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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(2)


第二章 平面向量
2.4 平面向量的数量积

2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义

问题提出

1.向量的模和夹角分别是什么概念? 当两个向量的夹角分别为0°,90°, 180°时,这两个向量的位置关系如何? 2.任意两个向量都可以进行加、减运 算,同时两个向量的和与差仍是一个向 量,并且向量的加法运算满足交换律和 结合律.由于任意两个实数可以进行乘法 运算,我们自然会提出,任意两个向量 是否也可以进行乘法运算呢?对此,我 们从理论上进行相应分析.

探究(一):平面向量数量积的背景与含义

思考1:如图,一个物体在力F的作用下 产生位移s,且力F与位移s的夹角为θ , F 那么力F所做的功W是多少? W=︱F︱︱s︱cosθ
θ

s

思考2:功是一个标量,它由力和位移两 个向量所确定,数学上,我们把“功” 称为向量F与s “数量积”.一般地,对 于非零向量a与b的数量积是指什么?

思考3:对于两个非零向量a与b,设其夹 角为θ ,把︱a|︱b︱cosθ 叫做a与b的 数量积(或内积),记作a· b,即 a· b=︱a|︱b︱cosθ .那么a· b的运算结 果是向量还是数量? 思考4:特别地,零向量与任一向量的数 量积是多少? 0· a=0

思考5:对于两个非零向量a与b,其数量 积 a· b何时为正数?何时为负数?何时为 零? a· b=︱a|︱b︱cosθ

当0°≤θ <90°时,a· b> 0 ; 当90°<θ ≤180°时,a· b< 0 ; 当θ =90°时,a· b=0.

思考6:对于两个非零向 量a与b,设其夹角为θ, 那么︱a︱cosθ 的几何意 O 义如何?

A a
θ |a|cosθ A1

b

B

思考7:对于两个非零向量a与b,设其夹 角为θ ,︱a︱cosθ 叫做向量a在b方向 上的投影.那么该投影一定是正数吗?向 量b在a方向上的投影是什么? 不一定;︱b︱cosθ.

思考8:根据投影的概念,数量积 a· b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何?

数量积a· b等于a的模与b在a方向上的 投影︱b︱cosθ 的乘积,或等于b的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ 的乘积,

探究(二):平面向量数量积的运算性质

思考1:设a与b都是非零向量,若a⊥b, 则 a· b等于多少?反之成立吗? a⊥b ? a· b=0 思考2:当a与b同向时,a· b等于什么? 当a与b反向时,a· b等于什么?特别地, a· a等于什么? 当a与b同向时,a· b=︱a︱︱b︱; 当a与b反向时,a· b=-︱a︱︱b︱; a· a=a2=︱a︱2或︱a︱= a ? a .

思考3:︱a· b︱与︱a︱︱b︱的大小关 系如何?为什么? ︱a · b︱≤︱a︱︱b︱

思考4:a· b与 b · a是什么关系?为什么? a· b=b· a

思考5:对于实数λ ,(λa)· b有意义吗? 它可以转化为哪些运算?

(λ a )· b = λ (a · b )= a · (λ b )

思考6:对于向量a,b,c,(a+b)· c有意 义吗?它与a· c+ b · c相等吗?为什么?
A a θ
1

b

θ

2

B

O

θ A1

a+b

B1

c

C

思考7:对于非零向量a,b,c,(a· b)· c 有意义吗?(a· b)· c与 a · (b · c)相等吗?为 什么? (a · b)· c≠a · (b · c)

思考8:对于非零向量a,b,c,若 a· b= a· c,那么 b=c吗?

思考9:对于向量a,b,等式(a+b)2= a2+2a· b+b2和(a+b)(a-b)=a2-b2是 否成立?为什么?
思考10:对于向量a,b,如何求它们的 夹角θ? a ×b cos q = | a || b |

理论迁移

例1 已知︱a︱=5,︱b︱=4,a与b的 夹角为120°,求a· b. -10 例2 已知︱a︱=6,︱b︱=4,a与b的 夹角为60°,求(a+2b)· (a-3b). -72 例3 已知︱a︱=3,︱b︱=4,且a与b 不共线.求当k为何值时,向量a+kb与 3 a-kb互相垂直?

±

4

小结作业

1.向量的数量积是一种向量的乘法运算, 它与向量的加法、减法、数乘运算一样, 也有明显的物理背景和几何意义,同时 还有一系列的运算性质,但与向量的线 性运算不同的是,数量积的运算结果是 数量而不是向量.

2.实数的运算性质与向量的运算性质不 完全一致,应用时不要似是而非.

3. 利用︱a︱= a ? a 可以求向量的模, 在字符运算中是一种常用方法.

4.利用向量的数量积可以解决有关平行、 垂直、夹角、距离、不等式等问题,它 是一个工具性知识点,具有很强的功能 作用.


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