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新思维高中数学函数与导数综合题型分类1


函数与导数综合题分类复习 题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开) ,极值,最值;不等式恒成立;此类问题 提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令

f ' ( x) ? 0 得到两个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知;
f ( x) ? g ( x) 恒成立

不等式恒成立问题的实

质是函数的最值问题,常见处理方法有四种: 第一种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元) ;第二种:分离变量求最值(请同 学们参考例 5) ;第三种:关于二次函数的不等式恒成立;第四种:构造函数求最值----题型特征

? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立;参考例 4;

2 x2 , g ( x) ? ax ? 5 ? 2a(a ? 0) 。 例 1.设 f ( x) ? x ?1 (1)求 f ( x ) 在 x ? [0,1] 上的值域; (2)若对于任意 x1 ? [0,1] ,总存在 x0 ? [0,1] ,使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围。
例 2 已知函数

f ( x) ? x3 ? ax2 图象上一点 P(1, b) 的切线斜率为 ?3 , g ( x) ? x3 ? t ? 6 x 2 ? (t ? 1) x ? 3
(Ⅱ)当 x ? [?1, 4] 时,求

2

(t ? 0)

(Ⅰ)求 a , b 的值;

f ( x) 的值域;

(Ⅲ)当 x ? [1, 4] 时,不等式 例 3.已知定义在 R 上的函数 (Ⅰ)求函数 例 4 已知函数 (1 ) (2 ) 答案: 、例 1 解:(1)法一:(导数法) ∴

f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。

( a ? 0) 在区间 ? ?2,1? 上的最大值是 5,最小值是-11. f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b f ( x) 的解析式; ? tx ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围. (Ⅱ)若 t ? [?1,1] 时, f ?( x)
,函数 g ( x) ?

x3 2 10 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 2 5 a 若函数 g ( x) 在 x ? 1 处有极值,求 g ( x) 的解析式; f ( x) ?
若函数 g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上为增函数,且 b
2

f ( x) ?

3bx2 ? 3. a2

? mb ? 4 ? g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上都成立,求实数 m 的取值范围.
在 x ? [0,1] 上恒成立.

f ?( x) ?

4 x( x ? 1) ? 2 x 2 2 x 2 ? 4 x ? ?0 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

f ( x) 在[0,1]上增,∴ f ( x) 值域[0,1]。 ?0, x ? 0 2 ? 2x ? ? ? 2 , x ? (0,1] , 复合函数求值域. 法二: f ( x) ? x ?1 ? 1 1 ? ? ? x x2 2 x 2 2( x ? 1)2 ? 4( x ? 1) ? 2 2 ? ? 2( x ? 1) ? ? 4 用双勾函数求值域. 法三: f ( x) ? x ?1 x ?1 x ?1 (2) f ( x ) 值域[0,1], g ( x) ? ax ? 5 ? 2a(a ? 0) 在 x ? [0,1] 上的值域 [5 ? 2a,5 ? a] . ?5 ? 2a ? 0 5 由条件,只须 [0,1] ? [5 ? 2a,5 ? a] ,∴ ? ? ?a?4. 2 ?5 ? a ? 1
特别说明:要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路,联想 2008 年全国一卷第 21 题,那是单调区间的子区间问题;

? f / (1) ? ?3 ?a ? ?3 , 解得 ? f / ( x) ? 3x2 ? 2ax ∴ ? ?b ? ?2 ?b ? 1 ? a (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) 在 [?1, 0] 上单调递增,在 [0, 2] 上单调递减,在 [2, 4] 上单调递减又 f (?1) ? ?4, f (0) ? 0,{ f ( x)}min ? f (2) ? ?4,{ f ( x)}max ? f (4) ? 16 ∴ f ( x ) 的值域是 [ ?4,16] t 2 x ? [1, 4] (Ⅲ)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x ) ? ? x ? (t ? 1) x ? 3 2 2 ∴要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立,只需 h( x) ? 0 ,即 t ( x ? 2 x) ? 2 x ? 6 2x ? 6 , 解得 t ? ?1 ; (1)当 x ? [1, 2) 时 t ? 2 x ? 2x
例 2、解: (Ⅰ) 1

