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湖南省娄底市湘中名校2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题


湘中名校 2015-2016 年上学期高一期末考试 数学试卷
满分共 120 分,考试时间 120 分钟。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分. 1.如果 U={1, 2,3,4, 5},M={1,2,3},N= {x | 4 ? x ? 6} ,那么(? U M )∩N 等于 ( A. ? B.{5} C. {1,3} D. {4,5} ) )

2.已知两条直线 l1 :x+2ay﹣1=0, l2 :2x﹣5y=0,且 l1 ? l2,则满足条件 a 的值为( A.

1 5

B. ?

1 5

C. ?5

D. 5 )

3.下列四个图形中,不是 以 x 为自变量的函数的图象是( ..

A.

B.

C. )

D.

4. 过点(1,2) ,且倾斜角为 60°的直线方程是( A.y+2= 3 (x+1) C.y-2= 3 (x-1)

B.y﹣2= ? 3 (x﹣1) D.y+2= ? 3 (x+1) )

5、直线 5x-12y+8=0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 的位置关系是( A. 相离 B.相交
0.3

C.相切
1

D. 无法判断 ( ) D. b ? a ? c

6.已知 a ? log 1 5, b ? ? ?
2

?1? , c ? 25 则 ? 3?

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

C. c ? a ? b

?log 2 (3 ? x) x ? 0 ? 7.函数f(x)满足 f ( x) ? ? ,则 f (3) 的值为 ( x?0 ? f ( x ? 2) ?
A. ?1 B. ? 2
x

)

C.1

D. 2

8. 已知 x0 是函数 f ( x) ? ?2 ? 则 ( )

3 的一个零点.若 x1 ∈(1, x0 ) , x2 ∈( x0 ,+∞) , x
B. f ( x1 ) <0, f ( x2 ) >0

A. f ( x1 ) <0, f ( x2 ) <0

1

C. f ( x1 ) >0, f ( x2 ) >0

D. f ( x1 ) >0, f ( x2 ) <0 D′ A′ D A B B′ C C′

9.如图长方体ABCD﹣A′B′C ′D′中,AB=6, AD= D′D=5,二面角 D′﹣AB﹣D 的 大小是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 10.函数 y ? log 1 (1 ? 3 x ) 的值域为(
5



A. (﹣∞,+∞) C. (0,+∞)

B. (﹣∞,0) D. (1,+∞)

11.一个几何体的三视图如图所示,俯视图为 等边三角形,若其侧面积 为 12 3 ,则 ...

a 是(
A. 2 C.2

) . B. 3 D.

6

12.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意 x1,x2 ? (0, ?? )都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ,若实数 a 满足 f (log3 a?1 ) ? 2 f (log 1 a) ? 3 f (1) , x1 ? x2 3
则 a 的取值范围是 A. [ , 3] ( B. [1,3] ) C. (0, )

1 3

1 3

D. (0,3]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡中横线上 13. 两平行直线 4x+3y﹣5=0 与 4x+3y=0 的距离是 14. lg

5 ? 2 lg 2 ? 2? log2 3 ? 2



15.已知正方形 ABCD 的顶点都在半径为 7 的球 O 的球面上,且 AB= 6 ,则棱 锥 O﹣ABCD 的体积为
x

.

16. 已知函数 f (x) ? 9 ? 2 , g (x) ? x 2 ?1, 构造函数 F (x) ? ? 那么函数 y ? F (x) 的最大值为 。

? g ( x) , f ( x) ? g ( x) , ? f ( x) , g ( x) ? f ( x)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 56 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 8 分) 已知集合 A={x|﹣4≤x≤9},B={x|m+1<x<2m﹣1},若 A∪B=A,求 m 的取值范围.
2

18.(本小题满分 8 分) 已知定义在 R 上的函数 g ( x) ? f ( x) ? x3 ,且 g ( x) 为奇函数 (1)判断函数 f ? x ? 的奇偶性; (2)若 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ,求当 x ? 0 时,函数 g ? x ? 的解析式。

19. (本小题满分 8 分) 已知直线 l1 和 l2 在 y 轴上的截距相等, 且它们的斜率互为相反数. 若 直线 l1 过点 P(1,3) ,且点 Q(2,2)到直线 l2 的距离为 5 ,求直线 l1 和直线 l2 的一 般式方程.

