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上海市2016届高考数学一轮复习 专题突破训练 立体几何 理


上海市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 立体几何
一、填空、选择题 1、 (2015 年上海高考)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π ,则其母线与轴的夹角的大小 为 .

2、(2014 年上海高考)若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与底面夹角的大小为 (结果用反三角函数值表示). 3 、 ( 2013 年 上 海 高 考

) 在 xOy 平 面 上 , 将 两 个 半 圆 弧 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1( x ? 1) 和

( x ? 3)2 ? y 2 ? 1( x ? 3) 、两条直线 y ? 1 和 y ? ?1 围成的封闭图形记为 D,如图中阴影部分.记 D
y ?| 1) 绕 y 轴 旋 转 一 周 而 成 的 几 何 体 为 ? , 过 ( 0,y )(| 作 ? 的水平截面,所得截面面积为
4? 1 ? y 2 ? 8? ,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出 ? 的体积值为__________

4、(静安、青浦、宝山区 2015 届高三二模)已知扇形的圆心角是 1 弧度,半径为 5cm ,则此扇形 的弧长为 cm . l 5、(闵行区 2015 届高三二模) 如图,已知直线 l ? 平面 ? , A 垂足为 O ,在 △ ABC 中, BC ? 2, AC ? 2, AB ? 2 2 , B P 点 P 是边 AC 上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由 移动:(1) A ? l ,(2) C ? ? .则 OP ? PB 的最大值为 (A) 2 . (B) 2 2 . (C) 1 ? 5 .
2

??? ? ??? ?

( (D)

)

?

O C

N

10 .

6、(浦东新区 2015 届高三二模)已知球的表面积为 64 ? cm ,用一个平面截球,使截面圆的半径 为 2 cm ,则截面与球心的距离是

cm .

7、(普陀区 2015 届高三二模)一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的 2 倍, 若圆锥的高为 1,则球的表面积为

1

8、(徐汇、松江、金山区 2015 届高三二模)如图所示:在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? BC ,

AB ? BC ? BB1 ,则平面 A1B1C 与平面 ABC 所成的二面角的大小为

9、(长宁、嘉定区 2015 届高三二模)在四棱锥 V ? ABCD 中, B1 , D1 分别为侧棱 VB ,VD 的中 点,则四面体 AB 1CD 1 的体积与四棱锥 V ? ABCD 的体积之比为………………( ) A. 1 : 6 B. 1 : 5 C. 1 : 4 D. 1 : 3 10、 (奉贤区 2015 届高三上期末)如图,在矩形 ABCD 中,E 为边 AD 的中点, AB ? 1 ,BC ? 2 , 分别以 A 、 D 为圆心,1 为半径作圆弧 EB 、 EC ( E 在线段 AD 上).由两圆弧 EB 、 EC 及边 BC 所围成的平面图形绕直线 AD 旋转一周,则所形成的几何体的体积为

11、(黄浦区 2015 届高三上期末)已知某圆锥体的底面半径 r ? 3 ,沿圆锥体的母线把侧面展开后 得到一个圆心角为 2 ? 的扇形,则该圆锥体的表面积是
3

12、(金山区 2015 届高三上期末)如图所示,在长方体 ABCD–EFGH 中,AD=2,AB=AE=1,M 为矩形

AEHD 内的一点,如果∠MGF=∠MGH,MG 和平面 EFG 所成角的正切值为
离是 ▲

1 ,那么点 M 到平面 EFGH 的距 2

13、(浦东区 2015 届高三上期末)如图,已知 PA ? 平面 ABC , AC ? AB , AP ? BC , ?CBA ? 30? , D 、 E 分别是 BC 、 AP 的中点. 则异面直线 AC 与 DE 所成角的大小 为 .

2

P

E
A

B

D C 14、(松江区 2015 届高三上期末)在正四棱柱 ABCD ? A 1 与平面 ABCD 所成的角 1B 1C1D 1 中, BC 为 60 ? ,则 BC1 与 AC 所成的角为 ▲ (结果用反三角函数表示).

