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北京101中学2013-2014学年下学期高一年级期中考试数学试卷


北京 101 中学 2013-2014 学年下学期高一年级期中考试 数学试卷 有答案
一、选择题:本大题共 8 小题,共 40 分。 1. 数列

2 4 6 8 , , , , ? 的第 10 项是( 3 5 7 9
18 (B) 19
2

) 20 (C) 21 ) (B) {x | ?1 ? x ? } (D) {x | x ? 1或x ? ? } ) 22 (D) 23

16 (A) 17

2. 不等式 2 x ? x ? 3 ? 0 的解集为( (A) {x | x ? (C) {x | ?

3 或x ? ?1} 2

3 2

3 ? x ? 1} 2

3 2

3. 若 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,且 a5 ? a6 ? a7 ? 48 ,则 S11 的值是( (A) 176 (B) 96 (C) 256 ) (D) 196

4. 已知 a ? b ? 0,c ? d ? 0 ,那么下列判断中正确的是 ( (A) ac ? ?? bd (B) a c ? b d (C)

a b ? d c

(D) a d ? b c

5. 已知 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0 , a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25,那么 a3 ? a5 的值等于 ( ) (A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20 ) (D) 30 ? )

6. 在△ABC 中,已知 a = 2 , b =2,B=45°,则角 A=( (A) 30 ? 或 150? (B) 60 ? 或 120? (C) 60 ?

7. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, a2 ? 6, an?2 ? an?1 ? an ,则 a 2014 ? (
(A) 3 (B) ?3 (C) 6

(D) ?6

8. 若数列 ?an ?满足: 存在正整数 T, 对于任意正整数 n 都有 an ?T ? an 成立, 则称数列 ?an ?

, 则下列结论 为周期数列, 周期为 T .已知数列 ?an ? 满足 a1 ? m(m ? 0), an ?1 ? ? 1 ,0 ? an ? 1 ? ? an
中错误的是( )

? an ? 1, an ? 1 ?

(A)若 a3 ? 4, 则 m 可以取 3 个不同的值 (B)若 m ?

2 , 则 数列 ?an ?是周期为 3 的数列

(C)对于任意的正整数 T 且 T ? 2 ,存在 m ? 1 ,使得 ?an ? 是周期为 T 的数列

1

(D)存在有理数 m 且 m ? 2, 使得数列 ?an ? 是周期数列

二、填空题:本大题共 6 小题,共 30 分。 9. 等差数列 ?an ? 中, a1

? 8, a5 ? 2 ,若在每相邻两项之间各插入一个数,使之成为等

差数列,那么新的等差数列的公差是______________。

?x ? y ? 0 ?2 x ? y ? 2 ? 10. 若 不 等 式 组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围 ?y ? 0 ? ?x ? y ? a
是 。

11. 设公差为 d 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1 ,? 2 ? d ? ? 1 ,则当 Sn 取

17

9

最大值时, n 的值为



12. 二次函数 f ( x ) 的图像过原点,且 ?1 ? f ( ?1) ? 2 ? f (1) ? 4 ,则 f ( ?2) 的取值范围 为
?



13. 已知 x, y ? R ,且满足 3

x

?

y ?1 ,则 xy 的最大值为_________。 4


14. 在△ ABC 中, 若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 , 则△ ABC 的形状是

三、解答题:本大题共 5 小题,共 50 分。 15. 已知向 量 e1 ? (1, 2) , e2 ? (?3,2) ,向 量 x ? ke1 ? e2 , y ? e1 ? 3e2 . (1)当 k 为 何 值 时 , 向 量 x ? y ; (2)若 向 量 x 与 y 的 夹 角 为 钝 角 , 求 实 数 k 的 取 值 范 围 的 集 合 . 16. 已 知 函 数 f ( x ) ? kx ? b 的 图 象 与 x, y 轴 分 别 交 于 点 A, B , AB ? (2, 2) , 函 数

g ( x) ? x2 ? x ? 6.
(1)求 k , b ; (2)当 x 满足 f ( x ) ? g ( x ) 时,求函数

g ( x) ? 1 的最小值。 f ( x)
2 2 2

17. 在锐角三角形 ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 的对边分别为 a, b, c, 且 b ? c ? bc ? a 。 (1)求∠A; (2)若 a ?

3 ,求 b 2 ? c 2 的取值范围

2 18. 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? 2n , {bn} 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1

2

(1)求数列 {an } 和 {bn} 的通项公式; (2)设 cn ?

an ,求数列 {cn} 的前 n 项和 Tn 。 bn

19. 已知数列{ an }、{ bn }满足: a1 ? (1)求 a2,a3; (2)证明:数列{

bn 1 , an ? bn ? 1, bn ?1 ? 。 4 1 ? an 2

1 }为等差数列,并求数列 ?an ? 和{ bn }的通项公式; an

(3)设 S n ? a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? ? ? an an?1 ,求实数 ? 为何值时 4?S n ? bn 恒成立。

3

参考答案 一、选择题:本大题共 8 小题,共 40 分。 1. C 2. A 3. A 4. B 5. A 6. D 7. B 8. D 二、填空题:本大题共 6 小题,共 30 分。 9. ?

