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二次函数图像与性质专题练习试卷及解析


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二次函数图像与性质专题练习试卷及解析
1.2015 年北京市顺义区高三第一次数学文科统一练习试题第 8 题 某桶装水运营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元,销售单 价与日均销售量的关系如下表所示:

设在进价基础上

增加 x 元后,日均销售利润为 y 元,且 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? .该经营部 要想获得最大利润,每桶水在进价的基础上应增加( A. 3 元 B. 4 元 C. 5 元 D. 6 元 )

2.2015 年全国高考理科数学试题—四川卷第 9 题 如果函数 f ( x) ? 的最大值为( A. 16 B. 18 C. 25 D.

1 1 (m ? 2) x 2 ? (n ? 8) x ? 1(m ? 0, n ? 0) 在区间 [ , 2] 单调递减,则 mn 2 2


81 2

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3.2015 年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷(理科)第 12 题 设函数 f ( x) ? cos x ? 4t sin
2 2

x 3 ? t ? 3t ( x ? R) , 其中 | t |? 1, 将 f ( x ) 的最小值记为 g (t ) , 2


则函数 g (t ) 的单调递增区间为(

1 3 1 B. [ ?1, ? ] 3 1 C. ( , ??) 3 1 D. [ ,1] 3

A. (??, ? ), (1, ??)

4.2015 年河南省中原名校 豫南九校联考高考数学一模试卷(理科)第 10 题

O 是平面上一点, A 、 B 、 C 是平面上不共线三点,动点 P 满足:

OP ? OA ? ?( AB ? AC), ? ?[?1, 2] ,已知 ? ? 1 时, | AP |? 2 ,则 PA ? PB ? PA? PC 的
最大值为( A. ?2 B. 24 C. 48 D. 96 )

5.2015 年河南省郑州市新郑二中分校高考数学一模试卷(理科)第 11 题 函数 f ( x) ? ax ? (a ? 3) x ? 1 在区间 [?1, ??) 上是递减的, 则实数 a 的取值范围是 (
2



A. [?3, 0) B. (??, ?3]

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C. [?2, 0] D. [?3, 0]

6.2015 年全国高考文科数学试题—浙江卷第 20 题 设函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, b ? R) .

a2 (1) 当 b ? ? 1 时,求函数 f ( x) 在 [?1,1] 上的最小值 g (a) 的表达式; 4
(2) 已知函数 f ( x) 在 [?1,1] 上存在零点, 0 ? b ? 2a ? 1 ,求 b 的取值范围.

7.2013 学年陕西省三原县北城中学高一上学期期中考试数学试卷第 21 题 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2 , x ? [?5,5]

(1) 当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值;
(2) 求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 [?5,5] 上是单调函数

(3) 求函数 f ( x) 的最小值 g (a) ,并求 g (a) 的最大值.

8.2013 学年陕西省三原县北城中学高一上学期期中考试数学试卷第 17 题 对于二次函数 y ? ?4x ? 8x ? 3 ,
2

(1) 指出图像的开口方向,对称轴方程,顶点坐标;
(2) 求函数的最值;

(3) 分析函数的单调性.

9.2013 年陕西省西安市第一中学高二上学期期末考试文科数学卷第 19 题

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已知 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 2 的图象过点 (?1, ?6) , 且函数 g ( x) ? f ?( x) ? 6 x 的图象关于 y 轴对称;

(1) 求 a , b 的值及函数 y ? f ( x) 的单调区间;
(2) 求函数 y ? f ( x) 极值.

10.2013 年陕西省南郑中学高一上学期期中考试数学试卷第 21 题 已知二次函数 f ( x ) 满足: f (0) ? 4, f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,且该函数的最小值为 1 .

(1) 求此二次函数 f ( x) 的解析式;
(2) 若函数 f ( x) 的定义域为 A ? [m, n] .(其中 0 ? m ? n ). 问是否存在这样的两个实数
m, n ,使得函数 f ( x) 的值域也为 A ?若存在,求出 m, n 的值;若不存在,请说明理由.