20. (本小题满分 10 分)圆 C 过点 A(6,4),B(1, ?1 ) ,且圆心在直线 l : x ? 5 y ? 7 ? 0 上. (1)求圆 C 的方程; (2)P 为圆 C 上的任意一点,定点 Q(7,0) ,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.

21.(本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AB ? AC ,AB=BB1=1,B1C=2. (I)求证:平面 B1AC⊥平面 ABB1A1; (II)求直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦 值.

B1 A1

C1

B A

C

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?| x | ?

m ? 1 ( x ? 0) . x

(1)当 m ? 1 时,判断 f ( x) 在 (??, 0) 的单调性,并用定义证明; (2)若对任意 x ? (1, ??) ,不等式 f (log2 x) ? 0 恒成立,求 m 的取值范围. (3)讨论 f ( x) 零点的个数;

3

湘中名校 2015-2016 年上学期高一期末考试数学参考答案 满分共 120 分,考试时间 120 分钟。 一、选择题:本大题共 12 小题, 每小 题 4 分,共 48 分, 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1. 如果 U={1, 2, 3, 4, 5}, M={1, 2, 3}, N= {x | 4 ? x ? 6} , 那么 (? U M ) ∩N 等于 ( A. ? B.{5} C. {1,3} D. {4,5} ) B )

2.已知两条直线 l1 :x+2ay﹣1=0, l2 :2x﹣5y=0,且 l1 ? l2,则满足条件 a 的值为( A A.

1 5

B. ?

1 5

C. ?5

D. 5

3.下列四个图形中,不是 以 x 为自变量的函数的图象是( D ) ..

A.

B.

C.

D.

4. 过点(1,2) ,且倾斜角为 60°的直线方程是( C ) A.y+2= 3 (x+1) C.y-2= 3 (x-1) B.y﹣2= ? 3 (x﹣1) D.y+2= ? 3 (x+1)

5、直线 5x-12y+8=0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 的位置关系是( C ) A. 相离 B.相交
0.3

C.相切
1

D. 无法判断 ( A ) D. b ? a ? c

?1? 6.已知 a ? log 1 5, b ? ? ? , c ? 2 5 则 ? 3? 2
A. a ? b ? c B. c ? b ? a

C. c ? a ? b

?log 2 (3 ? x) x ? 0 ? 7.函数f(x)满足 f ( x) ? ? ,则 f (3) 的值为 ( D ) x?0 ? f ( x ? 2) ?
A. ?1 B. ? 2
x

C.1

D. 2

8. 已知 x0 是函数 f ( x) ? ?2 ?

3 的一个零点.若 x1∈(1,x0) ,x2∈(x0,+∞) , x

则 ( D ) A. f(x1)<0,f(x2)<0 B. f(x1)<0,f(x2)>0 C. f(x1)>0,f( x2)>0 D. f(x1)>0,f(x2)<0 9.如图长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,AB=6, D’ AD= D′D=5,二面角 D′﹣AB﹣D 的 A’ D A

C’ B’ C B

4

大小是( B ) A. 30° B. 45°
5

C. 60°

D. 90°

10.函数 y ? log 1 (1 ? 3 x ) 的值域为( C ) A. (﹣∞,+∞) C. (0,+∞) B. (﹣∞,0) D. (1,+∞)

11.一个几何体的三视图如图所示,俯视图 为等边三角形,若其侧面积 为 12 3 ,则 ...

a 是(
A. 2 C.2

B ) . B. 3 D.

6

12.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意 x1,x2 ? (0, ?? )都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ,若实数 a 满足 f (log3 a?1 ) ? 2 f (log 1 a) ? 3 f (1) , x1 ? x2 3
则 a 的取值范围是 A. [ , 3] ( A ) C. (0, )

1 3

B. [1,3]

1 3

D. (0,3]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡中横线上 13. 两平行直线 4x+3y﹣5=0 与 4x+3y=0 的距离是 1 14. lg

5 ? 2 lg 2 ? 2? log2 3 ? 2

2 3



1 5.已知正方形 ABCD 的顶点都在半径为 7 的球 O 的球面上,且 AB= 6 ,则棱 锥 O﹣ ABCD 的体积为
x

4

.