? 2时 t?R; 2x ? 6 (3)当 x ? (2, 4] 时 t ? 2 解得 t ? 8 ;综上所述所求 t 的范围是 (??, ?1] [8, ??) x ? 2x
(2)当 x 特别说明:分类与整合,千万别忘了整合即最后要写“综上可知” ,分类一定要序号化;

4 ' 令 f ( x) =0,得 x1 ? 0, x2 ? ? ? ?2,1? , f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b,? f ' ( x) ? 3ax2 ? 4ax ? ax(3x ? 4) , 3 因为 a ? 0 ,所以可得表:因此 f (0) 必为最大值,∴ f(0) ? 5 因此 b ? 5 , f (?2) ? ?16a ? 5, f (1) ? ?a ? 5,? f (1) ? f (?2) , 3 即 f (?2) ? ?16a ? 5 ? ?11, ∴ a ? 1, ∴ f ( x) ? tx ? 0 ? x ? 2x 2 ? 5. (Ⅱ)∵ f ?( x) ? 3x 2 ? 4x ,∴ f ?( x) 2 2 等价于 3x ? 4 x ? tx ? 0 , 令 g (t ) ? xt ? 3x ? 4 x ,则问题就是 g(t ) ? 0 在 t ? [?1,1] 上恒成立时,求实数 x 的取值范
例 3、 解: (Ⅰ)

?3x 2 ? 5x ? 0 ? g (?1) ? 0 围,为此只需 ? ,即 ? ,解得 0 ? x ? 1 ,所以所求实数 x 的取值范围是[0,1]. 2 1) ? 0 ? g( ? x ? x?0 3 3 2 2 例 4 解:∵ f ?( x) ? 2 ? x ,∴由 2 ? x ? 3 有 x ? ? a ,即切点坐标为 ( a , a ) , (?a,?a) a a ∴切线方程为 y ? a ? 3( x ? a) ,或 y ? a ? 3( x ? a) ,整理得 3x ? y ? 2a ? 0 或 3x ? y ? 2a ? 0


| ?2 a ? 2 a | 3 2 ? (?1) 2

?

2 10 3 3 2 ,解得 a ? ?1 ,∴ f ( x) ? x ,∴ g ( x) ? x ? 3bx ? 3 。 (1)∵ g ?( x) ? 3x ? 3b , g ( x) 5

? 1 处有极值,∴ g ?(1) ? 0 ,即 3 ? 12 ? 3b ? 0 ,解得 b ? 1 ,∴ g ( x) ? x 3 ? 3x ? 3 2 (2)∵函数 g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上为增函数,∴ g ?( x) ? 3x ? 3b ? 0 在区间 [ ?1,1] 上恒成立,∴ b ? 0 ,又∵
在x

b 2 ? mb ? 4 ? g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上恒成立,∴ b 2 ? mb ? 4 ? g (1) ,即 b 2 ? mb ? 4 ? 4 ? 3b ,∴ m ? b ? 3 在 b ? (??,0] 上恒成立,∴ m ? 3 ∴ m 的取值范围是 ?3,???
题型二:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与 x 轴即方程根的个数问题; (1)已知函数在某个区间上的单调性(或极值)求参数的范围的常用方法有三种: (例 8,10,11,12,13,14,15,19,20,21) 第一种:转化为恒成立问题即

f ' ( x) ? 0或f ' ( x) ? 0 在给定区间上恒成立,然后转为不等式恒成立问题;用分离变量时要特

别注意是否需分类讨论(看是否在 0 的同侧) ,如果是同侧则不必分类讨论;若在 0 的两侧,则必须分类讨论,要注意两边同除 以一个负数时不等号的方向要改变呀!有时分离变量解不出来,则必须用另外的方法; 第二种:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集; 第三种方法:利用二次方程根的分布,着重考虑端点函数值与 0 的关系和对称轴相对区间的位置; 特别说明:做题时一定要看清楚“在(a,b)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b) ” ,要弄清楚两句话的区别; (例 8) (2)函数与 x 轴即方程根的个数问题解题步骤(例 8,9,11,13,14,15,16,18,19,20) 第一步:画出两个图像即“穿线图” (即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后 增再减” ; 第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) ;主要看极大值和极小值与 0 的关系; 第三步:解不等式(组)即可;

