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10.12.20高三理科数学练习题1


湖南省长沙市一中 2010 届高三第四次月考试卷
1.若 loga2<0,2b>1,则( A.0<a<1,b>0 ) C.a>1,b>0 D.0<a<1,b<0 ) B.a>1,b<0

2.如图,已知 U 是全集,A,B,C 是 U 的非空子集,则阴影部分所表示的集合是( A.(A∩B)∩C C.(A∩B)∩
UC

B.(A∩B)∪C D.(A∩B)∪
UC

U A C B

3.sin 15° 75° cos +cos 15° 105° sin 等于( A.0 B.
1 2

) C.
3 2

D.1 )

4.函数 f(x)=a| x-b |+2 在[0, +∞)上为增函数,的充分必要条件是( A.a=1 且 b=0 B.a<0 且 b>0
1 a

C.a>0 且 b≤0
1 b

D.a>0 且 b<0
1 x
2

5.给出下列命题:① 若 a>b,则



; ②

?

x≠0,x2+ )

≥2; ③

?

a,b,c∈

R,|a-b|≤|a-c|+|b-c|.其中真命题的个数有( A.3 B.2 C.1

D.0
3

6.如果 f '(x)是二次函数,且 f '(x)的图像开口向上,顶点坐标为(1, - 上任一点的切线的倾斜角 ? 的取值范围是( A.(0,
2? 3

),那么曲线 y=f(x)


?
2

]

B.[0,
? ? ? ?

?
2

)∪[
y ? x

2? 3

, ? ) C.[0,

]∪[

2? 3

, ? ) D.[

?
2

,

2? 3

]

7.已知 x、y 满足不等式组 ? x ? 2 y

? 4

,则 t=x2+y2+2x-2y+2 的最小值为(



y ? ?2

A.

1 5

B.5

C.2

D.

2

8.已知 f(x)=ax2+bx+c(a>0) ? , ? 是方程 f(x)=x 的两根,且 0< ? < ? .当 0<x< ,
?

时,下列关系成立的是(

) C.x>f(x) D.x≥f(x) . 的最大值是 .

A.x<f(x)

B.x=f(x)

9.已知{an}为等差数列,且 a7-2a4=-1,a3=0,则公差 d= 10.定义运算:
a1 a3 a2 a4

=a1a4-a2a3,则函数 f(x)=

cos x sin x

?1 1

11. 已知函数 y ? a ( a ? 0, a ? 1) 的反函数是 y ? f
x

?1

( x ) ,若 f

?1

(m ) ? f

?1

( n ) ? 0 ,则 m+n

的最小值是_______.

12.函数 y=

x



3? x

的最大值为



A
13.如图,已知非零向量 OA 、 OB 与向量 OP 共面,且夹角分别 为
?
6

O P B



2? 3

,设 OC = OA - OB ,则向量 OC 与 OP 的夹角的取值 .

范围是

14.矩形 ABCD 中,对角线 AC 与边 AB、AD 所成的角分别 为 ?、 , cos2?+cos2?=1. ? 则 如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,请应用类比推理,写出一个类似的结论:

A1 B1 A C1 C

D1 D



B

15.对于函数 f(x)= |x|3-
3

1

a 2

x2+(3-a)|x|+b,⑴若 f(2)=7,则 f(-2)= .



⑵若 f(x)有六个不同的单调区间,则 a 的取值范围是

16.已知函数 f(x)=2x2-2ax+b,f(-1)=-8.对 ? x∈R,都有 f(x)≥f(-1)成立;记集合 A ={ x | f(x)>0},B={ x | | x-t |≤1 }. (Ⅰ) 当 t=1 时,求(
RA)∪B;

(Ⅱ) 设命题 P:A∩B≠ ? ,若┐P 为真命题,求实数 t 的取值范围.

17.在△ABC 中,a、b、c 分别为三个内角 A、B、C 的对边,锐角 B 满足 sin B ? (Ⅰ) 求 sin 2 B ? co s (Ⅱ) 若 b ?
2

5 3



A?C 2

的值;
?
3 ) 的值.

2 ,当 ac 取最大值时,求 c o s( A ?

18.某篮球职业联赛的总决赛在甲队与乙队间角逐,采用五局三胜制,即若一队先胜三场, 则此队获胜,比赛结束,因两队实力相当,每场比赛获胜的可能性相等,据以往资料统计, 第一场比赛组织者可获门票收入 30 万元,以后每场比赛门票收入都比上一场增加 10 万元, 问: ⑴组织者在此次总决赛中获得门票收入不少于 180 万元的概率是多少? ⑵用 ? 表示组织者在此次总决赛中的门票收入,求 ? 的数学期望?

19.已知数列{an}满足 a1= (Ⅰ) 证明:数列{ (Ⅱ) 设 bn=
1 an
2

1 4

,an=

a n ?1 ( ? 1) a n ?1 ? 2
n

(n≥2,n∈N*) .

