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江苏省南京市10-11学年高一下学期期中调研抽测试卷(数学)


南京英盟教育高一数学期中测试

南京市 2010~2011 学年度第二学期期中考试调研试题
高一数学
一、填空题(本大题 14 小题,每小题 3 分,共 42 分 ) 1.已知 4 是 2,x 的等差中项,则 x 的值为 . 2.函数 y= 1-x 的定义域为 . 3.在等差数列{an}中,a2+a4=4,a3+a5=10,则该数列的公差为
2

. .

4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 6,b=3,B=60°,则 A 的度数为 5.在等比数列{an}中,a1=1,a5=3,则 a2a3a4 的值为 . 2 6.若不等式 x +(a+2)x+1≥0 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是 . 7.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-2,S4=4S2,则 a3 的值为 . 8.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-17,a4+a6=-10,则当 Sn 取最小值时,n 的值为 9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=2bcosC,则 10.如果 lgm+lgn=2,那么 m+n 的最小值是 . 11.如图,在△ABC 中,B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=5,AC=7,DC=3,则 AB 的长为 .
A



b 的值为 c



B

D (第 11 题图)

C

12.在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列 第1列 第1行 第2行 第3行 … 1 2 3 … 第2列 2 4 6 … 第3列 3 6 9 … … … … … …

那么位于表中的第 100 行第 101 列的数是 . 13.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若(2b-c)cosA=acosC,则 A 的度数为 . 14.若实数 a,b,c 成等比数列,且 a+b+c=1,则 a+c 的取值范围是 . 二、解答题(本大题 6 小题,第 15、16 题每题 8 分,第 17、18、19 题每题 10 分,第 20 题 12 分,共 58 分) 2 15.关于 x 的不等式 x +mx+6>0(m 为常数) . (1)如果 m=-5,求不等式的解集; (2)如果不等式的解集为{x|x<1 或 x>6},求实数 m 的值. 16.在等差数列{an}中,a1+a4=3,a6=5.

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(1)求数列{an}的通项公式; (2)如果 bn=2 ,求数列{bn}的前 10 项的和 S10. 17.已知函数 y=x+
an

m

x- 1

(m 为正数) .

(1)若 m=1,求当 x>1 时函数的最小值; (2)当 x<1 时,函数有最大值-3,求实数 m 的值. 4 18.已知△ABC 的面积为 3,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 cosA= . 5 → → (1)求 AB · AC ; (2)如果 b-c=3,求 a 的值. 19.如图,小岛 A 在港口 P 的南偏西 60°方向,距离港口 81 n mile 处.甲船从 A 出发, 沿 AP 方向以 9 n mile/h 的速度驶向港口,乙船从港 北 口 P 出发,沿南偏东 75°方向,以 9 2 n mile/h 的 速度驶离港口.现两船同时出发, (1)出发后 3 h 两船之间的距离是多少? (2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向?
· A
2

P
60° 75°



20.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=n +n,数列{bn}的通项公式为 bn=xn-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 cn=anbn,数列{cn}的前 n 项和为 Tn. ①求 Tn; ②若 x=2,求数列{

nTn+1-2n }的最小项的值. Tn+2-2

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南京市 2010-2011 学年度第二学期高一数学期中调研抽测 高一数学参考答案与评分标准
一、填空题(本大题 14 小题,每小题 3 分,共 42 分) 1.6 2.{x|-1≤x≤1} 3.3 4.45° 8.6 9.1 10.20 5.3 3 6.[-4,0] 7.-6 5 6 2 11. 12.10100 13.60° 14.[ ,1)∪(1,2] 2 3 二、解答题(本大题 6 小题,第 15、16 题每小题 8 分,第 17、18、19 题每小题 10 分,第 20 题 12 分,共 58 分) 2 15.解: (1)由 m=-5,得 x -5x+6>0,即(x-2)( x-3) >0. 解得 x<2 或 x>3.………………………………………………………………………3 分 所以原不等式的解集为{x| x<2 或 x>3} .……………………………………………4 分 ?1+m+6=0, (2)根据题意,得? ……………………………………………………6 分 ?36+6m+6=0. 解得 m=-7. ……………………………………………………………………………8 分
?2a1+3d=3, 16.解: (1)根据题意,得? …………………………………………………1 分 ?a1+5d=5.

解得?

?a1=0, ?d=1.

