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2013届高三一轮复习理科数学全能测试(九)计数原理与概率、统计 算法初步、推理与证明


2013届高三 一轮复习理 科数学全能测试 (九) 计数原理与概率 、统计 算法初步、推理 与证明
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写 在答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B )=P(A)+P(B); 球的表面积公式: S ? 4 ? R (其中 R 表示球的半径);
2

球的体积公式: V ?

4 3

? R (其中 R 表示球的半径);
3

锥体的体积公式: V ?

1 3

Sh (其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高);

柱体的体积公式 V ? Sh (其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高); 台体的体积公式: V ?
1 3 h(S1 ? S1S 2 ? S 2 )

(其中 S 1 , S 2 分别表示台体的上,下底面积, h 表示台体的高).

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求) 1、(2012 安徽理)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 ( ) A. 3 B. 4 C. ? D. ?

2 、 若 ( ax ? 1)

5

的 展 开 式 中 x

3

的 系 数 是

80 , 则 实 数 a 的 值 是



) A.-2 B. 2 2 C.
3

4

D. 2

3、 有一个容量为 66 的样本, 数据的分组及各组的频数如下: [11. 15. 5, 5) 2 [15. 5,19. 5) 4 [19. 23. 9 [23. 5, 5) 5,27. 18 [27. 31. 5) 5, 5) 1l [31. 35. 5, 5) 12 [35. 39. 5. 5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是
1 1 1 2

A. 6

B. 3
1 2 ? 1 4 ? 1 6

C. 2
?L ? 1 2012

D. 3 开 始 的值的一个 )

4、如图给出的是计算

程序框图,则判断框内应填入的条件是( A. i ? 1 0 0 5 B. i ? 1 0 0 5 C. i ? 1 0 0 6 D. i ? 1 0 0 6

i=1, s=0
否 是 输出 S 结 束

s=s+

1 2i

i=i+1

5、将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则不同的分 配方案有 A.30 种 B.90 种 C.180 种 D.270 种

6、有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两倍同学要站 在一起,则不同的站法有 A.240 种 B.192 种 C.96 种 D.48 种 7、如果 ? 3 x ?
? ?
2

2 ? ? 3 x ?

n

的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为( C.6 D.10



A.3

B.5

8、用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两 个奇数数字之间,这样的五位数的个数有( A.48 个 B.12 个 C.36 个 ) D.28 个

9、定义方程 f ( x ) ? f ? ( x ) 的实数根 x0 叫做函数 f ( x ) 的“新驻点”,如果函数 g ( x ) ? x ,
h ( x ) ? ln ( x ? 1) ,? ( x ) ? co s x ( x ? (

? ?

, ) )的“新驻点”分别为 ? , ? , ? ,那么 ?

? , ? , ? 的大小关系是:(



A. ? ? ? ? ?

B. ? ? ? ? ?

C. ? ? ? ? ?

D. ? ? ? ? ?

10、 4 个相同的白球和 5 个相同的黑球全部放入 3 个不同的盒子中, 将 每个盒子既要有白球, .. 又要有黑球, 且每个盒子中都不能同时只放入 2 个白球和 2 个黑球, 则所有不同的放法种数 ..... 为 A.3 B.6 C.12 D.18

非选择题部分(共 100 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用 黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11、(2012 江苏)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法 从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取____名学生.

12、(2012 浙江理)若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是______________. 13、在 ( x ? 1)( x ? 2 ) 的展开式中 x3 的系数是
2 7



14、设随机变量 X 的分布列如下:

X P

0 0.1

5 α

10 β

20 0.2

若数学期望 E (X)=10,则 D (X)=



15、 某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考试, 由于其中两所学校 的考试时间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的报考方法种数 是 . (用数字作答)
(1 ? x ? x ) ? (1 ? 2 x )
2 3 2 4

16 、 已 知 等 式

? a 0 ? a1 x ? a 2 x

2

? ? ? a 14 x

14

成 立 , 则

a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 13 ? a 14

的值等于

.

17、用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1, 2 , ? , 9 的 9 个小正方形(如右图),使 得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“ 1 、 5 、 9 ”的小正方 形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有 种. 1 4 7 2 5 8 3 6 9

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18、为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重(单位:千克)情况, 将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图 4),已知图中从左到右的前 3 个小组 的频率之比为 1:2:3,其中第 2 小组的频数为 12。 (1)求该校报考飞行员的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体 数据,若从全省报考飞行员的同学中任选三人, 设 X 表示体重超过 60 千克的学生人数,求 X 的 分布列和数学期望。

19、投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录 用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5,复审的稿件能通过评审的概率为 0.3. 各专家独立评审. (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望.

20、某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行 4 次考核,规定:按顺序考核,一 旦考核合格就不必参加以后的考核, 否则还需要参加下次考核. 若小李参加每次考核合 1 1 格的概率依次组成一个公差为 的等差数列, 他参加第一次考核合格的概率超过 , 且他 8 2 9 直到参加第二次考核才合格的概率为 . 32 (1)求小李第一次参加考核就合格的概率 P1; (2)求小李参加考核的次数 X 的分布列和数学期望 E(X).

21、一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有 1,2,3,4 四个数字,现随机投掷两次,正 四面体面朝下的数字分别为
x1 , x 2

,记

? ? ( x1 ? 3) ? ( x 2 ? 3)
2

2



(1)分别求出 ? 取得最大值和最小值时的概率; (2)求 ? 的分布列及数学期望.