1 an

+(-1)n}是等比数列;

,求数列{bn}的前 n 项和 Sn;

20.已知函数 fn(x)=(1+x)n-1, (n∈N*,且 n>1) . (Ⅰ) 设函数 h ( x ) ? f 3 ( x ) ? F2 ( x ), x ? [ ? 2, 0 ] ,求 h ( x ) 的最大值和最小值 (Ⅱ) 若 x ? ? 2 求证:fn(x)≥nx.

21.对于函数 f ( x ) ,若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点.如果函数 f(x)=
x ?a
2

bx ? c

有且仅有两个不动点 0 和 2.

(Ⅰ)试求 b、c 满足的关系式; (Ⅱ)若 c=2 时, 各项不为零的数列{an}满足 4Sn· f( (Ⅲ)设 bn=-
1 an 1 an

? 1 ? ? )=1, 求证: 1 ? ? ? an ? ? ?

a n ?1



1

? 1 ? < ?1 ? ? ? e an ? ? ?

an



,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求证:T2009-1<ln2009<T2008.

答 案
1.A;2.C;3.D;4.C;5.B;6.B;7.C;8.A 9.-
1 2



10.

2

; 11. 2 ;

12.

6

; 13.(

?
6

,

?
3

);

14. “对角线 AC1 与棱 AB、 AD、 1 所成的角分别为 ?、 、 , cos2?+cos2?+cos2?=1. AA ? ? 则 ” 或者 “对角线 AC1 与平面 AB1、 AC、 1 所成的角分别为角 ?、 、 , cos2?+cos2?+cos2? AD ? ? 则 =2”; 15.7;(2, 3). 16.由题意(-1, -8)为二次函数的顶点,∴ f(x)=2(x+1)2-8=2(x2+2x-3).???2 分 A={ x | x<-3 或 x>1}. (Ⅰ) B={ x | |x-1|≤1}={ x | 0≤x≤2}.????????????????????4 分 ∴ (
RA)∪B={

x | -3≤x≤1}∪{ x | 0≤x≤2}={ x | -3≤x≤2}.????????6 分

(Ⅱ) B={ x | t-1≤x≤t+1}.
?t ? 1 ? ? 3 ?t ? ? 2 ? ? ? ? t ?1?1 ? t ? 0

,????????????????????????????10 分

∴实数 t 的取值范围是[-2, 0].???????????????????????12 分 17.(Ⅰ)∵锐角 B 满足 sin B ? ∵ sin 2 B ? co s
2

5 3

,? co s B ?

2 3

???????????????1 分
? 2 sin B co s B ? 1 ? co s B 2

A?C 2

? 2 sin B ? co s B ?

1 ? co s( A ? C ) 2

? 2?

5 3

?

2 3

1? ?

2

3 ? 8 5 ?3 .???????????5 分 2 18
2 2 2

(Ⅱ) ∵ co s B ?
4 3

a ?c ?b 2ac

?

2 3

,????????????????8 分



ac ? a ? c ? 2 ? 2ac ? 2
2 2

∴ a c ? 3, 当 且 仅 当 a ? c ?

3时 , a c 取 到 最 大 值 ??????????10 分

∴ a c取 到 最 大 值 时 , c o s A =

b ?c ?a
2 2

2

?

b 2c

?

2 2 3

?

6 6



2bc

∴ sin A ?

1 ? co s A ?
2

1?

1 6

?

30 6

∴ co s( A ?

?
3

) ? co s A co s

?
3

? sin A sin

?
3

?

6 6

?

1 2

?

30 6

?

3 2

?

6 ? 3 10 12

??12 分

18.解:⑴每场比赛的门票收入构成等差数列{an},其中 a1=30,d=10, Sn=5n2+25n

令 Sn≥180,即 5n +25n≥180,解得 n≥4 或 n≤-9(舍) ∴n=4 或 5 ?
? 若 n ? 4, 则 需 打 4 场 比 赛 , 某 队 必 须 第 4 场 胜 , 且 前 3 场 中 胜 2 场 ? 若 n ? 5, 则 需 打 5 场 比 赛 ,某 队 必 须 第 5 场 胜 , 且 前 4 场 中 胜 2 场
4 5

2

3 ?1? 2 ? 1 ? ? P ? 2C 3 ? ? ? 2C 4 ? ? ? 4 ?2? ?2? ?????????????6 分 3 ?? 为 4
2


?

