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专题4 等差数列、等比数列


? 专题四 数 列 ? 第1讲 等差数列与等比数列

第1讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

—— 体验高考 ——
1 . [2013· 重 庆 卷 ] 若 2,a,b,c,9成等差数列① ,则 c-a= ________.

——主干知识 ——

r />? 等差数列 关键词:等差 数列的通项如① .

[答案]

7 2

[解析] 设公差为 d,因为 9=2+ 7 7 4d,d=4,所以 c-a=2d=2.

第1讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

—— 体验高考 ——
2 . [2013· 安 徽 卷 改 编 ] 设 ② Sn是等差数列{an}的前n项和 ,S8=4a3, a7=-2,则 a9=________.

——主干知识 ——
? 等差数列 关键词:等差 数列的通项、等差 数列的求和,如 ①②.

[答案] -6

[解析] 设公差为 d,则 8a1+28d =4a1+8d,即 a1=-5d,a7=a1+6d =-5d+6d=d=-2,则 a9=a7+2d =-6.

第1讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

—— 体验高考 ——

3.[2013· 北京卷改编] 若 , 则公比 q=________.
[答案] 2

——主干知识 ——
? 等比数列 关键词:等比数列 的通项,如③.

[解析] 因为 a3+a5=q(a2+ a4),所以 40=20q,q=2.

第1讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

—— 体验高考 ——
4 . [2013· 新课标全国卷Ⅰ改编 ] 设

——主干知识 ——
? 等比数列 关键词: 等比数列的

, 则 Sn 与 an 的关系为________.通项、求和,如 ④.
[答案] Sn=3-2an

2n 1-3 2n-1 [解析] an=3 , Sn= 2 =31- 1-3 2 a =3-2an. 3 n

第1讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

—— 体验高考 ——
5.[2013· 上海卷] 在等差数列{an} 中,若 a1+a2+a3+a4=30 ,则 a2+ a3=________.
[答案] 15


——主干知识 ——
? 等差数列 与等比数列的性质 关键词:条件 m + n = p + q 下的 am,an,ap,aq 的关 系,如⑤.

[解析] 因为 a1+a4=a2+a3, 所以 2(a2+a3)=30,a2+a3=15.

第1讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

—— 体验高考 ——
6 .[2013· 四川卷改编] 在等比数列 {an}中,a2-a1=2,且 2a2 为 3a1 和 a3 的 ⑥ 等差中项 ,则该数列的前 n 项和为 ________. 3n-1 [答案] 2

——主干知识 ——
? 等差数列与 等 比 数列 的综 合应 用 关键词: 等差数列与 等比 数列 的相 互联

[解析] 设等比数列{an}的公比为 q. 系,如⑥ . 2 由已知可得 a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q , 2 则 a1(q-1)=2,q -4q+3=0,解得 q=3 或 q=1,由于 a1(q-1)=2,因此 q=1 不 合题意,应舍去,故公比 q=3,首项 a1= 3n-1 1.数列{an}的前 n 项和 Sn= . 2

第1讲

等差数列、等比数列

考点 等差数列的性质与基本量 等比数列的性质与基本量 等差数列的通项与求和 等比数列的通项与求和

等差、等比数列的综合问题
数列的递推公式

1.等差、等比数列的通项及前n项和公式

等差数列

等比数列

通项公式

an=a1+(n-1)d
n?a1+an? Sn= 2

an=a1qn-1(q≠0)
(1)q≠1,Sn= a1?1-qn? a1-anq = ; 1-q 1- q (2)q=1,Sn=na1

前n项和

n?n-1? =na1+ 2 d

2.等差数列、等比数列的性质

等差数列
(1)若m,n,p,q∈N , 且m+n=p+q,则
*

等比数列
(1)若m,n,p,q∈N*, 且m+n=p+q,则am· an =ap· aq; (2)an=amqn
-m

性质

am+an=ap+aq; (2)an=am+(n-m)d; (3)Sm,S2m-Sm,S3m- S2m,…仍成等差数列



(3)Sm,S2m-Sm,S3m- S2m,…仍成等比数列 (Sn≠0)

数列通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系
[例 1] (1)(2013· 潍坊模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1 ( D.3×24+1 )

=1,an+1=2Sn+1(n≥1),则 a6= A.35 B.35+1 C.3×24

2 1 (2)(2013· 新课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ , 3 3 则{an}的通项公式是 an=________.

[自主解答]

(1)由an+1=2Sn+1,得an=2Sn-1+1(n≥2),两

式相减得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an,即an+1=3an(n≥2),故该 数列从第二项起构成一个公比为3的等比数列. 由an+1=2Sn+1,得a2=2S1+1=2a1+1=3, 故a6=a2×34=3×34=35. 2 1 2 1 (2)当n=1时,由已知Sn= 3 an+ 3 ,得a1= 3 a1+ 3 ,即a1=1; 2 1 当n≥2时,由已知得到Sn-1= 3 an-1+ 3 ,所以an=Sn-Sn-1= ?2 1? ?2 1? 2 2 ? an+ ? - ? an-1+ ? = an- an-1,所以an=-2an-1,所以数列 3? ?3 3? 3 3 ?3 {an}是以1为首项,以-2为公比的等比数列,所以an=(-2)n-1.