答案和解析
1.2015 年北京市顺义区高三第一次数学文科统一练习试题第 8 题 答案:D 分 析 : 建 立 目 标 函 数 , 利 用 二 次 函 数 求 解 . 依 题 意

y ? x(520 ? 40x) ? 200 ? ?40x2 ? 520x ? 200 , x ?{1, 2,3, 4,5,6} ,对称轴 x ? 6.5 ,所
以当 x ? 6 时, y 取得最大值,故选 D .

2.2015 年全国高考理科数学试题—四川卷第 9 题 答案:B

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分析: m ? 2 时,抛物线的对称轴为 x ?

n ?8 n ?8 ?2 即 ,据题意,当 m ? 2 时, ? m?2 m?2

2m ? n ?6 , 所以 mn ? 18 , 由 2 m ? n 且 2m ? n ? 12 得 2 n ?8 1 ? 即 m ? 2n ? 18 , m ? 3, n ? 6 ,当 m ? 2 时,抛物线开口向下,据题意得, ? m?2 2 2n ? m 81 ? 9 ,所以 mn ? ,由 2n ? m 且 m ? 2n ? 18 得 m ? 9 ? 2 , 因为 2n ? m ? 2 2
2m ? n ? 12 , 因为 2m ? n ?
故应舍去,要使得

m ? 2n , ? 8, ) 所以 mn 取 得 最 大 值 , 应 有 m ? 2 n ? 1 8 (

mn ? (18 ? 2n)n ? (18 ? 2 ? 8) ? 8 ? 16 ,所以最大值为 18 ,选 B .

3.2015 年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷(理科)第 12 题 答案:B 分析: f ( x) ? cos x ? 4t sin
2 2

x 3 ? t ? 3t 2

x x x t ?1 2 3 2 ? (4t ? 4) sin 2 ? t 3 ? 3t ? 1 ? 4(sin 2 ? ) ?t ?t ?t , 2 2 2 2 2 x ? 1, ∵ | t |? 1, sin 2 t ?1 2 x ?? ∴当 sin 时函数有最小值为 g (t ) ? t 3 ? t 2 ? t , 2 2 ? 4sin 4
∴ g ?(t ) ? 3t ? 2t ? 1 ,
2

当 g ?(t ) ? 3t 2 ? 2t ?1 ? 0 ,即 t ? 1 或 t ? ? 故函数 g (t ) 的单调递增区间为 [ ?1, ? ] ; 故选 B .

1 时,函数 g (t ) 调增,因为 | t |? 1, 3

1 3

4.2015 年河南省中原名校 豫南九校联考高考数学一模试卷(理科)第 10 题 答案:B

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分析:由满足: OP ? OA ? ? ( AB ? AC) ,得 AP ? ? ( AB ? AC) , 当 ? ? 1 时,由 | AP |? 2 ,得 AB ? AC ? AP , ∴ | AB ? AC |? 2 , 又 PA ? PB ? PA ? PC ? PA ? (PB ? PC)

? PA ? ( AB ? AP ? AC ? AP) ? ??( AB ? AC)? | AB ? AC ? 2?( AB ? AC) |
1 ? ? (2? ? 1)( AB ? AC ) 2 ? 4(2? 2 ? ? ) ? 8(? ? ) 2 ? 2 , 4
∵ ? ? [?1, 2] , ∴当 ? ? 2 时,有最大值,最大值为 24 , 故选: B .

