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曲线的参数方程


曲线的参数方程

1、参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时 机呢?
提示: 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时,开始投放物资?

投放点


>
救援点

1、参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时 机呢?

y 500

解:物资出舱后,设在时刻t,水平位移为x,

o

x ? 100t , ? (x,y) ? ? 1 2 2 ( g=9.8m/s ) y ? 500 ? gt . ? ? 2 令y ? 0, 得t ? 10.10s. x 代入x ? 100t, 得 x ? 1010m. 所以,飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资,

垂直高度为y,所以

可以使其准确落在指定位置.

1、参数方程的概念:
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x, y都是某个变数t的函数 ? x ? f (t ), (2) ? ? y ? g (t ). 并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数. 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明: 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明 显意义。 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围

变式: 一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离 灾区指定目标1000m时投放救援物资(不计空气阻力, 重力加速 g=10m/s)问此时飞机的飞行高度约是多少? (精确到1m)

? x ? 3t , 例1: 已知曲线C的参数方程是 ? (t为参数) 2 ? y ? 2t ? 1.
(1)判断点M1(0, 1),M2(5, 4)与曲线C 的位置关系; (2)已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。

训练1

1、曲线 ( B )

? x ? 1? t2 ,(t为参数) ? ? y ? 4t ? 3

与x轴的交点坐标是

25 25 ( , 0); , 0); A、(1,4);B、 C、 (1, ?3); D、 (? 16 16

2、方程{

x ? sin ? y ? cos 2?

(?为参数)表示的曲线上
(

的一个点的坐标是

C)

1 1 1 1 A、 (2,7) B、 ( , ),C、 ( , ), D(1,0) 3 2 2 2

训练2:
已知曲线C的参数方程是 点M(5,4)在该 曲线上. (2)求曲线C的普通方程.

(1)求常数a;

? x ? 1 ? 2t , (t为参数,a ? R ) ? 2 ? y ? at .

解:

(1)由题意可知:

1+2t=5 at2=4 ∴ a=1 x=1+2t y=t2

解得:

a=1 t=2

(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为: 由第一个方程得: 代入第二个方程得:

x ?1 t ? 2 x ?1 2 y?( ) , 2

( x ?1) ? 4 y为所求.
2

思考题:动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的 速度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的 轨迹参数方程。
解:设动点M (x,y) 运动时间为t,依题意,得

? x ? 1 ? 5t ? ? y ? 2 ? 12t
所以,点M的轨迹参数方程为

? x ? 1 ? 5t ? ? y ? 2 ? 12t

参数方程求法: (1)建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标 (2)选取适当的参数 (3)根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式 (4)证明这个参数方程就是所求的曲线的方程

探求:圆的参数方程
如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r.与x 轴正半轴的交 点为P0 ,圆上任取一点P,若OP0 按逆时针方向旋转到OP位置 所形成的角∠P0 OP =θ ,求P点的坐标。 解: 设P(x,y), ∵点P在∠P0OP的终边上,
y x 根据三角函数的定义得 sin ? ? , cos ? ? . r r

?

? x ? r cos ? , ? ? y ? r sin ? .

(1)

? P(r cos ? , r sin ? ).
我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。 其中参数θ表示OP0到OP所成旋转角, 0 ? ? ? 2? 。

如图,已知圆的半径为2 ,P是圆上的一个动点,A(6,0) 是x轴上的定点,M是PQ的中点,当点P绕O做匀速圆周运动时,

求点M的轨迹的参数方程。
解: 取?xOP ? ? , 则圆的参数方程为:

? x ? 2 cos? , (?为参数) ? ? y ? 2 sin ? . 设点M的坐标为(x, y),则点P的坐标

为(2 cos? ,2 sin ?) ,由中点公式可得:
x? 2 cos ? ? 6 2 sin ? ? cos ? ? 3, y ? ? sin ? 2 2

所以,点M的轨迹的参数方程是

? x ? cos? ? 3, (?为参数) ? 它表示(3,0)为圆心,1为半径的圆 ? y ? sin ? .
注意:轨迹是指点运动所成的图形; 轨迹方程是指表示动点所成图形所满足的代数等式。

得出结论:
圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为

x =a+rcosθ y =b+rsinθ
探究过程请同学们课后完成

(θ为参数)

例2:如下图,圆O的半径为2,P是圆上的动 点,Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中点.当P在 圆上作匀速圆周运动时,求点M的轨迹的参数 y 方程.

点M的轨迹 是什么呢?

