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湖北省部分重点中学2013届高三上学期期中联考数学(文,理)试题


湖北省部分重点中学 2013 届高三上学期期中联考数学 (理)试题
命题:武汉四中
考试时间:2012 年 11 月 16 日下午 2:30~4:30

审题:红安一中
本卷三大题 21 小题 试卷满分 150 分

一、选择题:本大题共 l0 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是 满足题目要求的.把答案写在答题卡中指定的答题处. 1.设 A、B 是非空集合,定义 A×B={x| x∈A∪B 且 x ? A∩B},已知 A={x| y= 2x-x2}, B={y| y=2x, x>0},则 A×B=( A.[0, 1]∪(2, +∞) ) C.[0, 1] D.[0, 2]

B.[0, 1)∪(2, +∞) )

2.下列四个命题中的假命题是(

A.若方程 x2+(a-3) x+a=0 有一个正实根,一个负实根,则 a<0 B.函数 y= x2-1+ 1-x2的图像既关于原点对称,又关于 y 轴对称 C.函数 f (x)的值域是[-2,2],则函数 f (x+1)的值域为[-3,1] D.曲线 y=|3-x2|和直线 y=a 的公共点个数是 m,则 m 的值不可能是 1 ― → ― → ― → ― → ― → ― → 3.已知| OP |=1,| OQ |= 3, OP ⊥ OQ ,点 R 在△POQ 内,且∠POR=30° OR =m OP + , m ― → n OQ (m,n∈R),则 等于( ) n 1 3 A. B.3 C. D. 3 3 3 π 5π 4.已知函数 f (x)=Asin(ωx+φ),(0<φ<π)的图像如右图所示,若 f (x0)=3,x0∈( , ),则 3 6 sinx0 的值为( 3 3+4 A. 10 3+4 3 C. 10 ) 3 3-4 10 3-4 3 D. 10 B. )
5 4π 3

y

o
-5

π 3

x

5.函数 f (x)的定义域为 R,若 f (x+1)与 f (x-1)都是奇函数.则( A.f (x)是偶函数 C.f (x+2)=f (x) B.f (x)是奇函数 D.f (x+3)是奇函数

6.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*),若2(Sn+1)=3an,则 lim A.9
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n??

Sn =( an



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B.3

C.

3 2

D.

2 3 )

1 7.若变量 x,y 满足| x |-ln =0,则 y 关于 x 的函数图象大致是( y

π π ― → ― ― → → 8.函数 y=tan( x- )的部分图像如图所示,则( OB - OA )· =( OB 4 2 A.-4 C.-2 B.2 D.4



y 1 o A B x

9.在平面内,点 A、B、C 分别在直线 l1、l2、l3 上,l1∥l2∥l3(l2 在 l1 与 l3 之间),l1 与 l2 之间距 ???? 2 ― ― → → 离为 1,l2 与 l3 之间距离为 2,且 AB = AB · ,则△ABC 的面积最小值为( AC ) 4 3 2 3 A.4 B. C.2 D. 3 3 10.要在如下表所示的 5× 正方形的 25 个空格中填入自然数,使得每一行,每一列的数都成等差 5 数列. ※ 74 2y y 0 186 x 103 2x ( D.372 )

则填入标有※的空格的数是 A.309 B.142

C.222

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在答题卡对应题号的位置上. ??? ? ???? 11.把点 A(2,1)按向量 a=(-2,3)平移到 B,若 OB ? ?2 BC ,则 C 点坐标为_______. ? ? 1,x∈[0,1] 12. 已知 f (x)=? ,若 f [f (x)]=1 成立,则 x 的取值集合 ? ? x-3,x∈(-∞, 0)∪(1, +∞) 为 .
? y≥x-1 ? ? ? y≤1-3| x |

13.在坐标平面上,不等式组?

