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2014届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第2讲 命题


理解命题的概念,了解“若p,则q”形式的
命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析 四种命题的相互关系,理解必要条件、充分条 件与充要条件的意义.

1.命题及四种命题的相互关系  

?1? 可以判断真假的语句叫命题,由① ______
两部分构成.

? 2 ? 命题的四种形式:
原命题:若p,则q; 逆命题:若② _______ ,则③ ________ ; 否命题:若④ _______ ,则⑤ ________ ; 逆否命题:若⑥ _____ ,则⑦ ________ .

?3?四种命题的关系:

?3?四种命题的关系:

⑧ __________ 的命题互为等价命题,它们 同真同假.

2.充分条件与必要条件 ?1? 若p ? q,则称 p为q的⑨ ______ ,同时q是p的⑩ ______ ;

? 2 ? 若? _______ 且? ______ ,则称p是q的充要条件.
【要点指南】 ①题设和结论;②q;③p;④?p;⑤?q;⑥?q; ⑦?p;⑧互为逆否;⑨充分条件; ⑩必要条件; p ? q; q ? p

1.有三个语句:(1)x<3;(2)x2-2x-3=0;(3)x2+ 1<0(x∈R),其中是命题的为( A.(1)(2) C.(2) B.(1)(3) D.(3) )

【解析】 能判断真假的语句才叫命题,故只有(3) 是命题,所以选 D.

2.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x) 的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆 否命题三个命题中,真命题的个数是( A.3 C.1 B.2 D.0 )

【解析】 根据幂函数定义及其性质可知原命题是真 命题, 所以其等价命题逆否命题为真命题; 其逆命 题:若函数 y=f(x)的图象不过第四象限,则函数 y =f(x)是幂函数,为假命题(如 f(x)=2x),所以其否 命题亦为假命题,故真命题个数为 1,选 C.

3.对于x,y ? R,则“xy=0”是“x 2+y 2=0”的 ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

?

解析:由x +y =0,得x=0且y=0,则xy=0,
2 2

即必要条件成立.而xy=0,取x=0,y=1, 则x +y =1 ? 0,即充分条件不成立,故选B.
2 2

易错点:由xy=0,得x=0,y=0,误认为 x=0,y=0同时成立,而得x 2+y 2=0,错选C.

  4.命题: m ? 0,则x 2+x-m=0有实根 的 “若 否定是  .  

解析:命题的否定只要求否定结论,从而 原命题的否定是“若m ? 0,则x 2+x-m=0 无实根”.

易错点:将命题的否定与否命题概念混淆.

5.函数f(x)=x2+2mx+3的 图象关于直线x=1对称的充要条件是 .

【解析】 若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,则 2m - 2 =1,所以 m=-1. 若 m=-1,则 f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,其 图象关于直线 x=1 对称, 所以函数 f(x)=x2+2mx+3 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是 m=-1.



命题及其相互关系
【例 1】 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命

题,同时分别指出它们的真假. (1)末位数字是零的自然数能被5整除; (2)已知a,b,c,d是实数,若a=b且c=d,则a +c=b+d.

【解析】(1)原命题可改写为:若一个自然数的末 位数字是零,则它能被 5 整除. 其逆命题为:若一个自然数能被 5 整除,则它的 末位数字是零,为假命题. 否命题:若一个自然数的末位数字不是零,则它 不能被 5 整除,为假命题. 逆否命题:若一个自然数不能被 5 整除,则它的 末位数字不是零,为真命题.

(2)逆命题:已知 a,b,c,d 为实数,若 a+c =b+d,则 a=b 且 c=d,为假命题. 否命题: 已知 a, c, 为实数, a≠b 或 c≠d, b, d 若 则 a+c≠b+d,为假命题. 逆否命题:已知 a,b,c,d 为实数,若 a+c≠b +d,则 a≠b 或 c≠d,为真命题.