15、(宝山区 2015 届高三上期末)正四棱锥 P ? ABCD 的所有棱长均相等, E 是 PC 的中点,那 么异面直线 BE 与 PA 所成的角的余弦值等于

P E D A B

C

二、解答题 1、 (2015 年上海高考)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=1,AB=AD=2,E、F 分别是 AB、BC 的 中点,证明 A1、C1、F、E 四点共面,并求直线 CD1 与平面 A1C1FE 所成的角的大小.

3

2、 (2014 年上海高考) 底面边长为 2 的正三棱锥 P-ABC , 其表面展开图是三角形 PP , 如图. 求 1 2P 3

V . △ PP 1 2P 3 的各边长及此三棱锥的体积
P3

A

C

P1

B

P2

3、(2013 年上海高考)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线 BC1 平行于平 面 DA1C,并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离.

D A D1 B

C C1 B1

A1

4、(静安、青浦、宝山区 2015 届高三二模)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知

AA1 ? BC ? AB ? 2 , AB ⊥ BC .
(1)求四棱锥 A1 ? BCC1B1 的体积; (2)求二面角 B1 ? A1C ? C1 的大小.

B1

C1

A1

B A

C

4

5、(闵行区 2015 届高三二模)如图,已知圆锥的底面半径为 r ? 10 ,点 Q 为半圆弧 ? AB 的中点, 点 P 为母线 SA 的中点.若直线 PQ 与 SO 所成的角为

? ,求此圆锥的表面积. 4
S

P

B Q 6、 (浦东新区 2015 届高三二模)

O

A

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面正方形 ABCD 的边长为 2 ,

PA ? 底面 ABCD , E 为 BC 的中点, PC 与平面 PAD 所成的角为 arctan

2 . 2

(1) 求异面直线 AE 与 PD 所成角的大小(结果用反三角函数表示); (2)求点 B 到平面 PCD 的距离.

7、(徐汇、松江、金山区 2015 届高三二模)如图,在 Rt ?AOB 中, ?OAB ?

?
6

,斜边 AB ? 4 , D

是 AB 的中点.现将 Rt ?AOB 以直角边 AO 为轴旋转一周得到一个圆锥,点 C 为圆锥底面圆周上的 一点,且 ?BOC ?

?
2



(1)求该圆锥的全面积; (2)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

5

8、(长宁、嘉定区 2015 届高三二模)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为菱形, PD ? 平 面 ABCD , PD ? AD ? 2 , ?BAD ? 60? , E 为 BC 的中点. (1)求证: ED ? 平面 PAD ; (2)求平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角大小的余弦值. P

D E B
A1

C

9、(青浦区 2015 届高三上期末)

A

如图所示,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2 , BC ? 2 , B1

D1 C1 M

CC1 ? 4 , M 为棱 CC1 上一点.
(1)若 C1M ? 1 ,求异面直线 A1M 和 C1 D1 所成角的正切值; (2)若 C1M ? 2 ,求证 BM ? 平面 A1 B1M .
A B

D C

第 19 题图

10、(松江区 2015 届高三上期末)沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一 个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需 要的时间称为该沙漏的一个沙时。 如图, 某沙漏由上下两个圆锥组成, 圆锥的底面直径和高均为 8cm, 细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的
3

2 (细管长度忽略不计). 3

(1)如果该沙漏每秒钟漏下 0.02cm 的沙,则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到 1 秒)? (2)细沙全部漏入下部后,恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,求此锥形沙堆的高度(精确 到 0.1cm).

2h 3

h

6

11、(徐汇区 2015 届高三上期末)如图所示,某传动装置由两个陀螺 T1 , T2 组成,陀螺之间没有滑 动.每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成,每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥 底面半径的

2 1 , 且 T1 , T2 的轴相互垂直, 它们相接触的直线与 T2 的轴所成角 ? ? arctan . 若陀螺 T2 3 3

中圆锥的底面半径为 r ? r ? 0? . (1)求陀螺 T2 的体积;