所表示的平面区域的面积为



14.设函数 f (x)=x| x |+bx+c(b、c 是常数),下列表述正确的是 (将你认为表述正确的 序号都填上) ①当 b>0,函数 f (x)在 R 上是递增函数; ②当 b<0,函数 f (x)在 R 上有最小值; ③函数 f (x)的图像关于点(0,c)对称; ④方程 f (x)=0 可能有三个实数根.a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12……,将数列 {an}中各项按照上小下大,左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表: 3 5 6 9 10 12 ………… …… 则第四行四个数分别为 ;且 a2012= (用 2s+2t 形式表示).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.将解答写 在答题卡对应题号的位置处. 16.(12 分)已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且:sinA+sinB-3sinC=0, a+b+c=4. (1)求边长 c 的值; 1 (2)若△ABC 的面积 S=1- (a2+b2);求: 9 ①sinC 的值; a2+b2 ② 的值. asinA+bsinB
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17.(12 分)在平面直角坐标系中,已知三个点列{An}、{Bn}、{Cn},其中 An(n,an)、 ― → ― ― → Bn(n,bn)、Cn(n-1,0),满足向量AnAn+1与向量BnCn共线,且点列{Bn}在斜率为 6 的直线上, a1=a,b1=-a. (1)试用 a 与 n 表示 an(n≥2); (2)若 a6 与 a7 两项中至少有一项是 an 的最小值,试求 a 的取值范围.

― → ― → 18.(12 分)已知对任意平面向量 AB =(x,y),我们把 AB 绕其起点 A 沿逆时针方向旋转 θ 角得 ― → ― → ― → 到向量 AP =(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ),称为 AB 逆旋 θ 角到 AP .

? → → → (1)把向量 a =(2,-1)逆旋 角到 b ,试求向量 b .
3

(2)设平面内函数 y=f (x)图像上的每一点 M,把 OM 逆旋

? 角到 ON 后(O 为坐标原点),得到 4

的 N 点的轨迹是曲线 x2-y2=3,当函数 F (x)=λ f (x)-|x-1|+2 有三个不同的零点时,求实数 λ 的取值范围.

19.(12 分)如图如示,三台机器人 M1、M2、M3 和检测台 M(M 与 M1、M2、M3 均不能重合)位 于一条直线上,三台机器人需把各自生产的零件送交 M 处进行检测,送检程序设定:当 M1 把零件 送达 M 处时,M2 即刻自动出发送检;当 M2 把零件送达 M 处时,M3 即刻自动出发送检.设 M2 的 送检速度 υ,且送检速度是 M1 的 2 倍,是 M3 的 3 倍.

(1)求三台机器人 M1、M2、M3 把各自生产的零件送达检测台 M 的时间总和; (2)现要求三台机器人 M1、M2、M3 送检时间总和必须最短,请你设计出检测台 M 在该直线上的 位置.

20.(13 分)设定义在[x1,x2]上的函数 y=f (x)的图像为 C,C 的端点为 A,B,P (x,y)为 C 上任 ― → ― → ― → ― → ― → 意一点,若 OA =(x1,y1), OB =(x2, y2),且 x=λx1+(1-λ)x2;记OM =λ OA +(1-λ) OB ,现 定义“当 PM ? k (k 为正的常数)恒成立时,称函数 y=f (x)在[x1,x2]上可在标准 k 下线性近 似”. (1)证明:0≤λ≤1; (2)请给出一个标准 k 的范围,使得在[0,1]上的函数 y=x2 与 y=x3 中有且只有一个可在标准 k 下线性近似.

21.(14 分)设 f (x)=x·x; 3 (1)求函数 y=f (x)- 3(ln 3 ? 1) x 的最小值. (2)对于 ? a、b、c∈R,当 a+b+c=3 时,求证:3aa+3bb+3cc≥9.

数学(理科)参考答案及评分标准
一、 选择题

5.D ? f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数

? f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ?? ? f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) 由 f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) 有 f ( x ? 2) ? ? f (? x) 1) 1) 由 f (-x- ? ? f ( x- 有f (-x) ? ? f ( x-2) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) 故 f ( x ? 3) ? f ( x ? 1) 而 f ( x ? 1) 为奇函数

M

A l1 l2

B

l3 N C

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? AB ? BC ? 0 故 AB ? BC 1 设 ?MAB=? ,则S?ABC ? AB ? BC 2 1 1 2 ? ? 2 sin ? cos ? 2 ? ?2 sin 2? ? (仅当 ? ? 时取等号) 4 ? S?ABC 最小值为 2
10.B 设 aij 表示第 i 行第 j 列的数.

x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时, 0≤x-3≤1 或 ?

