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第一章集合与函数的概念 单元综合测试(人教A版必修1)


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第一章单元综合测试
时间:120 分钟 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

分值:150 分

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.集合{1,2,3}的所有

真子集的个数为( A.3 B.6 )

C.7 D.8 解析:含一个元素的有{1},{2},{3},共 3 个;含两个元素的有 {1,2},{1,3},{2,3},共 3 个;空集是任何非空集合的真子集,故有 7 个. 答案:C 2.下列五个写法,其中错误写法的个数为( .. =? A.1 B.2 C.3 D.4 解析:②③正确. 答案:C 3.使根式 x-1与 x-2分别有意义的 x 的允许值集合依次为 M、F,则使根式 x-1+ x-2有意义的 x 的允许值集合可表示为 ( ) A.M∪F B.M∩F
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)

①{0}∈{0,2,3};②??{0};③{0,1,2}?{1,2,0};④0∈?;⑤0∩?

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金太阳新课标资源网 C.?MF D.?FM

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解析:根式 x-1+ x-2有意义,必须 x-1与 x-2同时有 意义才可. 答案:B 4. 已知 M={x|y=x2-2}, N={y|y=x2-2}, M∩N 等于( 则 A.N B.M C.R D.? 解析:M={x|y=x2-2}=R,N={y|y=x2-2}={y|y≥-2},故 M∩N=N. 答案:A 5.函数 y=x2+2x+3(x≥0)的值域为( A.R B.[0,+∞) C.[2,+∞) D.[3,+∞) 解析:y=x2+2x+3=(x+1)2+2,∴函数在区间[0,+∞)上为 增函数,故 y≥(0+1)2+2=3. 答案:D 6.等腰三角形的周长是 20,底边长 y 是一腰的长 x 的函数,则 y 等于( ) ) )

A.20-2x(0<x≤10) B.20-2x(0<x<10) C.20-2x(5≤x≤10) D.20-2x(5<x<10) 解析:C=20=y+2x,由三角形两边之和大于第三边可知 2x>y =20-2x,x>5. 答案:D 7.用固定的速度向图 1 甲形状的瓶子注水,则水面的高度 h 和 时间 t 之间的关系是图 1 乙中的(
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乙 图1 解析:水面升高的速度由慢逐渐加快. 答案:B 8.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数 的是( )

①y=f(|x|) ②y=f(-x) ③y=xf(x) ④y=f(x)+x A.①③ C.①④ B.②③ D.②④

解析:因为 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=- f(x).①y=f(|x|)为偶函数;②y=f(-x)为奇函数;③令 F(x)=xf(x), 所以 F(-x)=(-x)f(-x)=(-x)· [-f(x)]=xf(x).所以 F(-x)= F(x). 所以 y=xf(x)为偶函数; ④令 F(x)=f(x)+x, 所以 F(-x)=f(- x)+(-x)=-f(x)-x=-[f(x)+x].所以 F(-x)=-F(x).所以 y= f(x)+x 为奇函数.
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金太阳新课标资源网 答案:D

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3 9.已知 0≤x≤ ,则函数 f(x)=x2+x+1( 2 3 A.有最小值- ,无最大值 4 3 B.有最小值 ,最大值 1 4 C.有最小值 1,最大值 D.无最小值和最大值 19 4

)

1 3 解析:f(x)=x2+x+1=(x+ )2+ ,画出该函数的图象知,f(x) 2 4 3 3 19 在区间[0, ]上是增函数,所以 f(x)min=f(0)=1,f(x)max=f( )= . 2 2 4 答案:C 10.已知函数 f(x)的定义域为[a,b],函数 y=f(x)的图象如图 2 甲所示,则函数 f(|x|)的图象是图 2 乙中的( )



乙 图2
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解析:因为 y=f(|x|)是偶函数,所以 y=f(|x|)的图象是由 y=f(x) 把 x≥0 的图象保留,再关于 y 轴对称得到的. 答案:B 11.若偶函数 f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则( 3 A.f(- )<f(-1)<f(2) 2 3 B.f(-1)<f(- )<f(2) 2 3 C.f(2)<f(-1)<f(- ) 2 3 D.f(2)<f(- )<f(-1) 2 解析:由 f(x)是偶函数,得 f(2)=f(-2),又 f(x)在区间(-∞, 3 3 -1]上是增函数,且-2<- <-1,则 f(2)<f(- )<f(-1). 2 2 答案:D 12. (2009· 四川高考)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为
? 5? 零的偶函数,且对任意实数 x 都有 xf(x+1)=(1+x)f(x),则 f?f?2??的 ? ?

)

值是(

) 1 2

A.0 B.

5 C.1 D. 2 1 1 1 1 1 1 1 1 解析:令 x=- ,则- f( )= f(- ),又∵f( )=f(- ),∴f( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 3 1 3 3 3 5 5 3 =0;令 x= , f( )= f( ),得 f( )=0;令 x= , f( )= f( ),得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
? 5? 5 f( )=0;而 0· f(1)=f(0)=0,∴f?f?2??=f(0)=0,故选 A. 2 ? ?