1 3 (k ? 1) 2 1 x ? x , g ( x) ? ? kx ,且 f ( x) 在区间 (2,??) 上为增函数. 3 2 3 (1)求实数 k 的取值范围; (2)若函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围. 3 3 2 例 6 已知函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 1 ? . (I)讨论函数 f ( x ) 的单调性。 a (II)若函数 y ? f ( x) 在 A、B 两点处取得极值,且线段 AB 与 x 轴有公共点,求实数 a 的取值范围。
例 5.已知函数

f ( x) ?

例 7.已知函数 f(x)=x3-ax2-4x+4a,其中 a 为实数. (Ⅰ)求导数 f ? (x);(Ⅱ)若 f ? (-1)=0,求 f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值; (Ⅲ)若 f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求 a 的取值范围

f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c (I)若函数 f ( x ) 的图像上存在点 P ,使点 P 处的切线与 x 轴平行,求实数 a , b 的关系式; (II)若函数 f ( x ) 在 x ? ?1 和 x ? 3 时取得极值且图像与 x 轴有且只有 3 个交点,求实数 c 的取值范围. 1 例 9.设 y ? f ( x ) 为三次函数,且图像关于原点对称,当 x ? 时, f ( x ) 的极小值为 ?1 . 2 (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)证明:当 x ? (1, ? ?) 时,函数 f ( x ) 图像上任意两点的连线的斜率恒大于 0.
例 8.已知:函数 2

)处的切线与直线 6 x ? y ? 7 ? 0. 平行,导函数 f ' ( x) 的最小 f ( x) ? ax3 ? bx(a ? 0) 图像在点(1,f(1) 值为-12。 (1)求 a、b 的值; (2)讨论方程 f ( x) ? m 解的情况(相同根算一根) 。 3 例 11.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a, b, c ? R) ,当 x ? ?1 时, f ( x ) 取得极大值 3, f (0) ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)已知实数 t 能使函数 f (x)在区间(t, t ? 3) 上既能取到极大值,又能取到极小值,记所有的实 f ( x) ( x ? M ) 的零点个数. 数 t 组成的集合为 M.请判断函数 g ( x ) ? x 3 2 2 例 12.已知函数 f ( x) ? kx ? 3(k ? 1) x ? 2k ? 4, 若f ( x) 的单调减区间为(0,4) 2 (I)求 k 的值; (II)若对任意的 t ? [?1,1],关于x的方程2 x ? 5x ? a ? f (t ) 总有实数解,求 a 取值范围。 3 2 例 13.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? x( x ? R, a, b 是常数 ) ,且当 x ? 1 和 x ? 2 时,函数 f ( x ) 取得极值. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与 g ( x) ? ?3x ? m(?2 ? x ? 0) 有两个不同的交点,求实数 m 的取值范围. 3 2 例 14.函数 f ( x) ? x ? 3t x ? m ( x ? R, t ? 0, m 、 t 为常数)是奇函数。ks5u (Ⅰ)求实数 m 的值和函数 f ( x ) 的图像与 x 轴交点坐标; (Ⅱ)设 g ( x) ?| f ( x) | , x ? ?0,1? ,求 g ( x) 的最大值 F (t ) . 例 10.在函数 例15.已知 f (x)=x +bx +cx+2.⑴若 f(x)在 x=1时有极值-1,求 b、c 的值; ⑵若函数 y=x +x-5的图象与函数 y= 例 16 设函数
2 3 2

k ?2 的图象恰有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围. x

1 3 x ? x 2 ? ax , g ( x) ? 2 x ? b ,当 x ? 1 ? 2 时, f ( x) 取得极值. 3 (1)求 a 的值,并判断 f (1 ? 2 ) 是函数 f ( x ) 的极大值还是极小值; (2)当 x ? [?3,4] 时,函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有两个公共点,求 b 的取值范围. f ( x) ?

f ( x) ? kx3 ? x 2 ? x ? 5 在 R 上单调递增,记 ?ABC 的三内角 A、B、C 的对应边分别为 a、b、c,若 33 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 时,不等式 f m ? sin 2 B ? cos( A ? C ) ? f (2 m ? ) 恒成立. 4 (Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)求角 cos B 的取值范围; (Ⅲ)求实数 m 的取值范围。
例 17 已知

?