? x ? 3 ? [0,1] ? 3 ? x ? 4或x ? 7 ? f [ f ( x)] ? f ( x ? 3) ? ( x ? 3) ? 3 ? 1
1 1 3 ? 2? ?1 ? ( ) 2 2 2

13.

3 2

作出不等式组表示的平面区域如图,阴影部分面积为 S=

14. ①③④ ∵函数 g ( x) ? ∴ f ( x) =

x x ? bx 关于原点对称,

x x ? bx ? c 关于点( 0, c )对称,故③正确.

2 又∵当 b ? 0 , f ( x ) = x ? bx ? c 在 [0, ??) 上递增,

由 f ( x ) 关于点( 0, c )对称知 f ( x ) 在 ( ??, 0] 上也递增, ∴ f ( x ) 在 R 上递增.故②错①正确, 又∵当 b ? o , f ( x ) =0 可能有一个或三个实数根,∴ ④正 确.

三、解答题 16.(1)∵ sin A ? sin B ? 3sin C ∴ a ? b ? 3c 而 a ? b ? c ? 4 ,故 c ? 1 ……4 分 (2)①∵ S ∴ sin C ?
△ABC



(a ? b) 2 ? 2ab 2ab 1 1 ab sin C ? 1 ? (a 2 ? b 2 ) = 1 ? = 2 9 9 9

4 ……8 分 9 a b c 9 ②∵ ? ? ? sin A sin B sin C 4



a2 b2 9 ? ? , a sin A b sin B 4

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a 2 ? b2 9 故 ? ……12 分 a sin A ? b sin B 4

18.(1) b ? (2 cos

?

?

依题意 ( x cos

???? ???? ? ON ? ( x0 , y0 ) , OM ? ( x , y ) ? ? ?
4 ? y sin 4 , x sin

3 3 (2)设 M ( x, y ) , N ( x0 , y0 )

? sin

?

, 2sin

? cos ) ? ( 3 3 2 2 则 x0 ? y0 ? 3

?

?

2 ? 3 2 3 ?1 , ) ………4 分 2 2

? y cos ) ? ( x0 , y0 ) 4 4

?

x0 ?

2 ( x ? y) 2
2

y0 ?

又∵ x0

? y02 ? 3
3 2x

化简得 y ? ?

2 ( x ? y ) ………6 分 2 2 ( x ? y)2 ( x ? y) ? ?3 2 2 3 即 f ( x) ? ? 2x

1 1 设 M2 的送检速度为 υ,则 M1 的送检速度为 υ,M3 的送检速度为 υ,故三台机器人 M1、M2、M3 按 2 3 2 1 3 4 程序把各自的生产零件送达检测台 M 处的时间总和为:y= + + = .……(4 分) υ υ υ υ 2 3 (2)设 x 为检测台 M 的位置坐标,则三台机器人 M1、M2、M3 与检测台 M 的距离分别为|x- (-2)|、|x-1|、|x-3|. 于是三台机器人 M1、M2、M3 按程序把各自的生产零件送达检测台 M 处的时间总和 |x-(-2)| |x-1| |x-3| 1 为:y= + + = (2|x+2|+|x-1|+3|x-3|).………(8 分); 1 υ 1 υ υ υ 2 3 下面求 f (x)=2|x+2|+|x-1|+3|x-3|的最小值.

??6 x ? 6( x ? ?2) ??2 x ? 14(?2 ? x ? 1) ? f ( x) ? ? ,由分段函数图象得: ?12(1 ? x ? 3) ?6 x ? 6( x ? 3) ?
12 .………(10 分) υ 又检测台 M 与 M1、M2、M3 均不能重合,故可将检测台 M 设置在直线上机器人 M2 和 M3 之间的 任何位置(不含 M2、M3 的位置),都能使各机器人 M1、M2、M3 的送检时间总和最短.……… (12 分) 当 x∈[1, 3]时,有 f (x)min=12,即送检时间总和最短为

21.(1)而 x>1 时 ?