3 4

10. 0<a≤1 或 a≥

4 3

11. 9 12. [-1,10] 13. 3 14. 等腰三角形

三、解答题:本大题共 5 小题,共 50 分。 15. (1) k ? 19 (2) k ? (??, ? ) ? (? ,19)

1 3

1 3

16. (1) k ? 1, b ? 2 ; (2) x ? ?1 时最小值为 ?3 17. 解: (1)∵ b ? c ? a ? bc
2 2 2

∴ cos A ?
2

? b2 ? c2 ? a2 1 ? ,又 0 ? A ? ? ,∴ A ? 3 2bc 2
2 2 2

(也可 b ? c ? 4 sin B ? 4 sin C 降幂后化简) 又锐角三角形,得

? ? 0?B? ? ? ? 2 ? ?B? ? 2 ? 6 2 ?0 ? C ? ? ? B ? 3 2 ?
(2) b ? c ? bc ? 3 ,
2 2



b c a ? ? ?2 sin B sin C sin A

2 sin C 得 bc ? 2 sin B·
= 4 sin B sin( B ?

?
3

)

= 4 sin B( sin B ?
2

1 2

3 cos B) 2

= 2 sin B ? 2 3 sin B cos B = 1 ? cos2B ? 3 sin 2B = 2 sin( 2 B ?

?
6

) ?1



?
6

? 2B ?

?

5 ? ? , sin( 2 B ? ? ) ? ( 1 ,1] , bc ? (2,3],b 2 ? c 2 ? (5,6] 6 6 6 2

b 2 ? c 2 ? bc ? 3 ? 2bc ,得 bc ? 3,b 2 ? c 2 ? 6 ,

4

(若用基本不等式,另一端的限制可由面积 ? ( 18. (1)∵S n ? 2n
2

3 3 3 , ] ? bc ? (2,3] ) 2 4

∴a1 ? S1 ? 2 ;
2 2

当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2(n ?1) ? 4n ? 2 又 a1 ? 2 适合上式, 所以数列 {an } 通项公式为 an ? 4n ? 2 。 设数列 {bn} 的公比为 q,则由已知得 b1 ? 2 , 4b1q ? b1 ∴bn ? ∴q ?

1 4

2 (n? N* ) n?1 4
an ? (2n ? 1)4n?1 bn
2

(2)由(1)得 cn ?
0 1

∴Tn ? 1? 4 ? 3? 4 ? 5 ? 4 ?

? (2n ?1)4n?1

4Tn ? 1? 41 ? 3? 42 ? 5 ? 43 ?
2

? (2n ? 3)4n?1 ? (2n ?1)4n
? 4n?1) ? (2n ?1)4n :

两式相减得 ?3Tn ? 1 ? 2(4 ? 4 ?

由此得 Tn ? [(6n ? 5)4 ? 5] ( n ? N * )
n

1 9

19. 解: (1)∵a1 ?

1 3 , b1 ? 4 4

∴b2 ?

4 5 1 1 , b3 ? , a2 ? , a3 ? 5 6 5 6

(2)∵bn?1 ? 1 ? an?1 ? ∴1 ? an ?1 ?

bn 1 ? am 1 ? ? (1 ? an )(1+an ) (1 ? an )(1 ? an ) 1 ? an

1 , an ? an ?1 ? an an ?1 1 ? an



1 1 ? ?1 an?1 an
1 }是以 4 为首项,1 为公差的等差数列 an

∴ 数列{



1 ? 4 ? (n ? 1) ? 3 ? n an
1 n?3
∴bn ? 1 ?

an ?

1 n?2 ? n?3 n?3

(3) an ?

1 n?3

5

1 1 1 n ∴Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an ?1 ? 1 ? 1 ? ??? ? ? ? 4? 5 5? 6 (n ? 3)(n ? 4) 4 n ? 4 4(n ? 4)

n ? 2 (? ? 1)n2 ? (3? ? 6)n ? 8 ∴4? Sn ? bn ? ? ? n?4 n?3 (n ? 3)(n ? 4)
由条件可知 (? ?1)n2 ? (3? ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立即可满足条件 设

?n

f (n) ? (? ?1)n2 ? 3(? ? 2)n ? 8

当 ? =1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立, 当 ? >1 时,由二次函数的性质知不可能成立 当 ? <l 时,对称轴 ? ·

3 ? ?2 3 1 ? ? (1 ? )?0 2 ? ?1 2 ? ?1

f(n)在 ?1, ?? ? 为单调递减函数。

f (1) ? (? ?1)n2 ? (3? ? 6)n ? 8 ? (? ?1) ? (3? ? 6) ? 8 ? 4? ?15 ? 0
∴? ?

15 4

∴? <1 时 4aSn ? bn 恒成立

综上知: ? ≤1 时, 4aSn ? bn 恒成立

6


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