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第二章 圆锥曲线与方程第九课时导学案


第二章

圆锥曲线与方程

第九课时 圆锥曲线的统一定义
学习目标:了解圆锥曲线的统一定义;会利用圆锥曲线的统一定义解题。 学习过程: 一、自学质疑
1.平面内到两个定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫做 . .

2.平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值是常

数(小于 F1F2 且不等于零)的点的轨迹叫做 3.平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做 圆锥曲线的统一定义 .

椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线,在解题过程中经常用到它们的统一定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹,当 0 ? e ? 1 时,轨迹是 迹是 ;当 e ? 1 时,轨迹是 ;当 e ? 1 时,轨

.其中,点 F 是曲线的焦点,直线 l 是对应于焦点 F

的曲线的准线, e 为离心率.

二、互动探究
例 1. (教材 P51 )已知点 P(x,y) 到定点 F(c,0) 的距离与它到定直线 l : x ?

a2 的距离的比是常数 c

c (a ? c ? 0) , 求 P 点的轨迹。 a

练习:已知动点 P 到定直线 l 的距离和它到定点 F 的距离的比为 3 ,则点 P 的轨迹是什么曲线?

1

注:(1)三种圆锥曲线具有相同的产生方法,即 椭圆、双曲线、抛物线。

MF ? e(e ? 0) ,由于 e 的不同,区分为三类圆锥曲线: d

(2)对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆或双曲线,与焦点 F1(-c,0)、F2(c,0)对应的准线方程分别为

a2 a2 x ? ? ,x ? 。 c c
(3)对于椭圆和双曲线都有两个焦点、两条准线,一定要注意圆锥曲线上的点 M 到相应焦点与到相应准 线的距离的比才是常数 e. (4)圆锥曲线的准线总是垂直于其焦点所在的对称轴. 思考:椭圆

y2 x2 y2 x2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 和双曲线 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的准线方程分别是什么? a2 b2 a 2 b2

例 2. 已知一条圆锥曲线的一个焦点是 F(1,0),对应准线 l : x ? ?1 , 且曲线过点 M( 3,2 3 ),求曲线的方程。

【思路点拨】 由点 M 到点 F 与到准线 l 的距离的比来确定曲线类型.

练习:求下列曲线的焦点坐标和准线方程: (1) 25x2+16y2=400; (3) x2-8y2=32; (5) y2=16x; (2) x2+4y2=16 (4) x2-y2= - 4 (6) x2= -3y

2

例 3.如图,已知点 A(1,2)在椭圆

x2 y2 ? ? 1 内,F 的坐标为(2,0) ,在椭 16 12

圆上求一点 P,使 PA ? 2 | PF | 最小。 【思路点拨】直接求解比较困难,不妨将|PF|转化为点 P 到准线的距离.

三.达标检测
x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点 1.已知 ?ABC 的顶点 B、C 在椭圆 3
在 BC 边上,则 ?ABC 的周长是 2. 若关于 x、y 的二次方程
2 2

; ;

x2 y2 ? ? 1 的轨迹存在,则它一定表示 k ? 5 2? | k |

3. 椭圆 9 x ? 25 y ? 225 上有一点 P 到左准线的距离是 2. 5, 那么 P 点到右焦点的距离是
x2 ? y2 b2 x2 ?1



4. 双曲线 a

2

的两条准线三等分焦距,则它的离心率是
?1



5. 已知双曲线 a 周长是 6.已知椭圆

2

?

y2 b2

的实轴长为 4,AB 为左焦点 F1 的弦, | AB| ? 3 , F2 为右焦点,则 ?ABF2 的 ;

x2 y2 ? ? 1 P 为椭圆上任意一点,F 为左焦点,则|PF|的取值范围 16 9

;

3

x2 y2 ? ?1 4 7. 椭圆 9 的焦点为 F1 、F2 ,点 P 为其上的动点,当 ?F1 PF2 为钝角时,点 P 横坐标的取值范

围是


2

8.已知 A(3,2),若 F 是抛物线 y ? 2 x 的焦点,点 P 是抛物线上的动点,则当 PA+PF 最小时,点 P 的坐标是 ;

四.拓展延伸: x2 y2 3 1.已知双曲线 - =1 的右焦点为 F,点 A(9,2),试在这个双曲线上求一点 M,使|MA|+ |MF|的值最 9 16 5 小,并求出这个最小值.

五、课时小结
圆锥曲线统一定义的应用: 1.求距离问题 2.求最值问题 3.求轨迹方程 4.求参数范围问题

圆锥曲线的统一定义把焦点、准线和离心率巧妙地联系起来,在解相关的题目时,如能巧妙运用统一定 义,能起到化繁为简的作用,使问题简洁明快的得以解决.

4

第九课时

圆锥曲线的统一定义

1. 4 3 7. ( ?

2. 双曲线 3. 8

4. 3

5. 5

6. [ 4 ? 7 ,4 ? 7 ]

3 5 3 5 , ) 5 5

8. (2,2)

拓展延伸: 1.解:如图所示,l 为双曲线的右准线,M 为双曲线上任意一点,分别作 MN⊥l,AB⊥l 交于

N、 B 两点. ∵离心率 e= , ∴由双曲线的统一定义有

5 3

|MF| 3 3 =e, 即|MN|= |MF|.∴|MA|+ |MF| |MN| 5 5

3 =|MA|+|MN|≥|AB|.当且仅当 M 为 AB 与双曲线右支的交点时, |MA|+ |MF|取得最小值. 此 5 时,点 M 的坐标为?

a 9 36 ?3 5 ? ,2?,最小值为 9- =9- = . c 5 5 ? 2 ?
2

5


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