?

答案: 例 5 解: (1)由题意

f ?( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ∵ f ( x) 在区间 (2,??) 上为增函数,∴ f ?( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ? 0 在区间 (2,??) 上恒成立,即 k ? 1 ? x 恒成立,又 x ? 2 ,∴ k ? 1 ? 2 ,故 k ? 1 ∴ k 的取值范围为 k ? 1
f ( x) ? g ( x) ?

x 3 (k ? 1) 2 1 ? x ? kx ? , h?( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ? k ? ( x ? k )(x ? 1) 3 2 3 2 令 h ?( x) ? 0 得 x ? k 或 x ? 1 由(1)知 k ? 1 ,①当 k ? 1 时, h?( x) ? ( x ? 1) ? 0 , h( x) 在 R 上递增,显然不合 题意?②当 k ? 1 时, h( x) , h ?( x ) 随 x 的变化情况如下表: x (??, k ) k (k ,1) 1 (1,??) — ? ? h ?( x ) 0 0 极大值 ↘ 极小值 ↗ h( x ) ↗ 3 2 k ?1 k k 1 ? ? ? 2 6 2 3 k ?1 3 2 ? 0 ,欲使 f ( x) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点,即方程 h( x) ? 0 有三个不同的实根,故需 ? k ? k ? 1 ? 0 , 由于 2 6 2 3 k ? 1 ? 2 即 (k ? 1)(k ? 2k ? 2) ? 0 ∴ ,解得 k ? 1 ? 3 ,综上,所求 k 的取值范围为 k ? 1 ? 3 ?
(2)设 h( x) ?
2 ?k ? 2k ? 2 ? 0

例 6 解: (1) f

?( x) ? 3ax2 ? 6x, f ?( x) ? 0得x1 ? 0或x 2 ?

2 2 2 ,当 a>0 时,( ?? ,0)递增, (0, )递减 , ( ,?? ) 递增; a a a

当 a<时, ( ?? ,

2 2 )递减 , ( ,0)递减 , (0,?? ) 递减。 (2)当 a>0 时 a a

3

x
f ?( x) f ( x)

(??,0)
+ 增

0 0 极大值

2 (0, ) a
- 减

2 a
0 极小值

2 ( ,?? ) a
+ 增

此时,极大值为

f (0) ? 1 ?

x
f ?( x) f ( x)
例 7、解: (Ⅰ)

2 (?? , ) a
- 减

3 2 4 3 , 极小值为 f ( ) ? ? 2 ? 1 ? . ????7 分。当 a<0 时 a a a a 2 2 (0,??) 0 ( ,0 ) a a
0 极小值 + 增 0 极大值 - 减

极大 f ( 2 ) ? ? 4 ? 1 ? 3 , 极小值为 f (0) ? 1 ? 3 . ,线段 AB 与 x 轴有公共点所以 f (0) ? f ( 2 ) ? 0即 (a ? 3)( a ? 4)( a ? 1) ? 0, 解得 a ? [?1,0) ? [3,4] a a a a2 a a3

f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 4 1 1 2 3 2 (Ⅱ) 由 f ?( ?1) ? 0得a ? ,? f ( x ) ? x ? x ? 4 x ? 2. f ?( x ) ? 3 x ? x ? 4 , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 3 2 2 9 50 4 50 9 f ( ) ? ? , f (?1) ? , f (?2) ? 0, f (2) ? 0, ? f ( x) 在[-2,2]上最大值 ,最小值 ? 2 27 3 27 2
(Ⅲ)