【点评】(1)已知原命题,写出它的其他三种命题,首 先把命题改写成“若 p,则 q”的形式,然后找出其 条件 p 和结论 q,再根据四种命题的定义写出其他命 题.对写出的命题也可简洁表述;对于含有大前提的 命题,在改写命题形式时,大前提不要动. (2)判断命题的真假, 可直接判断, 如果不易判断, 可根据互为逆否命题的两个命题是等价命题来判断; 原命题与逆否命题是等价命题,否命题与逆命题是等 价命题.

素材1

分别写出下列命题的逆命题、 否命题、逆否命题,并判断它们的真假:

?1? 若b -4ac=0,则方程ax +bx+c=0
2 2

(a ? 0)有两个相等的实根;

? 2 ? 若A U B=I,则A=?I B

解析: ?1? 逆命题:若方程ax +bx+c=0(a ? 0)
2

有两个相等的实根,则b -4ac=0,为真命题.
2

否命题:若b -4ac ? 0,则方程ax +bx+c=0
2 2

(a ? 0)没有两个相等实根,为真命题. 逆否命题:若方程ax +bx+c=0(a ? 0)没有两个
2

相等实根,则b -4ac ? 0,为真命题.
2

? 2 ? 逆命题:若A=?I B,则A ? B=I,为真命题.
否命题:若A ? B ? I,则A ? ?I B,为真命题. 逆否命题:若A ? ?I B,则A ? B ? I,为假命题.


【例 2】

充分条件、必要条件的判断

(1)若向量a=(4,y)(y∈R),则“y=3”是“|a|=5”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

(2)设{an}是等差数列,则“a1<a2”是“数列{an}是递增 数列”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】 (1)若 y=3,则 a=(4,3), 所以|a|= 42+32=5. 若|a|=5,则 42+y2=5,所以 y2=9,y=± 3. 故“y=3”是“|a|=5”的充分不必要条件,选 A.

(2)因为{an}是等差数列, 若 a1<a2,则 d=a2-a1>0, 所以{an}是递增数列; 若{an}是递增数列,则 a1<a2, 故“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的充要条件,选 C.

【点评】有关充要条件的判断问题的求解程序是:①辨明试 题表述的语句是“定义形式”还是“倒装形式”;②由充要 条件的定义确定命题推导的顺序;③依定义确定充要性.

素材2

(1)设a、b是实数,则“lg(a2+1)<lg(b2+1)”是“a<b”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|(x+2)(x-4)≥0}, 则A∩B=?的充要条件是( )

A.0≤a≤2 B.-2<a<2 C.0<a≤2 D.0<a<2

【解析】 (1)由函数 y=lgx 是增函数可知, lg(a2+1)<lg(b2+1)?a2+1<b2+1?a2<b2. 易知 a2<b2?/ a<b,且 a<b?/ a2<b2, 故“lg(a2+1)<lg(b2+1)”是“a<b”的既不充分也 不必要条件,故选 D.

(2)B={x|x≤-2 或 x≥4},
?a-2≥-2 由 A∩B=??? ?0≤a≤2,故选 A. ?a+2≤4

三 充要条件的证明与探究
【例 3】 π是圆周率,a,b,c,d∈Q,则“a=c且b=d”是 “aπ+b=cπ+d”的什么条件?证明你的结论.

【解析】 若 π 是圆周率,a,b,c,d∈Q,则“a =c 且 b=d”是“aπ+b=cπ+d”的充要条件,证明 如下: 充分性:若 a=c,则 aπ=cπ, 又 b=d,所以 aπ+b=cπ+d. 必要性:若 aπ+b=cπ+d, 则(a-c)π=d-b.

又 a,b,c,d∈Q,d-b∈Q,而 π 是无理数, 所以 a-c=0,d-b=0,即 a=c 且 b=d, 所以“a=c 且 b=d”是“aπ+b=cπ+d”的充 要条件.

【点评】(1)有关充要条件的证明必须分“充分 性”和“必要性”两个环节分别进行推理论证. (2)证明时易出现充分性与必要性概念混淆的情 形,因此论证时必须依“定义”弄清.

素材3

设命题p:|4x-3|≤1;命题q:x -(2a+1)x+ a(a+1)≤0.若綈 p是綈 q的必要而不充分条件, 求实数a的取值范围.