P 与 P1 之间的距离. (2)当陀螺 T2 转动一圈时,陀螺 T1 中圆锥底面圆周上一点 P 转动到点 P 1 ,求

12、 (上海市八校 2015 届高三 3 月联考)如图:将圆柱的侧面沿母线 AA 展开,得到一个长为 2? ,
1

宽 AA 为 2 的矩形。
1

(1)求此圆柱的体积; (2)由点 A 拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达 A1 ,求绳长的最小值(绳粗忽略不计)。

13 、 ( 嘉 定 区 2015 届 高 三 上 期 末 ) 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , ?BAC ? 90? ,

AB ? AC ? AA 1 ? 2 ,点 E 、 F 分别为棱 AC 与 A 1 B1 的中点. A 1
(1)求三棱锥 A1 ? EFC1 的体积; (2)求异面直线 A1C 与 EF 所成角的大小. A B F B1

C1

E

C

7

14、(静安区 2015 届高三上期末)如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 2 , AA1 ? 4 , 点 P 为面 ADD 1 A1 的对角线 AD1 上的动点(不包括端点) . PM ? 平面 ABCD 交 AD 于点 M ,
MN ? BD 于点 N . (1)设 AP ? x ,将 PN 长表示为 x 的函数;

(2)当 PN 最小时,求异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示) A1 B1 C1 D1

P

A B

M N C

D

15、(普陀区 2015 届高三上期末)如图,在两块钢板上打孔,用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆 钉(图 1)穿在一起,在没有帽的一端锤打出一个帽,使得与钉帽的大小相等,铆合的两块钢板, 成为某种钢结构的配件,其截面图如图 2.(单位:mm).(加工中不计损失). (1)若钉身长度是钉帽高度的 2 倍,求铆钉的表面积; (2)若每块钢板的厚度为 12 mm,求钉身的长度(结果精确到 1 mm).

20 38

12 20 12

19

19

38 图1

图2

8

参考答案 一、填空、选择题 1、解:设圆锥的底面半径为 r,高为 h,母线长为 l,则圆锥的侧面积为:π rl, 过轴的截面面积为:rh,∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π ,∴l=2h, 设母线与轴的夹角为 θ ,则 cosθ = = ,故 θ = 故答案为: .
2



2、 【解析】:设圆锥母线长为 R ,底面圆半径为 r ,∵ S侧 ? 3S底 ,∴ ? ? r ?R ? 3? ?r ,即 R ? 3r , ∴ cos ? ?

1 1 ,即母线与底面夹角大小为 arccos 3 3

3、【解答】根据提示,一个半径为 1,高为 2? 的圆柱平放,一个高为 2,底面面积 8? 的长方体, 这两个几何体与 ? 放在一起,根据祖暅原理,每个平行水平面的截面面积都相等,故它们的体积相 等,即 ? 的体积值为 ? ?1 ? 2? ? 2 ? 8? ? 2? ? 16? .
2 2

4、5

5、C

6、 2 3

7、 4?

8、

? 4

9、C

10、

2? 3

11、 36p

12、

2 2

13、 arccos

2 ( arctan 7 ) 4

14、 arccos

2 4

15、

3 3

二、解答题 1、解:连接 AC,因为 E,F 分别是 AB,BC 的中点,所以 EF 是△ABC 的中位线,所以 EF∥AC.由长 方体的性质知 AC∥A1C1, 所以 EF∥A1C1, 所以 A1、C1、F、E 四点共面. 以 D 为坐标原点,DA、DC、DD1 分别为 xyz 轴,建立空间直角坐标系,易求得

, 设平面 A1C1EF 的法向量为



,所以

,即



z=1,得 x=1,y=1,所以



所以

=



9

所以直线 CD1 与平面 A1C1FE 所成的角的大小 arcsin



2、【解析】:根据题意可得 P 1 , B, P 2 共线, ∵ ?ABP 1 ? ?BAP 1 ? ?CBP 2 , ?ABC ? 60? , ∴ ?ABP 1 ? ?BAP 1 ? ?CBP 2 ? 60? ,∴ ?P 1 ? 60? ,同理 ?P 2 ? ?P 3 ? 60? ,

P ? ABC 是正四面体,所以△ PP ∴△ PP 1 2P 3 是等边三角形, 1 2P 3 边长为 4;
∴V ?

