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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版必修二【配套备课资源】垂直关系的判定


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6.1

6.1
[学习要求]

垂直关系的判定

1.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理;
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2.掌握平面与平面垂直的概念、判定定理; 3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题. [学法指导] 通过

两个定义及两个定理的学习, 培养和发展空间想象能 力,推理论证能力,运用图形语言进行交流的能力,几何 直观感知能力; 通过运用两定理感悟和体验线面垂直转化 为线线垂直的思想方法.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.直线和平面垂直的定义:如果一条直线和一个平面内的
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任何一条直线 都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直的判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直 线 垂直,那么这条直线与这个平面垂直.
3.平面与平面垂直的定义:两个平面相交,如果它们所成的二 面角是 直二面角 ,就说这两个平面互相垂直. 4.面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的 一

条垂线 ,那么这两个平面互相垂直.

研一研·问题探究、课堂更高效

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探究点一
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直线与平面垂直的定义 你能举出在日常生活中给人以直线与平面垂直的例

问题 1

子吗? 答 旗杆与地面的关系,给人以直线与平面垂直的形象;将

书打开直立在水平桌面上,书脊和书的各页面都与桌面垂直.

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问题 2 如图,把教学用的直角三角板放在墙

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角,使三角板的直角顶点 C 与墙角重合,直角 边 AC 所在直线与墙角所在直线重合,将三角 板绕 AC 转动,在转动过程中,直角边 CB 与地面紧贴,这表 明了什么?

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表明了 AC 与地面垂直.

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问题 3 结合下列问题,试着说明直线和平面垂直的意义. (1)如图,阳光下直立于地面的旗杆 AB 与它 在地面上的影子 BC 的位置关系是什么?随 着太阳的移动, 旗杆 AB 与影子 BC 所成的角
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度会发生改变吗? (2)旗杆 AB 与地面上任意一条不过旗杆底部 B 的直线 B′C′的位置关系又是什么?依据是什么?由此得到什 么结论?



(1)垂直关系,所成的角度不变,都为 90° .

(2)垂直关系,依据是异面直线所成角的概念.得到的结论 是:如果一条直线与平面垂直,则这条直线垂直于该平面 内的任意一条直线.

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问题 4 通过上述分析,你认为应该如何定义一条直线与一 个平面垂直? 答 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那
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么称这条直线和这个平面垂直.

问题 5

如何画直线与平面垂直?如何用符号表示直线与平面

垂直? 答 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行
四边形的一边垂直.直线 l 和平面 α 互相垂直,记作 l⊥α.

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问题 6 若直线与平面内的无数条直线垂直, 则直线垂直于平 面吗?如不是,直线与平面的位置关系如何?
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不一定垂直,有可能平行或者相交.

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探究点二 直线与平面垂直的判定 问题 1 通常定义可以作为判定的依据,那么用上述定义判定 直线与平面垂直是否方便?为什么? 答 不方便,因为要验证直线垂直平面内所有的直线,这

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实际上是很困难的.
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问题 2 请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图 所示的试验:过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD, 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触), 问:折痕 AD 与桌面垂直吗?如何翻折才能保证折痕 AD 与 桌面所在平面垂直?



从实验可知:当 AD 与 BC 不垂直时,翻折后的纸片竖起

放置在桌面上折痕 AD 与桌面不垂直;当 AD 与 BC 垂直时, 翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕 AD 与桌面垂直.

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问题 3 由 折 痕 AD⊥BC, 翻折 之后 垂直关 系 不变 ,即

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AD⊥CD,AD⊥BD.由此你能得到什么结论?


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若平面外一条直线与平面内两条相交直线垂直且相交,
如图 1,把 AD、BD、CD 抽象为直线

则该直线垂直这个平面.
问题 4 l、m、n,把桌面抽象为平面 α,l 与 α 垂直的 条件是什么?



条件是 l 与平面 α 内的两条相交直线 m, 垂直且相交. n

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问题 5

如图 2,若 α 内两条相交直线 m、n 与 l

无公共点且 l⊥m、 l⊥n, 我们可以把直线 l 平移 到交点处,由此你能给出判定直线与平面垂直
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的方法吗?
答 线面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两 条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.
问题 6 如何用符号语言表示直线与平面垂直的判定定理?