120
1 4

180
3 8

250
3 8

P ∴E ? = 1 2 0 ?
1 4 ? 180 ? 3 8 ? 250 ? 3 8

? 1 9 1 .2 5 ????????????????12 分

19.(Ⅰ) ∴数列{ ∴
1 an
1

1 an

=(-1)n-

2 a n ?1 1 a1

,∴

1 an

+(-1)n=(-2) [

1 a n ?1

+(-1)n 1]



an

+(-1)n}是以


+(-1)=3 为首项,公比为-2 的等比数列.?????4 分
( ? 1) 3? 2
n ?1

+(-1)n=3(-2) n 1,即 an=
- -

n ?1

?1

.????????????????6 分

(Ⅱ) bn=(3×2 n 1+1)2=9×4 n 1+6×2 n 1+1.????????????????8 分 ∴Sn=9× 20. (Ⅱ)h(x)=f3(x)-f2(x)=x(1+x)2, x ? [0, 2 ] ∴h ' (x)=(1+x)2+2x(1+x)=(1+x)(1+3x), 令 h ' (x)=0,得 x=-1 或 x=- ,??????8 分
3 1
1 ? (1 ? 4 )
n



1? 4

+6×

1 ? (1 ? 2 )
n

1? 2

+n=3×4 n+6×2 n+n-9.?????????12 分

x h ' (x) h(x)

-2

(-2, -1) +

-1 0 0

(-1, - )
3

1



1 3

(- , 0)
3

1

0

- ↘
1

0 -
4 27

+ ↗ 0

-2
1 3



? h(x)在(-2, -1),(-

, 0)上单调递增,在(-1, - )上单调递减,过点(0, 0).
3

? x ? [ ? 2.0] 时, f ( x ) m ax ? f ( ? 1) ? f (10) ? 0. f ( x ) m in ? f ( ? 2) ? ? 2 ??7 分

y
1

4 -2

1 3 4 27

3

x

(Ⅱ)令 g(x)=fn(x)-nx=(1+x)n-1-nx. 则 g '(x)=n(x+1)n 1-n=n[(x+1)n 1-1], ∴当-2<x<0 时,g '(x)<0;当 x>0 时 g '(x)>0. ∴g(x)在(-2, 0)上单调递减,在(0, +∞) 上单调递增. ∴当 x=0 时,g(x)min=g(0)=0,即 g(0)≥g(x) min=0,∴fn(x)≥nx.?13 分 21.(Ⅰ)设
x ?a
2
- -

bx ? c

? x的 不 动 点 为 0 和 2

? a ?0 ? a ?0 ? ?c c ? ? ∴? 即? c 即 b ? 1 ? 且 c ? 0 ????????????2 分 2 ? 4 ? a ? 2 ?b ? 1 ? ? 2 ? 2b ? c ?

(Ⅱ)∵c=2

∴b=2



f

?x ? ?

x

2

2 ? x ? 1?

?x

? 1?



由已知可得 2Sn=an-an2??①,且 an≠1. 当 n≥2 时,2 Sn -1=an-1-an-12 ??②, ①-②得(an+an-1)( an-an-1+1)=0,∴an=-an-1 当 n=1 时,2a1=a1-a1 ? a1=-1, 若 an=-an-1,则 a2=1 与 an≠1 矛盾.∴an-an-1=-1, ∴an=-n.??????4 分 ∴要证待证不等式,只要证 即证
1 ? ? ?1 ? ? n ? ?
n

或 an=-an-1 =-1,

2

1 ? ? ?1 ? ? n ? ?

? ?n ?1 ?

?

1

1 ? ? ? ?1 ? ? e n ? ?

?n



1 ? ? ? e ? ?1 ? ? n ? ?

n ?1

, ,即证
1 n ?1 1 ? 1 ? ? ln ? 1 ? ? ? n ? n ?

只要证

1 ? ? n ln ? 1 ? ? ? 1 ? n ? ?

?n

1 ? ? ? 1 ? ln ? 1 ? ? n ? ?



考虑证不等式

x x ?1

? ln ? x ? 1 ? ? x

(x>0) **.???????????????????6 分
x x ?1

令 g(x)=x-ln(1+x), h(x)=ln(x+1)-
x 1? x
x

(x>0) .

∴g '(x)=

, h '(x)=

? x ? 1?2



∵x>0, ∴g '(x)>0,

h '(x)>0,∴g(x)、h(x)在(0, +∞)上都是增函数,

∴g(x)>g(0)=0, h(x)>h(0)=0,∴x>0 时,
? ? 1 ? ? an ? ?
a n ?1

x x ?1

? ln ? x ? 1 ? ? x



令x

?

1 n

则**式成立,∴ ? 1 ? ?
1 n

< < ?1 ? ?
e
?

1

?

1 ? ? an ? ?

an

,??????????????9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 bn= 在
1 n ?1
? 1 3

,则 Tn= 1 ?

1 2

?

1 3

? ???????

1 n



1? 1 ? ? ln ? 1 ? ? ? n? n ?
? ??????? 1 2009

中,令 n=1,2,3,……,2008,并将各式相加,
? ln 2 1 ? ln 3 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ln 2009 2008 ? 1? 1 2 ? 1 3 ? ??????? 1 2008

得1
2



即 T2009-1<ln2009<T2008.?????????????????????????12 分


10.12.20高三理科数学练习题4

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