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中学高中数学必修5素材:数列求和的基本方法和技巧


数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础。 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。 数列求和是数 列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面,就几个历届高 考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧。 一、公式法 利用 下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、 差数列求和公式: S n ?

r />
n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

[来源:Zxxk.Com]

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
1 3、 S n ? ? k ? n(n ? 1) 2 k ?1
例 :已知 log3 x ?
n

1 4、 S n ? ? k ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 k ?1
2

n

4、 S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3

解:由 log3 x ?

?1 1 ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log2 3 2

由 等比数列求和公式得

1 1 (1 ? n ) x (1 ? x ) 2 2 =1- 1 = Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n = 1 2n 1? x 1? 2
n

解析:如果计算过程中出现了这些关于 n 的多项式的求和形式,可以直接利用公式。 二、错位相减 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、 { bn }分别是等差数列和等比数列。 例:求数列 a,2a2,3a3,4a4,?,nan, ?(a 为常数)的前 n 项和。 解:若 a=0, 则 Sn=0; 若 a=1,则 Sn=1+2+3+?+n= n(n ? 1) ; 若 a≠0 且 a≠1,则 Sn=a+2a2+3a3+4a4+?+ nan

a ? a n ?1 ?na 1) n ?1 ? n(n? (a ? 1) 1? a ? a ? a n?1 nan?1 ? 2 (a ? 1) ∴Sn= 当 a=0 时,此式也成立。 Sn ? ? ? a ? a n ?1 nan ?1 (1 ? a) 2 1 ? a ? ? (a ? 1) n n 2 解析:数列 na 是由数列 ?n?与 a 对应项的积构成的,此类型的才适应错位相减, (课本中的的等比数列前 n 项和公 ? 1 ? a ( 1 ? a ) ?
∴aSn= a2+2 a3+3 a4+?+nan+1 ∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+?+an- nan+1=

2

? ?

? ?

式就是用这种方法推导出来的) ,但 要注意应按以上三种情况进行讨论,最后再综合成两种情况。 三、倒序相加 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原数列相加,就可以得 到 n 个 (a1 ? an ) 。
0 1 2 n [例 5] 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n

证明: 设 S n ? Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ………………………….. ①
0 1 2 n

n n?1 1 0 把①式右边倒转过来得: S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

(反序)

m n ?m 0 1 n?1 n 又由 Cn 可得: S n ? (2n ? 1)Cn …………..…….. ② ? Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

①+②得

0 1 n?1 n 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n

(反序相加)

∴ S n ? (n ? 1) ? 2 n

解析:此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。 四、分组求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后 分别求和,再将其合并即可。 例:Sn=-1+3-5 +7-?+(-1)n(2n-1) 解法:按 n 为奇偶数进行分组,连续两项为一组。 当 n 为奇数时:Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+?+(-2n+1)
[来源:Zxxk.Com]

=2×

n ?1 +(-2n+1) = ? n 2

?? n n -n (n 为奇数) 当 n 为偶数时:Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+?+[(-2n+3)+(2n+1)] =2× =n, ∴ Sn ? ?
n (n 为偶数) 五、裂项法求和

(n为奇数) (n为偶数)

2

?n

这是分解与组合思想 在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能 消去一些项,最终达到求和的目的通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (3) a n ? (2)

sin 1 ? tan(n ? 1) ? tann cosn cos(n ? 1)
(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(5) a n ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(6) a n ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 1 1 1 , , ,?, ,?的前 n 项和 S 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n ( n ? 2)

例:求数列

解:∵

3 1 1 1 = 1 (1 ? 1 ) , Sn= 1 ?(1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ? ? ( 1 ? 1 )? = 1 (1 ? 1 ? 1 ? 1 ) = ? ? ? ? 4 2n ? 2 2n ? 4 2 n ?1 n ? 2 n ( n ? 2) 2 n n ? 2 2? 3 2 4 n n?2 ? 2

解析:要先观察通项类型,在裂项求和,而且要注意剩下首尾两项,还是剩下象上例中的四项,后面还很可能和极限、 求参数的最大小值联系。 六、合并求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求 和,然后再求 Sn.

例: 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002.
解:设 S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002 , 由 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an 可得:

a4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2,

a7 ? 1, a8 ? 3, a9 ? 2, a10 ? ?1, a11 ? ?3, a12 ? ?2, ??

a6k ?1 ? 1, a6k ?2 ? 3, a6k ?3 ? 2, a6k ?4 ? ?1, a6k ?5 ? ?3, a6k ?6 ? ?2
∵ a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 ? a6k ?5 ? a6k ?6 ? 0 ∴ S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002

(找特殊性质项) (合并求和)

= (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?a6 ) ? (a7 ? a8 ? ? ? ?a12 ) ? ? ? ? ? (a6k ?1 ? a6k ?2 ? ? ? ? ? a6k ?6 )

? ? ? ? ? (a1993 ? a1994 ? ? ? ? ? a1998 ) ? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002
= a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002 = a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 =5

七、拆项求和 先研究通项,通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式,再代入公式求和。 例:求数 5,55,555,?,55?5 的前 n 项和 Sn n 5 5 n 2 n 解: 因为 55?5= (10n ? 1) 所以 Sn=5+55+555+?+55?5 = (10 ? 1) ? (10 ? 1) ? ? ? ? ? (10 ? 1) 9 9 n

?