P o θ

M Q(6,0)

x

? x ? cos? ? 3, 由参数方程 ? (? 为参数)直接判断点M 的轨迹的 ? y ? sin ? 曲线类型并不容易,但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程,则比较简单。

2.1.3 参数方程和普通方程的互化
由参数方程得: ?cos? ? x ? 3 2 2 2 2 ,sin ? ? cos ? ? ( x ? 3) ? y ?1 ? ?sin ? ? y 所以点M 的轨迹是圆心在(3,0),半径为1的圆。

参数 方程

消去参数 代入参数关系

普通 方程

例1、把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各 表示什么曲线? y
? ?x= t ? 1 (1)? (t为参数) ? ? y ? 1? 2 t

(1,1) o x

步骤:先消掉参数, 再写出定义域。

解:( 1 )由x ? t ? 1 ? 1有 t ? x ? 1 代入y ? 1 ? 2 t , 得到y ? ?2 x ? 3 又x ? t ? 1 ? 1, 所以与参数方程等价的 普通方程是y ? ?2 x ? 3( x ? 1)

代入(消参数)法 这是以(1,1)为端点的一条射线 (包括端点)

说明:把参数方程化为普通方程,常用方法有: (1)代入(消参数)法

(2)加减(消参数)法 (3)借用代数或三角恒等式(消参数)法 常见的代数恒等式:
1 2 1 2 在消参过程中注意变 (1)( t ? ) ? ( t ? ) ? 4 t t 量x、y取值范围的一 t 2 ? a2 2 2at 2 致性,必须根据参数 (2)( 2 ) ? ( ) ? 1 t ? a2 t 2 ? a2 的取值范围,确定f(t) 2 2 和g(t)值域得x、y的 t ?a 2 2at 2 (3)( 2 ) ?( 2 ) ?1 2 2 取值范围。 t ?a t ?a

练习: 1、曲线y=x2的一种参数方程是( ).
2 ? ?x ? t A、 ? 4 y ? t ? ?

分析: 在y=x2中,x∈R, y≥0, 在A、B、C中,x,y的范围都
发生了变化,因而与 y=x2不等价; 而在D中,

? x ? sin t B、 ? 2 y ? sin t ?

?x ? t ? C、 ? ? ?y ? t

?x ? t D、 ? 2 y ? t ?

x,y范围与y=x2中x,y的范围相同,

? ?x ? t 且以 ? 2 ? ?y ? t

代入y=x2后满足该方程,从而D是曲线y=x2的一种参数方程.

注意:
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y 的取值范围保持一致。否则,互化就是不等价的.

2、若曲线 { 轨迹是

x ? 1 ? cos2? y ? sin ?
2

(?为参数),则点( x, y )的

A、直线x ? 2 y ? 2 ? 0, B、以(2,0)为端点的射线 C、圆( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1, D、以(2,0)和(0,1)为端点的线段



D )

a 1 ? x ? ( t ? ) ? ? 2 t (2) (t为参数,a、b为常数) (4)? ? y ? b (t ? 1) ? 2 t ?

3、将下列参数方程化为普通方程: ? x ? 2 ? 3 cos? ? x ? sin ? (3) (2) ? (1) ? ? y ? 3 sin ? ? y ? cos 2?

x=t+1/t y=t2+1/t2

x2 y2 (2) ( 4) 2 ? 2 ? 1 a b

(1)(x-2)2+y2=9

(2)y=1- 2x2(- 1≤x≤1)

(3)x2- y=2(X≥2或x≤- 2)

二、普通方程

参数方程

如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系, 例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变 数与参数的关系y=g(t),那么

x ? f (t ) { y ? g (t )
这就是曲线的参数方程。
x2 y2 ? ?1 的参数方程。 例4 求椭圆 9 4

(1)设x=3cos?,?为参数;

x2 y2 ? ?1 的参数方程。 例4 求椭圆 9 4

(1)设x=3cos?,?为参数;

解:( 1 )把x ? 3 cos?代入椭圆方程,得到 9 cos2 ? y 2 ? ? 1, 9 4 所以y 2 ? 4(1 ? cos2 ? ) ? 4 sin 2 ?即y ? ?2 sin ? 由参数?的任意性,可取 y ? 2 sin ? , x2 y2 所以椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 还有其它 x ? 3 cos? 方法吗? { (?为参数) y ? 2 sin ?

(2)设y=2t,t为参数.
x 4t (2)把y ? 2t代入椭圆方程,得 ? ?1 9 4 于是x ? 9(1 ? t ), x ? ?3 1 ? t
2 2 2 2 2 2 2

x y 所以,椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 { x ? 3 1? t 2 y ? 2t (t为参数)和{ x ? ?3 1 ? t 2 y ? 2t

思考:为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆 的参数方程?

分别对应了椭圆在y轴的右,左两部分。


曲线的参数方程学案

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