或 x= ?1 又

f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 ,

? f ?(?2) ? 0, ?4a ? 8 ? 0, 由题意知 ? ? ? ? f ?(2) ? 0, ? ?8 ? 4a ? 0, ? ?2 ? a ? 2. ? ? 2a ?6 ? a ? 6, ??2 ? ? 2, ? 6 ?
2
2

例 8、解: (I)设切点 P

( x? , y ? ) ? f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b | x? x? ? 0 , ? 3x? ? 2ax? ? b ? 0 ,因为存在极值点,所以

2 ? ? 4a 2 ? 12b ? 0 ,即 a 2 ? 3b 。 (II)因为 x ? ?1 , x ? 3 是方程 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ? 0 的根, 3 2 所以 a ? 3, b ? ?9 ,? f ( x) ? x ? 3x ? 9 x ? c 。 2 ? f ?( x) ? 3x ? 6x ? 9 ? 3( x ? 1)(x ? 3) ,? f ?( x) ? 0, x ? 3, x ? ?1 ;? f ?( x) ? 0,?1 ? x ? 3 ? f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值,在 x ? 3 处取得极小值. ? 函数图像与 x 轴有 3 个交点,? ? f (?1) ? 0 ,? c ? (?5,27)
? ? f (3) ? 0

其图像关于原点对称,即 f ( ? x ) ? ? f ( x ) 得 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) 3 2 3 2 3 d ? 0 , 则有 f ( x) ? ax ? cx 由 ?ax ? bx ? cx ? d ? ?ax ? bx ? cx ? d ∴ b ? 0 3 1 ?1? ?1? 1 f ?( x) ? 3ax 2 ? c , 依题意得 f ? ? ? ? 0 ∴ a ? c ? 0 ① , f ? ? ? a ? c ? ?1 ② 由①②得 4 2 ?2? ?2? 8 1 1 a ? 4, c ? ?3 故所求的解析式为: f ( x) ? 4 x 3 ? 3x .(Ⅱ)由 f ?( x) ? 12 x2 ? 3 ? 0 解得: x ? 或 x ? ? , 2 2 1 (1, ? ?) ? ( , ? ?) ∴ x ? (1, ? ?) 时,函数 f ( x ) 单调递增;设 ? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? 是 x ? (1, ? ?) 时,函数 f ( x ) 2 y ? y1 ?0. 图像上任意两点,且 x2 ? x1 ,则有 y2 ? y1 ∴过这两点的直线的斜率 k ? 2 x2 ? x1 例 9 解: (Ⅰ)设 例 10、解: (1)?

f ' ( x) ? 3ax2 ? b的最小值为? 12,?b ? ?12, 且a ? 0.

(3' ) 又直线
(6' )

6x ? y ? 7 ? 0的斜率为? 6,因此f ' (1) ? 3a ? b ? ?6, ? a ? 2, b ? ?12.
(2)由(1)知 x f′ f(x)

f ( x) ? 2x 3 ? 12x,? f ' ( x) ? 6x 2 ? 12 ? 6( x ? 2 )(x ? 2 ) ,列表如下:
(??,? 2 )
+

? 2
0 极大值

(? 2 , 2 )


2
0 极小值

( 2 ,??)
+

所以,函数 f(x)的单调增区间是 (??,?

2 ) 和 ( 2 ,??)
4

? f (?1) ? 10, f ( 2 ) ? ?8 2 , f (3) ? 18, f ( x)在x ? ? 2上的极大值是 f (? 2 ) ? 8 2 , f ( x)在x ? 2上的极小值是 f ( 2 ) ? ?8 2. ?当m ? 8 2 , 或m ? ?8 2时, 方程有一根 ;当m ? 8 2 , 或m ? ?8 2时, 方程有二根 ; 当 ? 8 2 ? m ? 8 2时, 方程有三根 . (12' )

