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江西省南昌二中2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题


一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 2 1.复数 z 满足 iz ? ,则复数 z 为 ( ) 1? i A. 1 ? i B. ?1 ? i C. ?1 ? i D. 1 ? i x 2.曲线 y = e 在点 A(0,1)处得切线斜率为( ) 1 A.1 B. 2 C.e D.e 3.曲线 y

=-x3+3x2 在点(1,2)处的切线方程为( ) A.y=3x-1 B.y=-3x+5 C.y=3x+5 D.y=2x 3 4.函数 f(x)=x -3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围是( ) 1 A.0≤a<1 B.-1<a<1 C.0<a<2 D.0<a<1 5.已知 t ? 0 ,若 ?0 ( 2 x ? 1)dx ? 6 ,则 t 的值等于 A.2 B.3 C.6 D.8 2 6.设函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R),若 x=-1 为函数 y= f(x)ex 的一个极 值点,则下列图像不可能为 y=f(x)的图像是( )
t

7.等比数列 ?a n ?中, a1 ? 2, a8 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a 2 ) ?( x ? a8 ) , ) 则 f ' (0) ? ( 6 A. 2 B. 2 9 C. 212 D. 215 8. 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? ln x 在 ?1,2? 上是减函数, 则实数 a 的取值范围是( ) 7 7 7 A 、 ( ??,?1] B、 ( ??,? ] C、 [ ? ,?1) D、 [? ,??) 2 2 2 9. 由曲线 y ? x 2 和直线 x ? 0, x ? 1, y ? t2 , t ? ? 0,1? 所围成 的图形(阴影部分)的面积的最小值为 ( )

第9题

2 1 1 1 B. C. D. 3 3 2 4 3 10.己知函数 f ( x) ? x ? 3x ,若过点 A(1, m) 可作曲线 ) y ? f ( x) 的三条切线,则实数 m 的取值范围是( A.-1<m<1 B.-4<m<4 C. -1<m<-2 D.-3<m<-2

A.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题 卡的相应位置 z 11. 设复数 z 的共轭复数为 z ,若 z ? 1 ? i ( i 为虚数单位)则 ? z 2 的值为 z _______ 12. 设函数 f ( x) ? ln x ? x 2 ,则函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值为____ 13. 抛物线 y 2 ? 4 x 与直线 y ? ?2 x ? 4 所围成的面积为__________.

? x 2 , x ? [0,1) 14. 设 f ( x ) ? ? x ?1 (其中 e 为自然对数的底数) ,则 y=f(x)与 x 轴 ?e , x ? [1,2]
所围成的面积为_______ 1 2 15. 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? a 2 x3 ? ax 2 ? , g ( x) ? ?ax ? 1 , x ? R , 若在区 3 3 1 间 (0, ] 上至少存在一个实数 x0 ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,则 a 的取值范围 2 是________. 三、解答题。本小题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内。 16.(本题满分 12 分) 求下列函数的导数 sin 2 x (1) y ? x3 ? ln(1 ? x) (2) y ? x?2

17. (本题满分 12 分)计算定积分

(1)

?1

? (x

1

2

? cos x)dx

(2)

?2

? (x ?

2

4 ? x 2 )dx

18. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ( a, b ? R ) (1)x=1 为

1 3 x ? ax2 ? (a 2 ? 1) x ? b , 3

f (x) 的极值点,求 a 的值; y ? 3 ? 0 ,求

(2)若 y ? f (x) 的图像在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ?

f (x) 在区间 ?? 2,4?上的最大值。

19.(本小题满分 12 分)市政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形 ABCD 的非 农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分) ,形状为直角梯形 QPRE(线段 EQ 和 RP 为两个底边) 已知 AB ? 2km, BC ? 6km, AE ? BF ? 4km, , 其中 AF 是以 A 为顶点、 AD 为对称轴的抛物线段.试求该高科技工业园区的 最大面积
D R E F C

Q A

P B

20.(本题满分 13 分)已知函数 f ( x ) ? ax ? ln x, (a ? R) , (1)是否存在实数 a ,当 x ? (0, e] ( e 是自然常数)时,函数 f (x ) 的最小 值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (2)当 x ? (0, e] 时,证明: e x ?
2 2

5 x ? ( x ? 1) ln x 2

a g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 . ? x ln x , x (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程与 y=g(x),y 轴所围成 的面积; (2)如果存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的

21.(本小题满分 14 分)设 f ( x) ?

最大整数 M ;
1 (3)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围. 2

南昌二中 2012—2013 学年度上学期期末考试 高二数理(理)参考答案

(18) 解: (Ⅰ) f ?( x) 即a
2

? x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 , 为 f (x) 的极值点, f ?(1) ? 0 , x=1 则

? 2a ? 0 ,所以 a ? 0 或 a ? 2 ,当 a ? 0 或 a ? 2 时, ,x=1 为 f (x) 的极值

点,故 a

? 0或 a ? 2 。
y ? f (x) 的 图 像 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为 x ? y ? 3 ? 0 , 则

2 ? a ? 2a ? 1 ? 0 ? ?a 2 ? a ? 2 ? b ? 2 , ? 3 ?

(Ⅱ)

? f ?(1) ? ?1, ? ? f (1) ? 2
解得 a ? 1, b ? 由

1 8 8 ,所以 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? , f ?( x) ? x 2 ? 2 x 3 3 3

f ?( x) ? 0 可知 x ? 0 和 x ? 2 是 f (x) 的极值点
8 4 , f ( 2) ? , f ( ?2) ? ?4 , f ( 4) ? 8 3 3

f ( 0) ?
所以

f (x) 在区间[-2,4]上的最大值为 8。

(20) 解: (1)假设存在实数 a ,使 f ( x) ? ax ? ln x, ( x ? (0, e] )有最小值 3,
f ?( x ) ? ax ? 1 x

①当 a ? 0 时,f(x)在 (0, e] 上单调递减, f ( x ) min ( x ) ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 ,
4 (舍去) , e 1 1 1 ②当 0 ? ? e 时, f (x ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a 1 ? f ( x ) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. a 1 ③当 ? e 时, f (x ) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x ) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a a?

a?

4 (舍去) , e

等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M , 考察 g ( x) ? x ? x ? 3 , g '( x) ? 3x ? 2 x ? 3x( x ? ) ,
3 2

2

2 3

x

0 0
?3

2 (0, ) 3
?
递减

2 3
0
极(最)小值 ?

2 ( , 2] 3

2

g '( x) g ( x)

?
85 27
递增

1

记 h( x ) ?

1 1 ) ? x ln x , h '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 , h ' ( 1? 0 x x 1 1 当 x ? [ ,1) , h '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 ? 0 ;当 x ? (1, 2] , 2 x 1 h '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 ? 0 , x 1 1 所以函数 h( x) ? ? x ln x 在区间 [ ,1) 上递减,在区间 (1, 2] 上递增, x 2

h( x) min ? h(1) ? 1,即 h( x) ? 1 ,
所以当 a ? 1 且 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? 1 成立,

1 2

即对任意 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s) ? g (t ) 。

1 2

???? 14 分


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