2 2 2 ? AB3 ? 12 3

3、【解答】因为 ABCD-A1B1C1D1 为长方体,故 AB // C1D1 , AB ? C1D1 , 故 ABC1D1 为平行四边形,故 BC1 // AD1 ,显然 B 不在平面 D1AC 上,于是直线 BC1 平行于平面 DA1C; 直线 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h

1 1 1 ? ( ?1? 2) ?1 ? 3 2 3 3 而 ?AD1C 中, AC ? D1C ? 5, AD1 ? 2 ,故 S ?AD1C ? 2 1 3 1 2 2 所以, V ? ? ? h ? ? h ? ,即直线 BC1 到平面 D1AC 的距离为 . 3 2 3 3 3
考虑三棱锥 ABCD1 的体积,以 ABC 为底面,可得 V ? 4、解:(理科)(1)因为 AB ⊥ BC ,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,所以 AB ? BCC1B1 ,从 而 A1B1 是四棱锥 A1 ? BCC1B1 的高. ……………………………………2 分 四棱锥 A1 ? BCC1B1 的体积为 V ?

1 8 ? 2 ? 2 ? 2 ? …………………………4 分 3 3

(2)如图(图略),建立空间直角坐标系. 则 A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2), B1(0,0,2),C1(0,2,2), …………………………………………………6 分 设 AC 的中点为 M,? BM ? AC, BM ? CC1 ,

? BM ? 平面A1C1C, 即BM ? (1,1,0) 是平面 A1C1C 的一个法向量.
设平面 A1B1C 的一个法向量是 n ? ( x, y, z) , AC ? (?2,2,?2), A1 B1 ? (?2,0,0) …8 分

? n ? A1 B1 ? ?2x ? 0, n ? A1C ? ?2x ? 2 y ? 2z ? 0,
令 z=1,解得 x=0,y=1.? n ? (0,1,1) , …………………………………………9 分

10

设法向量 n 与 BM 的夹角为 ? ,二面角 B1—A1C—C1 的大小为 ? ,显然 ? 为锐角.

? ???? ? | n ? BM | 1 ? ? ? , 解得? ? . ? cos? ?| cos ? |? ? ???? 3 | n | ? | BM | 2
? 二面角B1 ? A1C ? C1的大小为 . 3

?

………………………………………………12 分

5、[解] 取 OA 的中点 M,连接 PM,又点 P 为母线 SA 的中点 所以 PM // OS ,故 ?MPQ 为 PQ 与 SO 所成的角.………………………2 分 在 Rt △MPQ 中, ?MPQ ?

?
4

S , PM ? QM ,………………………4 分 P

由点 Q 为半圆弧 ? AB 的中点知 OQ ? AB , 在 Rt△MOQ 中, OQ ? 10, OM ? 5 ? MQ ? 5 5 故 PM ? 5 5 ,所以 OS ? 10 5 , SA=10 6 . B Q ………………………8 分

O M

A

所以 S底 ? ? r 2 ? 100? , S侧 ? ? r ? SA ? ? ?10 ?10 6 ? 100 6? ………………10 分

S全 ? S底 ? S侧 ? 100? ? 100 6? ? 100(1 ? 6)? .…………………………………12 分
6 、 解 : 方 法 1 , ( 1 ) 因 为 底 面 ABCD 为 边 长 为 2 的 正 方 形 , PA ? 底 面 A B C D, 则

CD ? AD

? ? CD ? PA ? ? CD ? 平面 PAD , AD ? PA ? A? ?
所以 ?CPD 就是 CP 与平面 PAD 所成的角.……………………………………………2 分 在 Rt ?CDP 中,由 tan?CPD ?

CD 2 ,得 PD ? 2 2 ,…………………………3 分 ? PD 2

在 Rt ?PAD 中, PA ? 2 .分别取 AD 、 PA 的中点 M 、 N ,联结 MC 、 NC 、 MN , 则 ?NMC 异面直线 AE 与 PD 所成角或补角. ……………4 分 在 ?MNC 中, MN ?