、例 11 解: (1)由

f (0) ? 1 得 c=1

? f ' (?1) ? 3a ? b ? 0 ,得 a ? 1, b ? ?3 ∴ f ' ( x) ? 3ax2 ? b, ? ? f (?1) ? ?a ? b ? 1 ? 3

f ( x) ? x 3 ? 3 x ? 1 ' (2) f ( x) ? 3( x ? 1)(x ? 1) 得 x ? ?1 , x ? 1 时取得极值.由 ? 1 ? (t , t ? 3) , 1 ? (t , t ? 3) 得 ? 2 ? t ? ?1. ∴ 1 ' ' f ( x) 1 M ? (?2,?1) . g ( x) ? ? x 2 ? ? 3 , g ( x ) ? 2 x ? 2 ,∴当 x ? M 时, g ( x) ? 0 , ∴ g ( x) 在 M 上递减. x x x 1 f ( x) , x ? M 的零点有且仅有 1 个 又 g ( ?2) ? , g ( ?1) ? ?3 ∴函数 g ( x ) ? 2 x 2 例 12、解: (I) f ?( x) ? 3kx ? 6(k ? 1) x 又? f ?(4) ? 0,? k ? 1(II) ? f ?(t ) ? 3t 2 ? 12t ? ?1 ? t ? 0时f ?(t ) ? 0;0 ? t ? 1时f ?(t ) ? 0 。 8a ? 25 8a ? 25 15 f (?1) ? ?5, f (1) ? ?3, ? f (t ) ? ?5 ? 2 x 2 ? 5 x ? a ? ? ? ?5解得 a ? ? 8 8 8
例 13 解: (Ⅰ)

3a ? 2b ? 1 ? 0, 解得 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 1 ,依题意 f ?(1) ? f ?(2) ? 0 ,即 ? ? ?12a ? 4b ? 1 ? 0,

1 3 3 2 1 3 a ? ? , b ? ∴ f ( x) ? ? x ? x ? x (Ⅱ)由(Ⅰ)知,曲线 6 4 6 4
的交点,即

y ? f ( x) 与 g ( x) ? ?3x ? m(?2 ? x ? 0) 有两个不同

1 3 1 3 3 2 x ? x ? 2 x ? m ? 0 在 ?? 2,0? 上有两个不同的实数解。设 ? ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? m ,则 6 4 6 4 1 2 3 ? ? x ? 4 x ? ? 1 或 ,当 x ? (?2,?1) 时 ? ( x) ? 0 ,于是 ? ( x) 在 ?? 2,?1? 上递增;当 ? ?( x) ? x ? x ? 2 , 由 ? ( x ) ? 0 的
2 2

x ? (?1,0) 时 ? ?( x) ? 0 ,于是 ? ( x) 在 ?? 1,0? 上递减.

依题意有

1 ? ∴实数 ?m ? ? 3 ?? (?2) ? 0 ? 13 13 ? ? ?0?m? ?? (?1) ? 0 ? ? m ? 12 12 ? ? ( 0) ? 0 ? m ? 0 ? ? ? ?

m 范围 0 ? m ? 13 .
12

例 14 解: (Ⅰ) m

? 0 , y ? f ( x) 与 x 轴交点为 (0,0) , (? 3t ,0)
3 2

, (Ⅱ)

? ?? x ? 3t x,0 ? x ? 3t g ( x) ?| x 3 ? 3t 2 x |?| x | ? | x 2 ? 3t 2 |? ? ,当 0 ? x ? 3t 时,由 3 2 ? x ? 3 t x , x ? 3 t ? g ( x) ? ?3( x ? t )(x ? t ) ? 0 ,得 x ? t 或 x ? ?t (舍) ,∴ g ( x) 在 ?0, t ? 上单调递增,在 t , 3t
当x

? 3t 时,由 g ?( x) ? 3( x ? t ) ? 0 得 g ( x) 在 3t ,??
2 2

?

?上单调递增。如图所示,为 y ? g ( x) 在 ?0,??? 上的图像。
当1 ?

?

?上单调递减。

∵当 0 ?

x ? 3t 时, g ( x)极大 ? g (t ) ? 2t

3

,∴当 x

? 3t 时,由 x 3 ? 3t 2 x ? 2t 3 ? x ? 2t
2t ? 2 时, F (t ) ? g (t ) ? 2t 3

故 g (t ) 的最大值 F (t ) 的情形如下:当 0 当t

? 2t ? 1 时, F (t ) ? g (1) ? 1 ? 3t 2
1 ? 2 ?1 ? 3t ,0 ? t ? 2 ? 1 ? F (t ) ? ?2t 3 , ? t ? 1 2 ? ?3t 2 ? 1, t ? 1 ? ?