5.2015 年河南省郑州市新郑二中分校高考数学一模试卷(理科)第 11 题 答案:D 分析:∵函数 f ( x) ? ax ? (a ? 3) x ? 1 在区间 [?1, ??) 上是递减的,
2

①当 a ? 0 时, f ( x) ? ?3x ? 1 ∵ ?3 ? 0 ,



∴ f ( x ) 在 R 上单调递减,符合题意;
2 ②当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? ax ? (a ? 3) x ? 1 为二次函数,

∵二次函数在对称轴右侧单调递增, ∴不可能在区间 [?1, ??) 上递减, 故不符合题意; ③当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? ax ? (a ? 3) x ? 1 为二次函数,对称轴为 x ? ?
2

a ?3 , 2a

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∵二次函数在对称轴右侧单调递减,且 f ( x) ? ax2 ? (a ? 3) x ? 1 在区间 [?1, ??) 上是递减 的, ∴?

a ?3 ? ?1, 解得 ?3 ? a ? 0 , 2a

∴实数 a 的取值范围是 ?3 ? a ? 0 . 综合①②③,可得实数 a 的取值范围是 [?3, 0] .

6.2015 年全国高考文科数学试题—浙江卷第 20 题 答案:见解析

a a a2 ? 1 时, f ( x) ? ( x ? ) 2 ? 1 ,故其对称轴为 x ? ? . 分析: (1) 当 b ? 2 2 4
当 a ? ?2 时, g (a) ? f (1) ?

a2 ?a?2. 4
a 2

当 ?2 ? a ? 2 时, g ( a ) ? f ( ? ) ? 1 . 当 a ? 2 时, g (a) ? f (?1) ?

a2 ?a?2. 4

? a2 ? 4 ? a ? 2, a ? ?2 ? ? 综上, g (a ) ? ?1, ?2 ? a ? 2, . ? a2 ? ? a ? 2, a ? 2 ? ?4

? s ? t ? ?a (2) 设 s , t 为方程 f ( x) ? 0 的解,且 ?1 ? t ? 1,则 ? .由于 ?1 ? b ? 2a ? 1 , st ? b ?
?2t 1 ? 2t ?2t 2 t ? 2t 2 0 ? t ? 1 ? s ? ( ? 1 ? t ? 1) ? b ? 因此 .当 时, , t?2 t?2 t?2 t?2

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2 2 ?2t 2 1 t ? 2t 2 ? ? ? 0 ? ? ? 9 ? 4 5 ,所以 ? ? b ? 9 ? 4 5 . 由于 和 3 3 t?2 3 t?2
当 ?1 ? t ? 0 时 ,

t ? 2t 2 ?2t 2 ?2t 2 t ? t2 ?b? ? 0 和 ?3 ? ?0 ,所以 , 由 于 ?2 ? t?2 t?2 t?2 t?2

?3 ? b ? 0 .
综上可知, b 的取值范围是 [?3,9 ? 4 5] .

7.2013 学年陕西省三原县北城中学高一上学期期中考试数学试卷第 21 题 答案: (1) f ( x)max ? 37 , f ( x)min ? 1

(2) a ? 5 或 a ? ?5

(3) a ? ?5
2 分析: (1) a ? ?1 , f ( x) ? x ? 2x ? 2 ,

对称轴 x ? 1 , f ( x)min ? f (1) ? 1 , f ( x)max ? f (5) ? 37 ∴ f ( x)max ? 37 , f ( x)min ? 1

(2) 对称轴 x ? ?a 当 ?a ? ?5 或 ? a ? 5 时, f ( x) 在 [?5,5] 上单调
∴ a ? 5 或 a ? ?5

(3) 由 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2 ? ( x ? a)2 ? a2 ? 2 , ?5 ? x ? 5
2 ∴当 ?5 ? x ? 5 时, g (a) ? f (a) ? ?a ? 2

当 a ? ?5 时, g (a) ? f (5) ? 10a ? 27 当 a ? 5 时, g (a) ? f (?5) ? ?10a ? 27

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?10a ? 27 ? 2 ∴ g (a) ? ??a ? 2 , ?5 ? x ? 5 ??10a ? 27 ?
∴当 ?5 ? x ? 5 时, g (a) ? ?a2 ? 2 ∴ ?23 ? g (a) ? 2 当 a ? 5 时, g (a) ? ?10a ? 27 ∴ g (a) ? ?23 当 a ? ?5 时, g (a) ? 10a ? 27 ∴ g (a) ? ?23 综上得: g (a) ? 2 ∴ g (a ) 的最大值为 2 , 此时 a ? 0 . , , ,

