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角的概念的推广4


§4.1角的概念的推广2

? 复习回顾:

正角:射线按逆时针方向旋转形成的角

1.按旋转方向分 负角:射线按顺时针方向旋转形成的角 零角:射线不作旋转形成的角 1)置角的顶点于原点 象限角 2)始边重合于X轴的非负半轴 2.按位置分 3)终边落在第几象限就是第几象限角 轴线角 终边落在坐标轴上的角

412

y -330° 390° o
30°

x

=30°+0x360° 390°=30°+360°=30°+1x360° -330°=30°-360° =30°-1x360° 30°+2x360° , 30°-2x360° 与α终边相同的角的一般 30°+3x360°, 30°-3x360° 形式为 …, …, °,K ∈ Z α + K· 360 ° 与30 终边相同的角的一般形式 为30°+K· 360°,K ∈ Z S={ β| β= a+k· 360° , K∈ Z}

30°=

3 . 终边与 角α相同的角(连同角α在内)的集合:
{β|β=α+K· 360°,K∈Z}

说明:1) K∈Z 2) α是任意大小的角 3) 终边相同的角不一定相等, 但相等的角的终边一定相同 4) 终边相同的角有无限多个, 它们相差360°的整数倍。

练习:
1.分别写出下列角的集合: (1)锐角; (2)0°到90°的角; (3)0°~90°的角; (4)小于90°的角; (5)第一象限的角。

2.分别写出第一、二、三、四象限角的集合。

? 终边落在坐标轴上的情形 +K· 360° 90° y 或-270°+K· 360°

180° +K· 360° 或-180°+K· 360°

x o

0°+K· 360°

或360°+K· 360° 270° +K· 360° 或-90°+K· 360°

例1 在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相同 的角,并判定它们分别是第几象限角:
(1) 1990°12′; (2) -2006°; 解 : (1) 因为1990°12′=190°12′+5×360° ? 190?12?是与1990 ?12?终边相同的角 ? 190 ?12? 是第三象限的角

? 1990 ?12?是第三象限的角

2) ? ?2006? ? 154? ? 6 ? 360? ∴154°是与-2006°终边相同的角 ∵154°是第二象限的角
∴-2006°是第二象限的角

例2 写出终边落在Y轴上的角的集合。
? 终边落在坐标轴上的情形 +K· 360° 90°
y

180° +K· 360°
o

x

0°+K· 360°

270° +K· 360°

例2 写出终边落在y轴上的角的集合。
? 解:终边落在y轴非负半轴上的角的集合为: S1={β| β=90°+K?360°,K∈Z} {偶数}∪{奇数} ° ° , ={β| β=90 +2K?180 K∈Z} ={β| β=90°+180° 的偶数倍} ={整数} 终边落在y轴非正半轴上的角的集合为 S2={β| β=270°+K?360°,K∈Z} ={β| β=90°+180°+2K?180°,K∈Z} ={β| β=90°+(2K+1)180° ,K∈Z}
={β| β=90°+180° 的奇数倍} 90°+K?360°
Y X O

所以

终边落在y轴上的角的集合为

S=S1∪S2 ={β| β=90°+180° 的偶数倍}
∪{β| β=90°+180° 的奇数倍} ={β| β=90°+180° 的整数倍}

={β| β=90°+K?180° ,K∈Z}

270°+k?360°

例3 写出与45°角终边相同的角的集合,并把 该集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素 求出来。 解:与45°角终边相同的角的集合是:
S={β|β=45°+k· 360°,k∈Z} S中适合不等式-720°≤β<360°的元素是: 45°-2×360°=-675° 45°-1×360°=-315° 45°+0×360°=45°