若直线 a? 平面 α,直线 b? α,直线 l⊥a,l⊥b,a∩b=A,则

l⊥α.

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例1 如图,已知 a∥b,a⊥α.求证:b⊥α.

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证明

在平面 α 内作两条相交直线 m,n.

因为直线 a⊥α,根据直线与平面垂直的定义知 a⊥m,a⊥n.
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又因为 b∥a,所以 b⊥m,b⊥n. 又因为 m? α,n? α,m,n 是两条相交直线, 所以 b⊥α. 小结 (1)如果两条平行直线有一条垂直于平面,那么另一条

直线也垂直于这个平面. (2)证明线面垂直的一般思路是依据线面垂直的判定定理,寻 找满足定理的条件,当条件满足了,也就证明了线面垂直; 线面垂直的定义说明了直线垂直平面,则直线垂直这个平面 内的任意直线,常用此性质证线线垂直.

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跟踪训练 1 一旗杆高 8 m,在它的顶点处系两条长 10 m 的 绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点(与旗杆 脚不在同一条直线上).如果这两点与旗杆脚距 6 m,那么旗
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杆就与地面垂直,为什么? 解 如图,旗杆 PO=8,两绳子长 PA=PB=10,
OA=OB=6,A,O,B 三点不共线,因此 A,O, B 三点确定平面 α.
因为 PO2+AO2=PA2,PO2+BO2=PB2, 所以 PO⊥OA,PO⊥OB,又 OA∩OB=O, 所以 OP⊥α,因此旗杆与地面垂直.

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探究点三 问题 1 两平面垂直的定义及判断

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阅读教材 36 页下半页,你能说出二面角、二面角的

平面角及直二面角是如何定义的吗? 答 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面
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角;以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作 垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平 面角;平面角是直角的二面角叫作直二面角.

问题 2


两个平面互相垂直是如何定义的?
两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这

两个平面互相垂直.

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问题 3 将一支铅笔垂直于桌面,再用一本书紧贴着铅笔转

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动,观察书本和桌面有怎样的关系?
答 不论书本转动到什么位置,书本都与桌面垂直.

问题 4
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你能解释问题 3 中得出的结论的原因吗?
可以把铅笔看作桌面所在平面的一条垂线,并且这条直



线在书本所在的平面内,过这条垂线与两平面交线的交点, 在桌面所在的平面内作交线的垂线,这样得到了两个平面所 成二面角的平面角,由于平面角是直角,所以两个平面互相 垂直.

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问题 5

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由问题 4 你能得出怎样的结论?
平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个 如何用符号语言表示面面垂直的判定定理?如何画

平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 问题 6 答 两个平面互相垂直的直观图? 若直线AB? 平面β,AB⊥平面α,则β⊥α. 画两个互相垂直的平面,把直立平面的竖边画成和水平面的 横边垂直,如下图所示:

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例2

如图所示,AB 为⊙O 的直径,⊙O

所在平面为 α,PA⊥α 于 A,C 为⊙O 上 异于 A,B 的一点.求证:平面 PAC⊥平
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面 PBC.

证明

由 AB 为⊙O 的直径知,BC⊥AC.

又 PA⊥α,BC? α,所以 PA⊥BC.
而 PA∩AC=A,所以 BC⊥平面 PAC. 又因为 BC? 平面 PBC,从而平面 PAC⊥平面 PBC. 小结 证明面面垂直需根据面面垂直的判定定理转化为证明

线面垂直,进而转化为证明线线垂直.此外还可用定义法, 即两平面相交,若所成的二面角是直二面角,则这两个平面 互相垂直.

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跟踪训练 2 如右图,在三棱锥 V-ABC 中, VC⊥底面 ABC,AC⊥BC,D 是 AB 的中点, 且 AC=BC=a,求证:平面 VAB⊥平面 VCD.
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证明

因为 AC=BC, 所以△ABC 是等腰三角形. D 是 AB 又

的中点, 所以 CD⊥AB. 又 VC⊥底面 ABC,AB? 底面 ABC,所以 VC⊥AB. 因为 CD∩VC=C,CD? 平面 VCD,VC? 平面 VCD, 所以 AB⊥平面 VCD.