[答案]

(1)A

(2)(-2)n

-1

——————————规律· 总结————————————

已知 Sn 与 an 的关系式求 an 的方法 数 列 的 通 项 an 与 前 n 项 和 Sn 的 关 系 是 an =
? ?S1,n=1,? ? ? ?Sn-Sn-1,n≥2.

当 n=1 时,a1 若适合 Sn-Sn-1,则 n=1

的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.
———————————————————————————

等差、等比数列的基本运算
[例2] (1)(2013· 深圳模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若 ( D. 5 )

a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k= A. 8 B. 7 C. 6

(2)已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且
?1? 9S3=S6,则数列?a ?的前5项和为 ? n?

( 85 D. 2

)

85 A.32

31 B.16

15 C. 8

[自主解答] ?k+2??k+1? 2

(1)法一:由题意,Sk+2=(k+2)a1+ d=k+2+(k+2)(k+1)=(k+2)2,Sk=ka1+

k?k-1? 2 d = k + k ( k - 1) = k , 2 故Sk+2-Sk=(k+2)2-k2=4k+4=24,解得k=5. 法二:Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2ak+1+d=2(a1+kd)+d=2(1 +2k)+2=24,解得k=5.

(2)设等比数列{an}的公比为q. ∵9S3=S6,∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6, ∴8=q3,即q=2. ∴an=2
n-1

1 ?1?n-1 ,∴a =?2? , ? ? n

?1? 1 ? ? ∴数列 a 是首项为1,公比为2的等比数列, ? n? ?1? 故数列?a ?的前5项和为 ? n? ? ?1?5? 1×?1-?2? ? ? ? ? ?

1 1- 2

31 =16.

[答案]

(1)D

(2)B

——————————规律· 总结————————————

方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用 等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1、 d(或q)、n、an与Sn这五个量,如果已知其中的三个,就可以 求其余的两个.其中a1和d(或q)是两个基本量,所以等差数列 与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后 根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组,通过解方程 组求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现. ————————————————————————

等差数列、等比数列的性质
[例 3] (1)已知正数组成的等差数列 {an},前 20 项和为 100, ) C.100 D.不存在

则 a 7· a14 的最大值是( A.25 B.50

(2)在等差数列{an}中,a1=-2 013,其前 n 项和为 Sn,若 - 12

S12

S10
10

=2 ,则 S2 013 的值为(

) C.-2 010 D.-2 013

A.-2 011

B.-2 012

[自主解答 ]

解析

a1+a20 (1)∵ S20= × 20=100, ∴a1+ a20=10. 2

∵a1+a20=a7+a14,∴a7+a14=10. ?a7+a14?2 ? =25. ∵an>0,∴a7·a14≤? ? 2 ? 当且仅当 a7=a14 时取等号.
? ?Sn? ? (2)根据等差数列的性质,得数列? ?也是等差数列,根据已知 ? ?n? ?

可得这个数列的首项 =a1=-2 013, 公差 d=1, 故 =-2 013 1 2 013 +(2 013-1)×1=-1,所以 S2 013=-2 013.
[答案 ] (1)A (2)D

S1

S2 013

a11 (3)数列{an}是等差数列,若 <-1,且它的前 n 项和 Sn 有最大 a10 值,那么当 Sn 取得最小正值时,n 等于 ( A.11 B.17 C.19 D.21 )

1 (4)已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a3a5= a1, 4 9 且 a4 与 a7 的等差中项为 ,则 S5 等于 8 A.35 B.33 ( ) D.29

C.31

解析: ( 3) ∵ {an}的前 n 项和 Sn 有最大值, ∴数列为递减数列.

a11 19 ?a1+ a19? 又 <- 1, ∴a10>0, a11<0,得 a10+a11<0.而 S19= a10 2
20 ?a1+ a20? = 19·a10>0,S20= = 10(a10+a11)<0. 2 故当 n=19 时, Sn 取得最小正值. (4)设等比数列 {an}的公比是 q,则 1 2 6 a3a5= a1q = a1,得 4
6

1 a1q = ,即 4

1 9 1 1 3 a7 a7= .又 a4+ a7=2× ,解得 a4= 2.所以 q = = , q= , a1= 16. 4 8 2 a4 8 a1?1-q5? 故 S5= = 1- q
? 1? 16?1- ? 32 ? ?

1 1- 2

= 31.

答案:C

C

——————————规律· 总结————————————
巧用等差(比)中项变形 等差数列与等比数列的性质应用问题中,等差中项与等比中项是 非常重要的,主要体现在两个方面: (1)等差(比)中项在解决项的计算问题中的应用.将两项之和(或积) 直接转化为数列中的某一项,在等差数列{an}中,有an-k+an+k=2an, 在等比数列{bn}中,有bn-k· bn+k=b2 n; (2)等差中项在等差数列求和公式中的应用.在等差数列{an}中, n?a1+an? 如n=2k+1(k∈N ),则a1+an=2ak+1,所以Sn= =nak+1. 2
*

———————————————————————————


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