?3x ? 3 ? 0 ?1 ? x ln 3 ? 1 ? ln 3 ? 0
? y? ? 0 ………4 分

? 3x (1 ? x ln3) ? 3(1 ? ln3)

?0 ? 3x ? 3 0 ? x ? 1时 ? ?0 ? 1 ? x ln 3 ? 1 ? ln 3 x ? 3 (1 ? x ln3) ? 3(1 ? ln3) ? y? ? 0 ………6 分
?3 ? 1 ? 3 ? x ? 0时? x ? x ? 3 ln 3 ? 0 ? ? 3x ? x3x ln 3 ? 3 ? y? ? 0 ………8 分
x

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故函数 y 在

? ??,1? 递减,



?1, ??? 递增

? y 的最小值为 ymin ? y

x?1

? ?3ln3 ………10 分

湖北省部分重点中学 2013 届高三上学期期中联考数学 (文)试题
命题:武汉四中
考试时间:2012 年 11 月 16 日下午 2:30~4:30

审题:红安一中
本卷三大题 21 小题 试卷满分 150 分

一、选择题:本大题共 l0 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 满足题目要求的.把答案写在答题卡中指定的答题处. 1.已知 A={x| y= 2x-x2},B={y| y=2x, x>0},则 A∪B=( ) A.[0, 1] B.(2, +∞) C.[0, 2] D. [0,??) 2.下列四个命题中的假命题是( ) A.若方程 x2+(a-3)x+a=0 有一个正实根,一个负实根,则 a<0 B.函数 y= x2-1+ 1-x2的图像既关于原点对称,又关于 y 轴对称 C.函数 f (x)的值域是[-2,2],则函数 f (x+1)的值域为[-3,1] D.曲线 y=|3-x2| 和直线 y=a 的公共点个数是 m,则 m 的值不可能是 1 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 3.已知| OP |=1,| OQ |= 3, OP ⊥ OQ ,点 R 在△POQ 内,且∠POR=30° ,设 OR =m OP + m ―→ n OQ (m,n∈R),则 等于( ) n 1 3 A. B.3 C. D. 3 3 3 π 5π 4.已知函数 f (x)=Asin(ωx+φ),(0<φ<π)的图像如右图所示,若 f (x0)=3,x0∈( , ),则 3 6 sinx0 的值为( ) y 3 3+4 3 3-4 5 A. B. 10 10 4π 3+4 3 3-4 3 x 3 C. D. o π 10 10 3 5.下列函数中,既是偶函数,又在区间 (1, 2) 内是增函数的为( ) -5 e x ? e? x A. y ? cos 2 x B. y ? log 2 | x | C. y ? 2 D.

y ? x3 ? 1
a2+a5 =( a1+a4 ) D. 2 3

6.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*),若 2 (Sn+1)=3 an,则 A.9 B.3 C. 3 2

1 7.若变量 x,y 满足| x |-ln =0,则 y 关于 x 的函数图象大致是( y
y
y 1


y

y

1 o A

-1
x
o B x

o

1

x
-1 o 1

x

C

D

8.函数 y=sin πx 的部分图像如图所示,O 为坐标原点,P 是图像的最高点,A、B 分别是图像与 y P x 轴的两交点,则 tan∠APB 等于( ) A.10 B.8 8 4 B o C. D. x A 7 7 9.在平面内,点 A、B、C 分别在直线 l1、l2、l3 上,l1∥l2∥l3(l2 在 l1 与 l3 之间),l1 与 l2 之间距 ―→ ―→ ―→ 离为 1,l2 与 l3 之间距离为 2,且 AB 2= AB · ,则△ABC 的面积最小值为( AC ) 4 3 2 3 A.4 B. C.2 D. 3 3 10.要在如下表所示的 5× 正方形的 25 个空格中填入自然数,使得每一行,每一列的数都成等差 5 数列. ※
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74 则 x,y 的值分别为( A.1,5 C.13,50 ) 2y y 0 186 x 103 2x B.5,13 D.50,13

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在答题卡对应题号的位置上. ??? ? ???? 11.把点 A(2,1)按向量 a=(-2,3)平移到 B,若 OB ? ?2 BC ,则 C 点坐标为_______. ? ? 1,x∈[0,1] 12.已知 f (x)=? ,若 f [f (x)]=1 成立,则 x 的取值集合 ? ? x-3,x∈(-∞, 0)∪(1, +∞)
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? y≥x-1 ? ? y≤1-3| x | ?

13.在坐标平面上,不等式组?