又 AB? 平面 VAB,所以平面 VAB⊥平面 VCD.

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例3 已知 Rt△ABC 中,AB=AC=a,AD 是斜边 BC 上的 高,以 AD 为折痕使∠BDC 成直角(如下图).

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求证:(1)平面 ABD⊥平面 BDC,平面 ACD⊥平面 BDC; (2)∠BAC=60° .

证明

(1)如上图(2),因为 AD⊥BD,AD⊥DC,

所以 AD⊥平面 BDC.

因为平面 ABD 和 ACD 都过 AD,
所以平面 ABD⊥平面 BDC,平面 ACD⊥平面 BDC;
(2)如上图(1)中,在直角△BAC 中,

因为 AB=AC=a,所以 BC= 2a,

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所以 BD=DC=

2 a, 2

如上图(2)△BDC 是等腰直角三角形,
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所以 BC= 2BD=a,

所以 AB=AC=BC,因此∠BAC=60° .
小结 对于由平面图形折叠而成的几何体,要注意利用平面

图形折叠前后有些线段的长度及角的大小不变的性质.

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跟踪训练3 如图,在四面体ABCD中,BD= 2 a,AB=AD=BC=CD=AC=a.求证:平面 ABD⊥平面BCD.

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证明
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取 BD 中点 E,连接 AE,CE,则 AE⊥BD,BD⊥CE.

1 2 在△ABD 中,AB=a,BE=2BD= 2 a, 2 2 ∴AE= 2 a,同理,CE= 2 a. 2 在△AEC 中,AE=EC= a,AC=a, 2 ∴AC2=AE2+EC2,即 AE⊥EC.

又∵BD∩EC=E, ∴AE⊥平面 BCD. 又∵AE? 平面 ABD,∴平面 ABD⊥平面 BCD.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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1.在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA
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的中点,下面四个结论中不成立的是 A.BC∥平面 PDF C.平面 PDF⊥平面 ABC 解析 如图所示: DF∥BC,可得 A 正确. ∵BC⊥PO,BC⊥PE,
∴BC⊥平面 PAE, 从而得 DF⊥平面 PAE.B 正确. 由 PO⊥平面 ABC,
则平面 PAE⊥平面 ABC,D 正确.

( C ) B.DF⊥平面 PAE D. 平面 PAE⊥平面 ABC

练一练·当堂检测、目标达成落实处
2. 如右图,已知平面 α⊥平面 β,在 α 与 β 的交线上取 线段 AB=4 cm,AC,BD 分别在平面 α 和平面 β 内, 它们都垂直于交线 AB, 并且 AC=3 cm, BD=12 cm,
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求 CD 的长. 解 连接 BC,CD,因为 BD⊥AB,直线 AB 是两个
互相垂直的平面 α 和 β 的交线,

所以 BD⊥α,BD⊥BC,
所以△CBD 是直角三角形,
在直角△BAC 中,BC= 32+42=5; 在直角△CBD 中,CD= 122+52=13. 所以 CD 的长为 13 cm.

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1. 线面垂直的判定定理可以简单地记为“线线垂直?线面垂直”, 定理中的关键词语是“平面内两条相交直线”和“都垂直”.
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2.证明线面垂直的方法: ①线面垂直的定义, 在用定义时注意, “平面内任何一条直线” 与“平面内无数条直线”是两个不同的概念,直线与平面内无 数条直线垂直时,直线与平面不一定垂直; ②线面垂直的判定定理;③两条互相平行的直线的性质,即: 如果两条平行直线有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直 于这个平面.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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3.证明两个平面垂直,首先要考虑直线与平面的垂直,也可简单
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地记为“证面面垂直,找线面垂直”,是化归思想的体现.这 种思想方法, 与平行关系的证明非常类似, 学习时注意类比. 也 可作出二面角的平面角,证明平面角为直角.


《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版必修4【配套备课资源】1.1

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