8.2013 学年陕西省三原县北城中学高一上学期期中考试数学试卷第 17 题 答案: (1) 开口向下;对称轴为 x ? 1 ;顶点坐标为 (1,1)

(2) 函数的最大值为 1 ;无最小值

(3) 函数在 (??,1) 上是增加的,在 (1, ??) 上是减少的
分析: (1) 根据已知的二次函数 y ? ?4 x ? 8x ? 3 ,
2

开口向下;对称轴为 x ? 1 ;顶点坐标为 (1,1)

(2) 函数的最大值为 1 ;无最小值

(3) 函数在 (??,1) 上是增加的,在 (1, ??) 上是减少的

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9.2013 年陕西省西安市第一中学高二上学期期末考试文科数学卷第 19 题 答案: (1) a ? ?3 , b ? 0 .

(2) f ( x) 在 (??, 0) , (2, ??) 上是增加的; f ( x) 在 (0, 2) 上是减少的.
分析: (1) 由函数 f ( x ) 图象过点 (?1, ?6) ,得 a ? b ? ?3 ,① 由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 2 ,得 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b , 则 g ( x) ? f ?( x) ? 6 x ? 3x2 ? (2a ? 6) x ? b ; 而 g ( x) 图象关于 y 轴对称,所以 ? 代入①得 b ? 0 .

2a ? 6 ? 0 ,所以 a ? ?3 , 2?3

于是 f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 3x( x ? 2) .

由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2 或 x ? 0 , 故 f ( x ) 在 (??, 0) , (2, ??) 上是增加的; 由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 2 , 故 f ( x ) 在 (0, 2) 上是减少的.

(2) 由 (1) 得 f ?( x) ? 3x( x ? 2) ,
令 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? 2 . 当 x 变化时, f ?( x ) 的变化情况如下表:

由此可得:有极大值 f (0) ? ?2 ,有极小值 f (2) ? ?6 .

10.2013 年陕西省南郑中学高一上学期期中考试数学试卷第 21 题 答案: (1) f ( x) ?

3 2 x ? 3x ? 4 4

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(2) 存在满足条件的 m, n ,其中 m ? 1, n ? 4
分析: (1) 因为二次函数的最小值为 1 ,所以可设 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 1 ,

3 , 4 3 3 2 2 所以 f ( x) ? ( x ? 2) ? 1 ? x ? 3 x ? 4 . 4 4
因 f (0) ? 4 ,代入得 a ?

(2) 假设存在这样的 m, n ,分类讨论如下:

?3 2 m ? 3m ? 4 ? n ? ? f ( m) ? n ?4 ①当 m ? n ? 2 时,依题意有 ? ,即 ? , ? f ( n) ? m ? 3 n 2 ? 3n ? 4 ? m ? ?4
两式相减,整理得 m ? n ?

8 4 ,代入进一步得 m ? n ? ,产生矛盾,故舍去; 3 3

②当 m ? 2 ? n 时,依题意 m ? f (2) ? 1, 若 n ? 3, f (n) ? n ,解得 n ? 4 或 若 2 ? n ? 3, n ? f (1) ?

4 (舍去) , 3

7 ,产生矛盾,故舍去, 4

?3 2 m ? 3m ? 4 ? m ? ? f (m) ? m ?4 ③当 2 ? m ? n 时,依题意, ? ,即 ? , ? f (n) ? n ? 3 n 2 ? 3n ? 4 ? n ? ?4
解得 m ?

4 , n ? 4 产生矛盾,故舍去; 3

综上:存在满足条件的 m, n ,其中 m ? 1, n ? 4 .


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