? 1 时, F (t ) ? g (1) ? 3t 2 ? 1 ∴

例15、解:⑴f '(x)=3x +2bx+c,由题知 f '(1)=0 ? 3+2b+c=0,f(1)=-1 ? 1+b+c+2=-1∴b=1,c=-5,f(x)
2

=x +x -5x+2,f'(x)=3x +2x-5,f(x)在[- ⑵即方程: x
2

3

2

2

k ?2 3 2 恰有三个不同的实解:x +x -5x+2=k(x≠0),即当 x≠0时,f (x)的图象与直线 y=k 恰有三个 x 5 229 5 5 不同的交点,由⑴知 f (x)在 [??, ? ] 为增函数,f (x)在 [? ,1] 为减函数,f (x)在(1,+∞)为增函数,又 f (? ) ? , 3 3 3 27 ? x ?5?
5

5 ,1]为减函数,f (x)在(1,+∞)为增函数∴b=1,c=-5符合题意 3

f (1)=-1,f (2)=2∴ ?1? k ? 例 16 解: (1)由题意

229 且 k≠2 27

? 1? 2

?

?

2

? 2 1 ? 2 ? a ? 0 ? 即 a ? ?1

?

f ?( x) ? x 2 ? 2 x ? a ? 当 x ? 1 ? 2 时, f ( x) 取得极值, ? 所以 f ?(1 ? 2 ) ? 0

?

此时当 x

? 1 ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,

f (1 ? 2 ) 是函数 f ( x) 的最小值。 1 3 1 x ? x 2 ? 3 x ? b ? 0 , b ? x 3 ? x 2 ? 3 x ??8 分 (2)设 f ( x) ? g ( x) ,则 3 3 1 3 2 2 2 设 F ( x) ? x ? x ? 3x , G ( x) ? b F ?( x) ? x ? 2 x ? 3 ,令 F ?( x) ? x ? 2x ? 3 ? 0 解得 x ? ?1 或 x ? 3 列表如下: 3 3 在 (?3,?1) 和 ? 函数 F ( x) x (?1,3) (3,4) (?3,?1) ?3 ?1 4 函数,在 (3,4) 上是增 F ?( x) __ 0 + 0 ? 减函数。 (?1,3) 上是 5 20 F ( x) 有极大 当 x ? ?1 时, F ( x) ? ?9 ?9 3 3 5 F ( ?1) ? ; 值 3 当 x ? 3 时, F ( x ) 有极小值 F (3) ? ?9 ? 函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有两个公共点,? 函数 F ( x) 与 G ( x) 的图象有两个公共点 20 5 20 5 ?? ?b? ? b ? (? , ) ? ?? 9? 或 b ? ?9 3 3 3 3 3 2 2 例 17、解:(1)由 f ( x) ? kx ? x ? x ? 5 知 f ?( x) ? 3kx ? 2 x ? 1 , ? f ( x) 在 R 上单调递增,? f ?( x) ? 0 恒成立,? 3k ? 0 且 1 ? ? 0 ,即 k ? 0 且 4 ? 12k ? 0 ,? k ? . 3 a 2 ? c 2 ? b 2 ac 1 ? 2 2 2 ? ? ,? 0 ? B ? , (2)? a ? c ? b ? ac ,由余弦定理: cos B ? 3 2ac 2ac 2 33 2 (3) ? f ( x ) 在 R 上单调递增,且 f ?m ? sin B ? cos( A ? C )? ? f (2 m ? ),
4
所以

33 4 1 33 33 29 ? sin 2 B ? cos( A ? C ) ? ? ? sin 2 B ? cos B ? ? cos 2 B ? cos B ? ? (cos B ? ) 2 ? 7 ? 8 , 4 4 4 2 m ? sin 2 B ? cos( A ? C ) ? 2 m ?

6


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