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金太阳新课标资源网 答案:A

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第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.设全集 U={a,b,c,d,e},A={a,c,d},B={b,d,e}, 则?UA∩?UB=________. 解析:?UA∩?UB=?U(A∪B),而 A∪B={a,b,c,d,e}=U. 答案:? 14.设全集 U=R,A={x|x≥1},B={x|-1≤x<2},则?U(A∩B) =________. 解析:A∩B={x|1≤x<2},∴?R(A∩B)={x|x<1 或 x≥2}. 答案:{x|x<1 或 x≥2} 15.已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,3]上为减函 数,求实数 a 的取值范围为________. 解析:函数 f(x)的对称轴为 x=1-a,则由题知:1-a≥3 即 a≤ -2. 答案:a≤-2 16.若 f(x)=(m-1)x2+6mx+2 是偶函数,则 f(0)、f(1)、f(-2) 从小到大的顺序是__________. 解析:∵f(x)=(m-1)x2+6mx+2 是偶函数,∴m=0. ∴ f(x) = - x2 + 2. ∴ f(0) = 2 , f(1) = 1 , f( - 2) = - 2 , ∴ f( - 2)<f(1)<f(0). 答案:f(-2)<f(1)<f(0) 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 70 分)
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17.(10 分)设 A={x|-2≤x≤5},B={x|m-1≤x≤2m+1}, (1)当 x∈N*时,求 A 的子集的个数; (2)当 x∈R 且 A∩B=? 时,求 m 的取值范围. 解:(1)∵x∈N*且 A={x|-2≤x≤5}, ∴A={1,2,3,4,5}.故 A 的子集个数为 25=32 个. (2)∵A∩B=?, ∴m-1>2m+1 或 2m+1<-2 或 m-1>5, ∴m<-2 或 m>6. 18. 分)已知集合 A={-1,1}, (12 B={x|x2-2ax+b=0}, B≠? 若 且 B?A,求 a,b 的值. 解:(1)当 B=A={-1,1}时,易得 a=0,b=-1; (2)当 B 含有一个元素时,由 Δ=0 得 a2=b, 当 B={1}时,由 1-2a+b=0,得 a=1,b=1 当 B={-1}时,由 1+2a+b=0,得 a=-1,b=1. 19.(12 分)已知函数 f(x)= x (a,b 为常数,且 a≠0),满足 ax+b

f(2)=1, 方程 f(x)=x 有唯一实数解, 求函数 f(x)的解析式和 f[f(-4)] 的值. 解:∵f(x)= x 且 f(2)=1,∴2=2a+b. ax+b

又∵方程 f(x)=x 有唯一实数解. ∴ax2+(b-1)x=0(a≠0)有唯一实数解. 1 故(b-1)2-4a×0=0,即 b=1,又上式 2a+b=2,可得:a= , 2 从而 f(x)= 2x = , 1 x+2 x+1 2 x 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

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金太阳新课标资源网 ∴f(-4)=

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2×?-4? 8 4 4 =4,f(4)= = ,即 f[f(-4)]= . 6 3 3 -4+2

20.(12 分)已知函数 f(x)=4x2-4ax+(a2-2a+2)在闭区间[0,2] 上有最小值 3,求实数 a 的值. a? ? 解:f(x)=4?x-2? +2-2a. ? ? a (1)当 <0 即 a<0 时,f(x)min=f(0)=a2-2a+2=3,解得:a=1 2 - 2.
?a? a (2)0≤ ≤2 即 0≤a≤4 时,f(x)min=f?2?=2-2a=3,解得:a= 2 ? ?
2

1 - (舍去). 2 a (3) >2 即 a>4 时,f(x)min=f(2)=a2-10a+18=3,解得:a=5 2 + 10, 综上可知:a 的值为 1- 2或 5+ 10. 21.(12 分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地,现有汽车、火 车两种运输工具可供选择.若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损 耗为 300 元/小时,其他主要参考数据如下:
运输 工具 汽车 火车 途中速度 (千米/小时) 50 100 途中费用 (元/千米) 8 4 装卸时间 (小时) 2 4 装卸费 用(元) 1000 1800

问: 如何根据运输距离的远近选择运输工具, 使运输过程中的费 用与损耗之和最小? 解:设甲、乙两地距离为 x 千米(x>0),选用汽车、火车运输时 的总支出分别为 y1 和 y2.
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由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表:
运输 工具 汽车 火车 途中及 装卸费用 8x+1000 4x+1800 途中 时间 x +2 50 x +4 100

x 于是 y1=8x+1000+( +2)×300=14x+1600, 50 x y2=4x+1800+( +4)×300=7x+3000. 100 令 y1-y2<0 得 x<200. ①当 0<x<200 时,y1<y2,此时应选用汽车; ②当 x=200 时,y1=y2,此时选用汽车或火车均可; ③当 x>200 时,y1>y2,此时应选用火车. 故当距离小于 200 千米时, 选用汽车较好; 当距离等于 200 千米 时,选用汽车或火车均可;当距离大于 200 千米时,选用火车较好. 22.(12 分)已知 f(x)的定义域为(0,+∞),且满足 f(2)=1,f(xy) =f(x)+f(y),又当 x2>x1>0 时,f(x2)>f(x1). (1)求 f(1)、f(4)、f(8)的值; (2)若有 f(x)+f(x-2)≤3 成立,求 x 的取值范围. 解:(1)f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0,f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2, f(8)=f(2)+f(4)=2+1=3. (2)∵f(x)+f(x-2)≤3,∴f[x(x-2)]≤f(8),又∵对于函数 f(x)有 x2>x1>0 时 f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.

?x>0 ? ∴?x-2>0 ?x?x-2?≤8 ?
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?2<x≤4.

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∴x 的取值范围为(2,4].

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