? 2? ? ? 5? 理得, cos ?NMC ?
2

2 , MC ? 5 , NC ? 3 ,由余弦定
2

P

? 32

2 2? 5

??

10 , 10

N

所以 ?NMC ? ? ? arccos

10 ,…………………………6 分 10

A B E

M

D C

11

即异面直线 AE 与 PD 所成角的大小为 arccos

10 .……7 分 10

(2)设点 B 到平面 PCD 的距离为 h ,因为 VB? PCD ? VP? BCD ,…………………………9 分 所以, ?

1 1 1 1 CD ? PD ? h ? ? BC ? CD ? PA ,得 h ? 2 .……………………………14 分 3 2 3 2

方法2,(1) 如图所示,建立空间直角坐标系,同方法1,得 PA ? 2 ,……………3 分 则 有 关 点 的 坐 标 分 别 为 A?0, 0 , 0? , E ? 2,1,0? ,

D?0 ,2 ,0? , P?0 ,0 ,2? .………………………5 分 ??? ? 所以 AE ? ? 2,1, 0? , PD ? ?0 ,2 ,?2? .设 ? 为异面 AE 与 PD 所成角,
则 cos? ?

z P
直 线

2 ? 0 ? 1? 2 ? 0 ? ?? 2? 5? 8
10 , 10

?

10 , 10
B x

A E C

D

y

所以, ? ? arccos

即异面直线 AE 与 PD 所成角的大小为 arccos

10 .…………………………………7 分 10

(2)因为 PD ? ?0 ,2 ,?2? , CD ? ?2 ,0 ,0? , BC ? ?0 ,2 ,0? ,设 n ? ?u , v , w? , 则由 ?

? ?n ? PD ? 2v ? 2w ? 0 ? ?n ? CD ? 2u ? 0

?u ? 0 ,………………………………………………11 分 ?? ?v ? w

? ??? ? n ? BC 2 可得 n ? ?0 ,1,1? ,所以 d ? ? 2 .……………………………………14 分 ? ? 2 n
7、解:(1)在 Rt ?AOB 中, OB ? 2 ,即圆锥底面半径为 2 圆锥的侧面积 S侧 ? ? rl ? 8? ………………..4’ 故圆锥的全面积 S全 =S侧 +S底 ? 8? +4? ? 12? ……………….6’ (2)解法一:如图建立空间直角坐标系. 则 A(0,0, 2 3), C(2,0,0), D(0,1, 3)
z

??? ? ??? ? ? AO ? (0,0, ?2 3), CD ? (?2,1, 3) ………………..8’ ???? ??? ? 设 AO 与 CD 所成角为 ? ???? ??? ? AO ? CD ?6 6 ?? 则 cos ? ? ???? ??? ………………..10’ ? ? 4 AO ? CD 2 3 ? 2 2
6 ………………..12’ ? 异面直线 AO 与 CD 所成角为 arc cos 4
解法二:过 D 作 DM / / AO 交 BO 于 M ,连 CM 则 ? CDM 为异面直线 AO 与 CD 所成角………………..8’
x

A

D

O C

B

y

12

Q AO ? 平面OBC

? DM ? 平面OBC ? DM ? MC

在 Rt ?AOB 中, AO ? 2 3
Q D 是 AB 的中点

? DM ? 3

?M 是 OB 的中点 ? OM ? 1 ? CM ? 5
5 3 ? 15 ,………………..10’ 3

在 Rt ?CDM 中, tan ?CDM ?

??CDM ? arctan

15 15 ,即异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan ……………….12’ 3 3

8、(1)连结 BD ,由已知得△ ABD 与△ BCD 都是正三角形, 所以, BD ? 2 , DE ? BC , ………………(1 分) 因为 AD ∥ BC ,所以 DE ? AD ,……………(2 分) 又 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? DE ,……(4 分) 因为 AD ? PD ? D ,所以 DE ? 平面 PAD .…(6 分) (2)以 D 为原点, DA , DE , DP 所在直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系. 由(1)知平面 PAD 的一个法向量为 n1 ? (0 , 1 , 0) , 又 B(1 , 3 , 0) , C(?1 , 3 , 0) , P(0 , 0 , 2) , E(0 , 3 , 0) , 所以 CB ? (2 , 0 , 0) , PE ? (0 , 3 , ? 2) ,……(2 分) 设平面 PBC 的一个法向量为 n2 ? ( x , y , z) ,