22、某商场在店庆日进行抽奖促销活动,当日在该店消费的顾客可参加抽奖.抽奖箱中 有大小完全相同的 4 个小球,分别标有字“生”“意”“兴”“隆”.顾客从中任意取 出 1 个球,记下上面的字后放回箱中,再从中任取 1 个球,重复以上操作,最多取 4 次,并规定若取出“隆”字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有 “ 生 ”“ 意 ”“ 兴 ”“ 隆 ” 字 的 球 为 一 等 奖 ; 不 分 顺 序 取 到 标 有 “ 生 ”“ 意 ”“ 兴 ”“ 隆 ” 字 的 球 , 为 二 等 奖 ; 取 到 的 4 个 球 中 有 标 有 “生”“意”“兴”三个字的球为三等奖. (Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率; (Ⅱ)设摸球次数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C A B B D D C 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分。 11、15 12、
1 120

13、1008 14、35 15、16 16、0 17、108

18、解:(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C,那么
1

P(A)=P(B)=P(C)= 6
1

P( A ?B ?C )=P(A)P( B )P( C )= 6

?(

5 2 25 ) ? 6 216 25

答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为 (2)ξ 的可能值为 0,1,2,3
k 1 k 5 3? k C3 ( ) ( ) 6 6 P(ξ =k)= (k=0,1,2,3)

216

??????????????6 分

所以中奖人数ξ 的分布列为 ξ P
125

0
125 216

1
25 72

2
5 72

3
1 216

25

5

1

1

Eξ =0× 2 1 6 +1× 7 2 +2× 7 2 +3× 2 1 6 = 2 ??????????????????14 分 19 、

1 9 ? 20、解:(1)由题意得(1-P1)·P1+8?= , ? ? 32 1 5 ∴P1= 或 . 4 8 1 ∵P1> , 2 5 ∴P1= . 8

5 3 7 (2)由(1)知小李 4 次考核每次合格的概率依次为 , , ,1, 8 4 8 5 9 所以 P(X=1)= ,P(X=2)= , 8 32 5 3 7 21 P(X=3)=?1-8??1-4?× = , ? ?? ? 8 256 5 3 7 3 P(X=4)=?1-8??1-4??1-8?×1= , ? ?? ?? ? 256 所以 X 的分布列为 X P 1 5 8 2 9 32 3 21 256 4 3 256

5 9 21 3 379 ∴E(X)=1× +2× +3× +4× = . 8 32 256 256 256

21、解:(1)掷出点数 x 可能是: 1, 2 , 3, 4 . 则 x ? 3 分别得:? 2, ? 1, 0, 1 . 于是 ( x ? 3) 的
2

所有取值分别为: 0, 1, 4 . 因此 ? 的所有取值为:0,1,2,4,5,8. 当
x1 ? 1

????3 分


? 1 4 ?

x2 ? 1

时 ,

? ? ? x1 ? 3 ? ? ? x 2 ? 3 ?
2

2

可 取 得 最 大 值 8 ,

P ?? ? 8 ? ?

1 4

1 16 ;
x2 ? 3

??????????5 分 时 ,
? ? ? x1 ? 3 ? ? ? x 2 ? 3 ?
2 2



x1 ? 3


1 4 ?

可 取 得 最 小 值 0 ,

P ?? ? 0 ? ?

1 4

?

1 1 6 . ??????????7 分

(2)由(Ⅰ)知 ? 的所有取值为:0,1,2,4,5,8.
P ?? ? 0 ? ? P ?? ? 8 ? ? 1 16 ; P ?? ? 1? ? 4 16 ; 4 16 ;

当 =1 时,? x 1 , x 2 ? 的所有取值为 (2, 、 3)(4, 、 3)(3, 、 2) (3, . 4) 即
?

当 ? =2 时,? x 1 , x 2 ? 的所有取值为 (2, 、 2) (4, 、 4) (4, 、 2) (2, 即 4)

P ?? ? 2 ? ?

当 ? =4 时, ? x 1 , x 2 ? 的所有取值为(1,3)、(3,1).即

P ?? ? 2 ? ?

2 16 ; 4 16 .

当 =5 时,? x 1 , x 2 ? 的所有取值为 (2, 、 1)(1, 、 2)(4, . 4)(1, 、 1) 即
?

P ?? ? 2 ? ?

所以 ξ 的分布列为:

ξ P

0
1

1
1 4

2
1 4

4
1 8

5
1 4

8
1 16

????????13 分

16

E ?? ? ? 0 ?

1 16

? 1?

1 4

? 2?

1 4

? 4?

1 8

? 5?

1 4

? 8?

1 16

? 3

??????15 分

22、解:(Ⅰ)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件 A,B,C. ……1 分 则 P(A)= 分 P(B) ?
A 3 -1 4
3 3

1 4

?

1 4

?

1 4

?

1 4

?

1 256

,(列式正确,计算错误,扣 1 分)

………3

?

5 256

(列式正确,计算错误,扣 1 分) ………5 分

三等奖的情况有:“生,生,意,兴”;“生,意,意,兴”;“生,意,兴,兴”三 种情况.
1 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 9 64

P(C) ? ( ?
4

?

?

? A4 ) ? (
2

?

?

?

? A4 ) ? (
2

?

?

?

? A4 ) ?
2

.…7 分

(Ⅱ)设摸球的次数为 ? ,则 ? ? 1, 2 , 3 .
P ( ? ? 1) ? 1 4

……8 分
3 4 ? 1 4 ? 3 16 27 64


? 3 4 ? 1 4 ? 9 64

P (? ? 2 ) ?

, .

P ( ? ? 3) ?

3 4

, P ( ? ? 4 ) ? 1 ? P ( ? ? 1) ? P ( ? ? 2 ) ? P ( ? ? 3) ?

(各 1 分) 故取球次数 ? 的分布列为

?

1
1

2
3 16

3
9 64

4
27 64

P

4

…15 分


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