练习

写出终边落在x轴上的角的集合
课本7页习题 2、 4题

? 小结:
正角:射线按逆时针方向旋转形成的角

1.任意角的概念 负角:射线按顺时针方向旋转形成的角
零角:射线不作旋转形成的角 1)置角的顶点于原点

2.象限角

2)始边重合于X轴的非负半轴 3)终边落在第几象限就是第几象限角

3 . 终边与 角α相同的角
α+K· 360°,K∈Z

练习: 写出终边落在 x 轴上的角的集合。
? 解:终边落在 x 轴非负半轴上的角的集合为 S1={β| β= K?360°,K∈Z} {偶数}∪{奇数} ={β| β= 2K?180°,K∈Z} ={整数} ° ={β| β= 180 的偶数倍} 终边落在 x 轴非正半轴上的角的集合为 S2={β| β=180°+ K?360°,K∈Z} ={β| β= 180°+ 2K?180°,K∈Z} ={β| β= (2K+1)180° ,K∈Z} ={β| β= 180°的奇数倍} 所以 终边落在 x 轴上的角的集合为 S=S1∪S2 ={β| β=180° 的整数倍} Y ={β| β=K?180° ,K∈Z}
180°+k?360°

X K?360° O



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哩!”耿正认真地听着。听完后点点头说:“老先生放心,我记住了!我们一定会按照您说的服药方法和间隔时间给老人家用 药的!那我明儿个上午过来接您?”张老郎中说:“好的,你半上午过来接我就行!”且说那窃贼虽然抢走了两位老人的钱财, 但厨房里的米饭粮油并没有受到损失。耿英听老人说想喝点儿有味儿的面汤,就赶快去厨房里精心做了一大碗香喷喷的蛋花汤 面。端过来放在床边的桌子上以后,耿英和弟弟一起轻轻地扶着老人家坐起来,一口一口慢慢地喂老人吃完。看老人吃饱了, 姐弟俩又小心地扶着他躺舒服了盖好被子。老人家太疲惫了,没有和姐弟俩说上几句话,就沉沉地睡着了。一会儿,耿正带着 药包、罐药壶和刚买的一小瓷瓶黄酒返回来了。看到老人已经睡着了,就小声儿对弟弟和妹妹说:“梁爷爷这膏药不着急贴, 咱先不打扰他了,让老人家好好儿睡一觉吧!只是梁奶奶这药丸儿可是越早服用越好呢,咱们现在就给老人家灌上才好!”于 是,兄妹三人把张老郎中的所有嘱咐再回忆复述两遍,就开始操作了。由于是第一次操作,他们都有些紧张,好在一切还算顺 利。用黄酒把一丸儿药化开以后,三分之一的药水儿终于顺顺当当地灌下去了,兄妹三人也累得跌坐在床边和凳子上动弹不了 了。歇息一会儿后,已经是半下午了。房东奶奶虽然给他们吃了早饭,但到现在了再也水米没有打牙,兄妹三人感到实在是又 渴又饿得了。耿英说:“我看到厨房里有一些没有卖完的米粥和烧饼呢,我去热热,咱们凑乎吃点儿吧!”兄妹三人胡乱吃喝 一些以后,耿正对弟弟说:“你回屋子里照看着爷爷和奶奶,我们俩回出租房去把咱们的铺盖先搬过来。咱们给奶奶再喂一次 药以后,也必须得睡一觉了。我都累得有些支持不住了!”耿英说:“我也是呢,有一些日子没有这样累了。”俩人返回出租 房后,只说梁爷爷和梁奶奶那边需要照顾,我们先把铺盖搬过去了。房东老夫妇看他俩一脸倦容,也就没有多问什么。晚上, 由于担心误了给梁奶奶喂药的时辰,耿正兄妹三人不敢同时都睡。耿英把灯芯拨小了一些,对哥哥和弟弟说:“你俩先去睡一 会儿吧,我来守着时间。等给梁奶奶再喂一次药以后,哥哥你换我,我再睡!”且说俩老人这简陋的居室里,除了沿墙支有一 张特别长的通铺大床,还有床一头的一个带有抽屉的小桌子之外,并没有摆放其他家具,所以显得很是宽敞。看看通铺大床上 空的地方很多,耿正就把自己和弟弟的被褥也放在床上展开,招呼弟弟倒头胡乱歇息了。如此,整整一个晚上,耿正和耿英轮 换着守护在床前给老人做一些简单的按摩,并时不时地去窗前望一眼夜空中那一轮朦朦胧胧的月亮,大致估摸着时间。如此, 赶天亮之前,又灌了两次药。而昏迷中的老妇人,似乎逐渐开始有了


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