P

D E B

C

A

? ?n2 ? CB ? 0 , ? x ? 0 , 由? 得? ? ?n2 ? PE ? 0 , ? 3 y ? 2 z ? 0 ,
取 y ? 2 ,则 z ? 3 ,故 n2 ? (0 , 2 , 3) , …………(4 分) 设 n1 与 n2 的夹角为 ? ,

P

z

D Ey B

2 2 7 则 cos? ? .…………(7 分) ? ? 7 n1 ? n2 1 ? 7

n1 ? n2

C

A x

所以,平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角大小的余弦值为

2 7 .……(8 分) 7

(2)解法二(图略) 在平面 PAD 上,过 P 作 PF ∥ DA 且 PF ? DA ,连结 BF ,则四边形 PCBF 是平行四边形,即直 线 PF 是平面 PAD 与平面 PBC 的交线.………………(2 分) 因为 BC ? DE , BC ? PD ,所以 BC ? 平面 PDE ,故 BC ? PE , 所 以 PE ? PF , 又 PD ? PF , 所 以 ? DPE 就 是 平 面 PAD 与 平 面 PBC 所 成 二 面 角 的 平 面 角. …………(5 分) 在 Rt △ PDE 中, DE ? 3 , PE ?

PD2 ? DE2 ? 7 ,…………(6 分)
……………………(7 分)

cos?DPE ?

PD 2 2 7 . ? ? PE 7 7

所以,平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角大小的余弦值为

2 7 .……(8 分) 7

9、解:(1)由题意, C1M ? 1, B 1C1 ? BC ? 2 , B1C1 ? C1M ,得 B1M ? 5 ………… 1 分
13

? A1 B1 / /C1 D1 ,所以异面直线 A1M 和 C1 D1 所成角即为 A1M 和 A1B1 所成角 ………… 3 分
A1B1 ? B1B ,? A1 B1 ? 面 B1 BCC1 , 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,? A1B1 ? B1C1, ? A1B1 ? B1M ,故可得 ?B1 A1M 为锐角且 tan ?B1 A1M ?

B1M 5 …………………… 6 分 ? B1 A1 2

(2)由题意, BC ? B1C1 ? 2 , C1M ? 2 , CC1 ? 4 ? CM ? 2

? BB12 ? BM 2 ? B1M 2 ,??BMB1 ? 90? ,即 BM ? B1M ……………………………… 8 分
又由 A1 B1 ? 面 B1 BCC1 可得 A1 B1 ? BM 故 BM ? 平面 A1 B1M . ………………………………………… 10 分

………………………………………………………………12 分

102、解(1)开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高 为H ?

2 16 2 8 ? 8 ? ,底面半径为 r ? ? 4 ? ……………2 分 3 3 3 3
2
2h 3

1 1 ? 8 ? 16 V ? ? r 2 H ? ? ? ? ? ? ? 39.71……………5 分 3 3 ?3? 3
V ? 0.02 ? 1986 (秒)
所以,沙全部漏入下部约需 1986 秒。……………7 分 (2)细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径 4,……………9 分 设高为 H ?

h

1 1024 V ? ? ? 42 ? H ? ? ? ……………12 分 3 81 H? ? 64 ? 2.37 ? 2.4 27 r 2 3 ? ,即 h ? r ……………………..2’ 2 h 3

锥形沙堆的高度约为 2.4cm. ……………14 分 22. 11、解:(1)设陀螺 T2 圆锥的高为 h ,则 得陀螺 T2 圆柱的底面半径和高为
2

r ……………………..3’ 3

?r? r 1 V柱 =? ? ? ? ? r 3 ……………………..5’ ? 3 ? 3 27
1 3 1 V椎 = ? r 2 ? r ? ? r 3 ……………………..7’ 3 2 2 29 VT2 ? V柱 ? V椎 ? ? r 3 ……………………..8’ 54
14

(2)设陀螺 T1 圆锥底面圆心为 O ,

? ? 2? r ,……………………..10’ 则 PP 1
得 ?POP 1 ?