16. 已知函数 f (x) ? 9 ? 2 , g (x) ? x 2 ?1, 构造函数 F (x) ? ? 那么函数 y ? F (x) 的最大值为 5

? g ( x) , f ( x) ? g ( x) , ? f ( x) , g ( x) ? f ( x)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 56 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 8 分) 已知集合 A={x|﹣4≤x≤9},B={x|m+1<x<2m﹣1},若 A∪B=A, 求 m 的取值范围. 解:当 B= ? 时, m ? 1 ? 2m ? 1, 则m ? 2 …….3 分 当 B≠ ? ,若 A∪B=A,

5

? m ? 1 ? ?4 ? ∴﹣4≤m+1<2m﹣1≤9,转化为不等式组 ? m ? 1 ? 2m ? 1 ,解得:2<m≤5…….7 分 ? 2m ? 1 ? 9 ?
∴m 的取值范围是{m≤5}…….8 分 18.(本小题满分 8 分) 已知定义在 R 上的函数 g ( x) ? f ( x) ? x3 ,且 g ( x) 为奇函数 (1)判断函数 f ? x ? 的奇偶性; (2)若 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ,求当 x ? 0 时,函数 g ? x ? 的解析式。

解:()由 1 f ( x) ? g ( x) ? x3, 则f (? x) ? g (? x) ? x3 ? ? g ( x) ? x 3 ? ?( g ( x) ? x3 ) ? ? f ( x) ? f ( x)为奇函数?? 4分 (2)当x ? 0时,g ( x) ? 2 x ? x3 当x ? 0时由g ( x) ? ? g (? x) ? ?2? x ? x3 ??8分
19. (本小题满分 8 分) 已知直线 l1 和 l2 在 y 轴上的截距相等, 且它们的斜率互为相反数. 若 直线 l1 过点 P(1,3) ,且点 Q(2,2)到直线 l2 的距离为 5 ,求直线 l1 和直线 l2 的一 般式方程. 解:设直线 l1:y=kx+b,直线 l2:y=-kx+b----------2 分 ∵l1 过 P(1,3)点且 Q(2,2)到 l2 的距离为 5 ,

?k ? 3 ? b ? 0 ? ∴ ? 2k ? 2 ? b --------------------4 分 ? 5 ? 2 ? k ?1

1 ? k ?? ? ?k ? 2 ? 2 或? 解之得 ? ----------------6 分 ?b ? 1 ?b ? 7 ? ? 2
故 l1:2x-y+1=0 l2:2x+y﹣1=0;或 l1:x+2y-7=0 l2:x-2y+7=0----------8 分 20. (本小题满分 10 分)圆 C 过点 A(6,4),B(1, ?1 ) ,且圆心在直线 l : x ? 5 y ? 7 ? 0 上. (1)求圆 C 的方程; (2)P 为圆 C 上的任意一点,定点 Q(7,0) ,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程. 解: (1)解法 1:直线 AB 的斜率 k ?

4 ? (?1) ? 1, 6 ?1

所以 AB 的垂直平分线 m 的斜率为 ?1 .
6

6 ?1 7 4 ?1 3 ? ,y? ? . 2 2 2 2 3 7 因此,直线 m 的方程为 y ? ? ?1(x ? ) .即 x ? y ? 5 ? 0 .-------------2 分 2 2
AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为 x ? 又圆心在直线 l 上,所以圆心是直线 m 与直线 l 的交点。联立方程组

?x ? y ? 5 ? 0 ?x ? 3 解得 ? ? ?x ? 5 y ? 7 ? 0 ?y ? 2

---------------4 分

所以圆心坐标为 C(3,2) ,又半径 r ? CA ? 13 , 则所求圆的方程是 (x ? 3)2 ? (y? 2)2 ? 13 ---------------------5 分 解法 2:设所求圆的方程为 (x ? a)2 ? (y? b)2 ? r 2 .由题意得

?(6 ? a)2 ? (0 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?(1 ? a) ? (5 ? b) ? r ?2a ? 7b ? 8 ? 0 ?
?a ? 3 ? 解得 ?b ? 2 ? r 2 ? 13 ?