所表示的平面区域的面积为



14.若定义 f (n)为 n2+1 的各位数字之和(n∈N*),如 132+1=170,则 f (13)=1+7+0=8.记 f1 (n)=f (n),f2 (n)=f [f1 (n)],…,fk+1(n)=f [fk (n)] (k∈N*),则 f2012 (9)= . 15.设函数 f (x)=x| x |+bx+c(b、c 是常数),下列表述正确的是 序号都填上) ①当 b>0,函数 f (x)在 R 上是递增函数; ②当 b<0,函数 f (x)在 R 上有最小值; ③函数 f (x)的图像关于点(0,c)对称; ④方程 f (x)=0 可能有三个实数根.
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(将你认为表述正确的

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.将解答写 在答题卡对应题号的位置处. 16.(12 分)已知△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且:sinA+sinB-3sinC=0, a+b+c=4. (1)求边长 c 的值; 1 (2)若△ABC 的面积 S=1- (a2+b2);求: 9 ①sinC 的值; a2+b2 ② 的值. asinA+bsinB

17.(12 分)在平面直角坐标系中,已知三个点列{An}、{Bn}、{Cn},其中 An(n,an)、 ――→ ―→ Bn(n,bn)、Cn(n-1,0),满足向量AnAn+1与向量BnCn共线,且 bn+1-bn=6,a1=a,b1=-a. (1)试用 a 与 n 表示 an(n≥2); (2)若 a6 与 a7 两项中至少有一项是 an 的最小值,试求 a 的取值范围.

18.(12 分)在平面直角坐标系中,已知 A(-1,2),B(0,x2+2),C(x+2tanθ-1,y+3)三点共 π π 线.θ 为常数且 θ∈(- , ). 2 2 (1)求 y 关于 x 的函数 y=f (x)的表达式; (2)是否存在常数 tanθ,使函数 y=f (x)在[-1, 3]上的最小值为 tanθ?如果存在,求出 tanθ, 如果不存在,说明理由.

19.(12 分)如图如示,三台机器人 M1、M2、M3 和检测台 M(M 与 M1、M2、M3 均不能重合)位 于一条直线上,三台机器人需把各自生产的零件送交 M 处进行检测,送检程序设定:当 M1 把零件 送达 M 处时,M2 即刻自动出发送检;当 M2 把零件送达 M 处时,M3 即刻自动出发送检.设 M2 的 送检速度 υ,且送检速度是 M1 的 2 倍,是 M3 的 3 倍.

(1)求三台机器人 M1、M2、M3 把各自生产的零件送达检测台 M 的时间总和; (2)现要求三台机器人 M1、M2、M3 送检时间总和必须最短,请你设计出检测台 M 在该直线上的 位置.

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20.(13 分)设定义在[x1,x2]上的函数 y=f (x)的图像为 C,C 的端点为 A,B, P (x,y)为 C 上 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 任意一点,若 OA =(x1,y1), OB =(x2,y2),且 x=λx1+(1-λ)x2;记 OM =λ OA +(1-λ) OB , ―→ 现定义“当| PM |≤k(k 是正的常数)恒成立时,称函数 y=f (x)在[x1,x2]上可在标准 k 下线性近 似”. (1)证明:0≤λ≤1; (2)请给出一个标准 k 的范围,使得在[0,1]上的函数 y=x2 与 y=x3 中有且只有一个可在标准 k 下线性近似.

21.(14 分)已知定义在 R 的单调函数 f (x),存在常数 x0,使得对于任意的 x1、x2∈R,总有

f (x0x1+x0x2)=f (x0)+f (x1)+f (x2) 成立. (1)求 x0 的值; (2)若 f (x0)=1,an= 1 1 (n∈N+),Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,试比较 Sn 与 的大小. f (n) 2



学(文科)
答案及评分细则 一、 选择题

5.B

函数

y ? log2 x 为偶函数,且当 x ? 0 时,函数 y ? log2 x ? log2 x 为增函数,所以在 (1,2)
3 an 2 3 Sn ?1 ? 1 ? an ?1 2

上也为增函数,选 B. 6.B , ? n ? 1,a1 ? 2 n ? 2 时, S n ? 1 ?

? an ?

