做基线。如例1中的AC,例2中的CD。在测量过程中,要 根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的 精确度。一般来说,基线越长,测量的精确度越高。 2.有关角的问题 (1)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫做仰角,
视线
铅 垂 线 仰角 俯角 水平线

视线在水平线下方的角叫做俯角。

视线

(2)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角, 图中A点的方位角为1350 北 (3)方向角:一般以南北为主轴线, 然后指出偏东、偏西多少度。 1350 西 如图,点A在北偏东300方向, 东 O 点B在南偏西400方向。

30
0



A
东 西
O



A

西

O





B

400



3.坡度与坡角: 坡面与水平面的夹角叫坡角,坡角的正 解应用题的一般步骤 切值叫坡度。即坡面的垂直高度h与水平 宽度l h 1.审题 之比。

i?

l

? tan a

a
l

h

1.某人向正东方向走了x km后,他向右转150°,然后朝新

方向走了3 km,结果他离出发点恰好

3 km,那么x的值为

( (A) 3 (B)2 3 或 3

)

(C)2 3

(D)3

AC BC = , 【解析】选B.如图所示,由正弦定理 sin30? sinA

∴ sinA=

3?

1 2 = 3, 2 3

A=60°或120°,从而AB=2 3 或 3.

2.从观测点A看湖泊两岸的建筑物B、C的视角为60°,
AB=100 m,AC=200 m,则B、C相距____. 【解析】BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos60° =1002+2002-2×100×200× 1 =3×1002, ∴BC=100 3 m. 答案:100 3 m
2

一、选择题 1.从A处望B处的仰角是α ,从B处望A处的俯角是β ,则α 、β

的关系为(
(A)α >β

)
(B)α =β (D)α +β =180°

(C)α +β =90°

【解析】选B.如图,显然α=β.

2.若点A在点B的北偏东50°44′,则点B在点A的(
(A)东偏北39°16′ (C)南偏西50°44′ 【解析】选C.如图可知选C. (B)东偏北39°44′ (D)西偏南39°44′

)

2.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30° , 看正南方向有一只船俯角为45° ,则此时两船间的距离为 ( A ) A.2h米 C. 3h米
解析 如图所示,
BC= 3h,AC=h,
∴AB= 3h2+h2=2h (米).

B. 2h米 D.2 2h米

例1

已知圆内接四边形的边长为AB=2,BC=6,CD=DA=4.

求四边形ABCD的面积. 【分析】连结BD,将四边形ABCD
转化为三角形问题. 【解析】如图,连结BD,

设四边形ABCD的面积为S.

则 S = S△ABD+ S△CDB?? = AB·ADsinA+ BC·CDsinC.? ∵四边形ABCD为圆内接四边形,? A+C=180°,?

∴sinA=sinC,cosA=-cosC,?
∴S= (AB·AD+BC·CD)sinA?

=

(2×4+6×4)sinA=16sinA.

在△ABD中,由余弦定理得?

BD2=AB2+AD2-2AB· ADcosA?
=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA.? 在△BCD中,同理可得? BD2=BC2+CD2-2BC· CDcosC? =62+42+2×6×4cosA=52+48cosA.?

由BD2=BD2,得?
20-16cosA=52+48cosA cosA= ∴A=120°, ∴S=16sin120°= . ,?

例5、锐角三角形中,边a、b是方程x 2 ? 2 3 x ? 2 ? 0

的度数,边c的长度及?ABC的面积。 3
? ( ? ? ( 解: 2 sin A ? B) 3 ? 0, sin A ? B)?
? ?ABC为锐角三角形

的两根,角A、B满足2 sin A ? B) 3 ? 0,求角C ( ?
2

? A ? B ? 120o ? C ? 60o ? 边a、b是方程x 2 ? 2 3 x ? 2 ? 0的两根 ? a ? b ? 2 3,ab ? 2
2 2 2

? c ? a ? b ? 2ab cos C 2 ? a ? b) ? 3ab ? 12 ? 6 ? 6 ?c ? 6 (
1 1 3 3 ? ab sin C ? ? 2 ? ? 2 2 2 2

? S ?ABC


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