----------2 分

--------------4 分

所以所求圆的方程是 (x ? 3)2 ? (y? 2)2 ? 13 . ---------------------5 分 (2)设线段 PQ 的中点 M(x,y) ,P (x0 , y0 )

? x0 +7 =x ? ? x0 ? 2 x ? 7 ? 2 M 为线段 PQ 的中点,则 ? , 解得 ? --------------7 分 y ? 2 y y ? 0 0 ? 0 ? ?y ? ? 2
P(2 x ? 7, 2 y) 代入圆 C 中得 (2x ? 7 ? 3)2 ? (2 y? 2)2 ? 13 --------------9 分
即线段 PQ 中点 M 的轨迹方程为 ( x ? 5) ? (y? 1) ?
2 2

13 . 4

-----------10 分

21.(本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AB ? AC ,AB=BB1=1,B1C=2. (I)求证:平面 B1AC⊥平面 ABB1A1; (II)求直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值. 解: (I)证明:由直三棱柱性质,B1B ⊥平面 ABC , ∴B1B⊥AC,---------2 分 又 BA⊥AC,B1B∩BA=B,---------3 分

7

∴AC⊥平面 ABB1A1,---------4 分 ∴平面 B1AC⊥平面 ABB1A1.---------5 分 (II)解:连 A1B ? AB1 ? M , --,连 CM -------6 分

因为AB=BB1,则A1M ? AB1
∵平面 B1AC⊥平面 ABB1A,且平面 B1AC∩平面 ABB1A1=B1A, ∴A1M⊥平面 B1AC.---------8 分 ∵AB=BB1=1,B1C=2,可得 BC= 3, AC= 2,

? A1C ? 3, A1M ?

2 6 ,sin ?A1CM ? 2 6
---------10 分

∴直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值为

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?| x | ?

m ? 1 ( x ? 0) . x

(1)当 m ? 1 时,判断 f ( x) 在 (??, 0) 的单调性,并用定义证明; (2)若 对任意 x ? (1, ??) ,不等式 f (log2 x) ? 0 恒成立,求 m 的取值范围. (3)讨论 f ( x) 零点的个数; 解:(1)当 m ? 1 ,且 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 证明:设 x1 ? x2 ? 0 ,则

1 ? 1 是单调递减的---1 分. x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ?

1 1 ? 1 ? (? x2 ? ? 1) x1 x2 x ?x 1 1 ? ( x2 ? x1 ) ? ( ? ) ? ( x2 ? x1 ) ? 2 1 x1 x2 x1 x2 1 ? ( x2 ? x1 )(1 ? ) --------2 分 x1 x2 1 )?0 x1 x2

又 x1 ? x2 ? 0 ,所以 x2 ? x1 ? 0 , x1 x2 ? 0 ,所以 ( x2 ? x1 )(1 ? 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,-----3 分

1 ? 1 在 (??, 0) 上单调递减的.--------4 分 x m (2)由 f (log 2 x) ? 0 得 | log 2 x | ? ?1 ? 0 , log 2 x
故当 m ? 1 时, f ( x) ? ? x ?
8

当 x ? (1, ??) , log2 x ? 0 变形为 (log2 x)2 ? log2 x ? m ? 0 ,即 m ? ?(log2 x)2 ? log2 x -----6 分 而 ?(log 2 x) ? log 2 x ? ?(log 2 x ? ) ?
2 2

1 2

1 , 4

当 log 2 x ? 所以 m ?

1 1 2 即 x ? 2 时 (?(log 2 x) ? log 2 x) max ? ,--------7 分 2 4

1 .--------8 分 4 (3)由 f ( x) ? 0 可得 x | x | ? x ? m ? 0( x ? 0) ,变为 m ? ? x | x | ? x( x ? 0)
2 ? ? ? x ? x, x ? 0 令 g ( x) ? x ? x | x |? ? 2 -----9 分 ? ? x ? x, x ? 0 作 y ? g ( x) 的图像及直线 y ? m ,由图像可得: 1 1 当 m ? 或 m ? ? 时, f ( x) 有 1 个零点.-----10 分 4 4 1 1 当 m ? 或 m ? 0 或 m ? ? 时, f ( x) 有 2 个零点;-----11 分 4 4 1 1 当 0 ? m ? 或 ? ? m ? 0 时, f ( x) 有 3 个零点.-------12 分 4 4

9


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