………………………………………………………………………………3 分

所以数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d=n-1.…………………………………5 分 (2)由 an=n-1,得 bn=2 17.解: (1)m=1 时,y=x+ 所以 y=x-1+
n-1

1- 2 0 1 2 9 .所以 S10=2 +2 +2 +…+2 = =1023.…8 分 1- 2

10

1 1 =x-1+ +1.因为 x>1,所以 x-1>0. x-1 x- 1 (x-1)· 1 +1=3.………………3 分 x-1

1 +1≥2 x- 1 1

当且仅当 x-1=

x- 1

,即 x=2 时取等号.……………………………………………4 分

所以当 x>1 时函数的最小值为 3. ……………………………………………………5 分 (2)因为 x<1,所以 x-1<0. 所以 y=x-1+

m m + 1 = - (1 - x + )+1≤-2 x-1 1-x

(1-x)·

m
1-x

+1=-2 m+

1.…………………………7 分 当且仅当 1-x= ,即 x=1- m时取等号.……………………………………8 分 1-x

m

即函数的最大值为-2 m+1.所以-2 m+1=-3.………………………………9 分 解得 m=4.………………………………………………………………………………10 分 4 3 18.解: (1)因为在△ABC 中,cosA= ,所以 sinA= .…………………………………1 分 5 5 1 3 因为 S△ABC= bcsinA= bc=3,所以 bc=10.………………………………………3 分 2 10 4 → → → → 所以 AB · AC =| AB |×| AC |cosA=10× =8.………………………5 分 5 (2)解法一:在△ABC 中, a =b +c -2bccosA……………………………………7 分 2 2 2 2 =(b-c) + bc=3 + ×10=13. …………………………………9 分 5 5
2 2 2

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所以 a= 13.……………………………………………………………………………10 分 ?bc=10, ?b=5, ?b=-2, 解法二:由? 得? 或? (舍去) .……………………………7 分 ?b-c=3, ?c=2, ?c=-5 4 2 2 2 2 2 在△ABC 中, a =b +c -2bccosA=5 +2 -2×10× =13. ……………………9 分 5 所以 a= 13.……………………………………………………………………………10 分 19.解: (1)设出发后 3h 甲船到达 C 点,乙船到达 D 点,则 PC=54,PD=27 2. 由题意,可知∠CPD=135°. 2 2 2 在△PCD 中,CD =PC +PD -2 PC·PDcos∠CPD ………………………………2 分 =54 +(27 2) -2×54×27 2×(-
2 2

2 2 )=27 ×10=7290. 2

所以 CD=27 10.………………………………………………………………………3 分 所以出发后 3h 两船相距 27 10 n mile.………………………………………………4 分 (2)设出发后 xh 乙船位于甲船的正东方向,此时甲船到达 E 点,乙船到达 F 点,则∠PEF=30°, ∠PFE=15°,PE=81-9x,PF=9 2x.

PE PF 81-9x 9 2x 在△PEF 中, = .即 = .…………………………7 分 sin∠PFE sin∠PEF sin15° sin30°
解得 x=3 3.……………………………………………………………………………9 分 答:出发后 3h 两船相距 27 10 n mile,出发后 3 3h 乙船在甲船的正东方向.…10 分 ?S1,n=1, ?2,n=1, 20.解: (1)an=? =? =2n.……………………………………2 分 ?Sn-Sn-1,n≥2 ?2n,n≥2 (若没有交待 a1 扣 1 分) (2)cn=2nxn-1. Tn=2+4x+6x2+8x3+……+2nxn-1 . ① 2 3 3 n 则 xTn=2x+4x +6x +8x +……+2nx . ② 2 ①-②,得(1-x)Tn=2+2x+2 x +……+2 xn-1-2nxn. 当 x≠1 时,(1-x)Tn=2× 1-xn 2-2(n+1)xn+2nxn+1 -2nxn.所以 Tn= .………5 分 2 1-x (1-x)
2

当 x=1 时,Tn=2+4+6+8+……+2n=n +n.……………………………………6 分 (3)当 x=2 时,Tn=2+(n-1)2n+1. nTn+1-2n n2 则 = . …………………………………………………………………7 分 Tn+2-2 2(n+1) 设 f(n)= . 2(n+1) (n+1) n n +3n+1 因为 f(n+1)-f(n)= - = >0, ………10 分 2(n+2) 2(n+1) 2(n+1) (n+2) 所以函数 f(n)在 n∈N+上是单调增函数. …………………………………………11 分 1 nTn+1-2n 1 所以 n=1 时,f(n)取最小值 ,即数列{ }的最小项的值为 .……………12 分 4 Tn+2-2 4
2 2 2

n2


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