? PP 2? r 4? 1 ……………………..12’ ? ? OP 3 r 3 2

在 ?POP 1 ? 3OP ? 1 中, PP

3 3 r ……………………..14’ 2

12、(1)设圆柱的底面半径为 r ,高为 h ,则 2? r ? 2? , h ? 2 ,即 r ? 1,h ? 2 ---------2 分

V ? ? r 2 h ? 2?
(2)设 AA1 中点为 B ,侧面展开图矩形为

--------5 分

A1

ACC1 A1 , CC1 中点为 B1 。则绳长的最小值即为
侧面展开图中的 AB1 ? BC1 。 分 -------7

B A

C1 B1
C

AB1 ? BC1 ? 4? 2 ? 1 。
所以绳长的最小值为 2 4? 2 ? 1 。 13、(1) VA1 ? EFC1 ? VE ? A1 FC1 ?

-------10 分 -------12 分

1 1 1 2 S ?A1 FC1 ? AA1 ? ? ? A1C1 ? A1F ? AA1 ? . ……(5 分) 3 3 2 3

(参考答案只给出最后结果,如果结果错误,可视中间步骤适当给分) (2)取 AA ………(1 分) 1C , 1 中点 G ,联结 EG , FG ,则 EG ∥ A 所以, ?FEG 是异面直线 A1C 与 EF 所成的角(或其补角), …………(2 分) 在△ EFG 中, EG ? FG ? 所以, cos?FEG ?

2 , EF ? 6 ,

………………………(4 分)

? EG2 ? EF 2 ? FG2 3 ,故 ?FEG ? . ……(6 分) ? 6 2 ? EF ? EG 2 ? 所以,异面直线 A1C 与 EF 所成角的大小为 . ………………………(7 分) 6
14、(1)在△ APM 中, PM ? 其中 0 ? x ? 2 5 ; 在△ MND 中, MN ?

5x 2 5x , AM ? ; 5 5

………………………( 2 分)

………………………( 3 分)

2 5 (2 ? x) , …………………………( 4 分) 2 5

在△ PMN 中, PN ?

9 2 2 5 x ? x ? 2 , x ? (0,2 5 ) ……………………………( 6 分) 10 5
15

(2)当 x ?

2 5 4 ? (0,2 5 ) 时, PN 最小,此时 PN ? .……………………………(8 分) 9 3

因为在底面 ABCD 中, MN ? BD, AC ? BD ,所以 MN // AC ,又 A1C1 // AC ,? PNM 为异面直线
PN 与 A1C1 所成角的平面角,…………………( 11 分)

2 2 ,所以 ?PNM ? arctan , 4 4 2 1 异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小 arctan (或 arcsin 等)……………( 14 分) 4 3
在△ PMN 中,? PMN 为直角, tan ?PNM ? 15、设钉身的高为 h ,钉身的底面半径为 r ,钉帽的底面半径为 R ,由题意可知:……1 分 (1) 圆柱的高 h ? 2 R ? 38 ……2 分 圆柱的侧面积 S1 ? 2?rh ? 760 ? ……3 分 半球的表面积 S 2 ?

1 ? 4?R 2 ? ?R 2 ? 1083? ……5 分 2

2 所以铆钉的表面积 S ? S1 ? S 2 ? 760? ? 1083? ? 1843? ( m m )……7 分

(2) V1 ? ?r 2 ? h1 ? 100? 24? ? ? 2400 ? ……8 分

V2 ?

1 4 2 13718 ? ? ? ? ? R 3 ? ? 19 3 ? ? ? ……9 分 2 3 3 3

设钉身长度为 l ,则 V3 ? ?r 2 ? l ? 100?l ……10 分 由于 V3 ? V1 ? V2 ,所以 2400? ? 解得 l ? 70 mm……13 分

13718 ? ? 100?l ,……12 分 3

?m m ,钉身的长度约为 70 mm 。 答:钉身的表面积为 1843
2

16


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