2

1 【解析】 由|4x-3|≤1 得-1≤4x-3≤1,故2≤x≤1. 由 x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得(x-a)(x-a-1)≤0, 故 a≤x≤a+1.

因为綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件, 1 所以 p 是 q 的充分而不必要条件,即[2,1]? [a,a+1], 1 ? ?a≤ 所以? 2 ?a+1≥1 ? 1 ,解得 0≤a≤2.

1 故所求的实数 a 的取值范围是[0,2].

【备选例题】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=p +q(p≠0 且 p≠1), 求数列{an}是等比数列的充要条件.
n

【解析】 先求必要性: 当 n=1 时,a1=S1=p+q; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(p-1)p 由于 p≠0 且 p≠1, 所以当 n≥2 时,{an}是等比数列. a2 要使{an}(n∈N+)是等比数列,且a =p, 1 即(p-1)p=p(p+q),所以 q=-1.
n-1



再证充分性: 当 p≠0 且 p≠1,q=-1 时,Sn=pn-1, 所以 S1=p-1,即 a1=p-1, 又当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(p-1)·n-1, p 又当 n=1 时也满足,所以{an}是等比数列, 即{an}是等比数列的充要条件是 p≠0,p≠1,且 q=-1.

1.充分条件、必要条件是高考重点考查的考点, 常与其他知识综合在一起.命题表达形式有:①“若 p, 则 q”为真;②p?q;③p 是 q 的充分条件;④q 是 p 的 必要条件,这四种表述实质意义相同. 2.充分条件、必要条件常用的判断方法: (1)定义法: 判断 B 是 A 的什么条件, 实际上就是判 断 B?A 或 A?B 是否成立, 只要把题目中所给条件按逻 辑关系画出箭头示意图,再利用定义即可判断.

(2)集合法:在对命题的条件和结论间的关系判断有困难时, 有时可以从集合的角度来考虑, 记条件 p、 对应的集合分别为 A、 q B,则: 若 A?B,则 p 是 q 的充分条件; 若 A? B,则 p 是 q 的充分非必要条件; 若 A?B,则 p 是 q 的必要条件; 若 A? B,则 p 是 q 的必要非充分条件; 若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; 若 A?B,且 A?B,则 p 是 q 的既非充分条件也非必要条件.

(3)用命题的等价性判断:判断 p 是 q 的什么条件, 其实质是判断“若 p,则 q”及其逆命题“若 q,则 p” 是真还是假,原命题为真而逆命题为假,p 是 q 的充分 不必要条件;原命题为假而逆命题为真,则 p 是 q 的必 要不充分条件;原命题为真,逆命题为真,则 p 是 q 的 充要条件;原命题为假,逆命题为假,则 p 是 q 的既不 充分也不必要条件.同时要注意反例法的运用.

注意:确定条件为不充分或不必要的条件时,常用 构造反例的方法来说明. 3. 探求充要条件可以先求充分条件, 再验证必要性; 或者先求必要条件, 再验证充分性; 或者等价转换条件.

已知 p:“x2=x+2”,q:“x x+2=x2”,则 p 是 q 的______________条件.

【错解】
因为 x2=x+2?x= x+2?x2=x x+2, 所以 p 是 q 的充分条件; 又因为 x x+2=x2? x+2=x?x+2=x2, 所以 p 是 q 的必要条件; 故 p 是 q 的充要条件.

【错解分析】
导致错误判断的原因是忽视题目中的隐含条件,扩 大或缩小了 x 的取值范围,在有关充分条件和必要条件 的判断推理中一定要注意隐含条件对结果造成的影响.

【正解】
因为 x2=x+2?x=± x+2?/ x2=x x+2, 如 x=-1 时,x2=x+2,但 x2≠x x+2, 所以 p 不是 q 的充分条件. 又 x2=x x+2?x=0 或 x+2=x(x>0)?/ x+2=x2, 所以 p 不是 q 的必要条件, 所以 p 是 q 的既不充分又不必要的条件.


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