3 3 an ? an ?1 ? an ? 3an?1 ,故 Sn ? 3n ?1 , an ? 2 ? 3n?1 2 2 a ? a a (1 ? q3 ) ? 2 5? 2 ? q ? 3,?选 B a1 ? a4 a1 (1 ? q3 )

7.B

1 ?e ? x , x ? 0 1 ? ,利用指数函数图像知选 B ? 0 ,有 y ? x = ? x y e ?e , x ? 0 ? 1 8.D ? 点 P 为 ( ,1) ,A 为(1,0),B 为(2,0) 2 设 P 在 x 轴上射影为 P? 则 tan?APB ? tan( P?PB ? ?P?PA) ? 3 1 ? 4 ? 2 2 ? 3 1 7 1? ? 2 2


x ? ln

? 2a33 ? 103 ? 2 y ? 83 ? 2 ? 74 ? 3 y ? 2 y ? 83 ? y ? 13 故 x ? 50
由第 3 列有 a23 二、填空题 11. (0,2)

? B(0,4), ? ?2BC ,? OB ? ?2(OC ? OB ) ? OC ? OB

? C 点坐标为(0,2).

1 OB ? (0,2) 2

12.{x∣0≤x≤1 或 3≤x≤4 或 x=7} 要使 f[f(x)]=1,则 f(x)∈[0,1],∴x∈[0,1]显然满足. x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,

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?{ f n (9)} 为除去前两项后,是以 3 为周期的数列. 而 2012-2=2010=3×669+3,? f 2012 (9) ? f 5 (9) ? 11
15. ①③④ ∵函数 g ( x) ? ∴ f ( x) =

x x ? bx 关于原点对称,
2

x x ? bx ? c 关于点( 0, c )对称,故③正确.

又∵当 b ? 0 , f ( x ) = x ? bx ? c 在 [0, ??) 上递增, 由 f ( x ) 关于点( 0, c )对称知 f ( x ) 在 ( ??, 0] 上也递增, ∴ f ( x ) 在 R 上递增.故②错①正确, 又∵当 b ? 0 , f ( x ) =0 可能有一个或三个实数根,∴ ④正确. 三、解答题

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? a ? b1 ? b2 ? ? ? bn?1 (n ? 1)( n ? 2) ? a ? (?a)( n ? 1) ? ? 6 ? a ? a(n ? 1) ? 3(n ? 1)( n ? 2) 2 ? 3n2 ? (9 ? a)n ? 6 ? 2a(n ? 2) . …………7 分 a?9 2 (2)? 二次函数 f ( x) ? 3x ? (a ? 9) x ? 6 ? 2a 是开口向上,对称轴为 x ? 的抛物线. 6 a?9 又因为在 a6与a7 两项中至少有一项是数列 ?an ? 的最小项,? 对称轴 x ? 应该在 6 11 15 [ , ] 内, …………10 分 2 2 11 a ? 9 15 ? ? ,? 24 ? a ? 36 . …………12 分 即 2 6 2 ??? ? ? ? ?? 18.(1) AB ? (1, x) , A C? ( x? 2 t a? , ? 1) n y ??? ???? ? AB ∥ AC ∵ A, B, C 三点共线,

x ? ?1 f ( x) 的最小值为 ?2 tan ? ? tan ? tan ? ? 0<1(舍) ………10 分
综上:不存在常数 tan ? ,使函数 y ? f ( x) 在 ? ?1, 3 ? 上的最小值为 tan ? ………12 分

?

?

19.(1)由已知得检测台 M 的位置坐标为 0,则机器人 M1、M 2、M 3 与检测台 M 的距离分别为 2,1,3. 设 M 2 的送检速度为 ? ,则 M 1 的送检速度为

1 1 ? , M 3 的送检速度为 ? ,故三台机器人 3 2

M1、M 2、M 3 按程序把各自的生产零件送达检测台 M 处的时间总和为 2 1 3 14 y? ? ? ? .………4 分 1 ? 1? ? ? 2 3

当 x?

?1,3? 时,有 f ( x)min ? 12 ,即送检时间总和最短为 ?

12

.………10 分

又检测台 M 与 M1、M 2、M 3 均不能重合,故可将检测台 M 设置在直线上机器人 M 2 和 M 3 之 间的任何位置(不含 M 2 , M 3 的位置),都能使各机器人 M1、M 2、M 3 的送检时间总和最 短.………12 分

3 同理对于[0,1]上的函数 y=x 有 PM ? x ? x

3

令 g(x)= x ? x ,则 g’(x)=1-3x2
3

15.设{an}是集合{2s+2t| 0≤s<t,且 s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列,即


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