?

=

? 5 ?10(10n ? 1) ? n? ? 9 ? 10 ? 1 ?

=

50 5 50 ? 10 n ? n ? 81 9 81 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? n ) 2 4 8 2

解析:根据通项的特点,通 项可以拆成两项或三项的常见数列,然后再分别求和。 另外:Sn= 1

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n n 2 4 8 2

可以拆成:Sn=(1+2+3+?+n)+(
[来源:Zxxk.Com]

说明:本资料适用于高三总复习,也适用于高一“数列”一章的学习。

数列求和问题是数列的基本内容之一,也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样,技巧性也 较强,以致成为数列的一个难点。鉴于此,下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳,以提高同 学们数列求和的能力。
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
3、 S n ?

1 k ? n(n ? 1) ? 2 k ?1

n

4、 S n ?

1 k 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ? 6 k ?1

n

5. S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2

例 1. 已知 log3 x ?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3

(1 ? n ) 1 解:由 log x ? ? 1 ? log x ? ? log 2 ? x ? 1 , 由等比数列求和公式得: S n ? x ? x 2 ? x 3 ? ? ? ? ? x n = x(1 ? x n ) = 2 2 =1- n 3 3 3
log2 3 2
1? x

1

1

1?

1 2

2

例 2. 是否存在常数 a、b、c,使等式: 12·+22·3+32·4+……+n2(n+1)= n(n ? 1) (an2+bn+c)对一切自然数 n 都成立?并证明你的结论。
12

分析:这是一个开放性命题,可以从两个角度来解决。 解一:∵n2(n+1)=n3+n2 ∴12·2+22·3+…….+n2(n+1)=(13+12)+(23+22)+(33+32)+……+(n3+n2 ) 1 1 1 =(13+23+33+……+n3)+(12+22+32+……+n2)= n2(n+1)2+ n(n+1)(2n+1)= n(n+1)[3n(n+1)+2(2n+1)] 4 6 12 = 1 n(n+1)[3n2+7n+2] 令 a=3, b=7, c=2,则对任意 n∈N。都有原命题成立。
12

1? 2 ?2 ?1 ? 2 ? 12 (a ? b ? c) ? 解二:假设命题成立,在等式中令 n=1, 2, 3, 得: ?12 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 3 (4a ? 2b ? c) ? 12 ? 3? 4 ?2 2 2 ?1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 12 (9a ? 3b ? c) ?

?a ? b ? c ? 12 ? 即 ?4a ? 2b ? c ? 28 ?9a ? 3b ? c ? 50 ?

[来源:Z&xx&k.Com]

解之, 得 a=3, b=7, c=2

往下再用教学归纳法证明。 12· 2+22· 3+32· 4+??+n2(n+1)=

n( n ? 1) (3n2+7n+2) 12

对一切 n∈N 都成立。 (略)
评注:解法一分组后直接运用公式求和。 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、 { bn }分别是等差数列和等比数列. 例 3. 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………① 解:由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x 当 x ? 1时 , S n ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? ?2n ? 1? ?
n ?1

}的通项之积

?1 ? ?2n ? 1??n ? n 2
2

当 x ? 1时 ,设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ………………………. ② ①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?

(设制错位)

(错位相减)
(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n , 1? x

∴ Sn ?

例 4.已知 a ? 0, a ? 1 , 数列 ?an ? 是首项为 a, 公比也为 a 的等比数列, 令 bn ? an ? lg an (n ? N ) , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 。 解析:? an ? a , bn ? n ? a lg a ,∴ Sn ? (a ? 2a ? 3a ? ?? na ) lg a ,即 aSn ? (a ? 2a ? 3a ? ?? na
n n 2 3 n 2 3 4 n?1

) lg a

①-②得: (1 ? a)S n ? (a ? a ? ? ? a ? na
2 n

n?1

) lg a

? Sn ?

a lg a 1 ? (1 ? n ? na)a n 。 2 (1 ? a)

?

?

点评:设数列 ?an ? 的等比数列,数列 ?bn ? 是等差数列,则数列 ?an bn ?的前 n 项和 S n 求解,均可用错位相减法。 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原数列相加,就可以得

到 n 个 (a1 ? an ) . 例 5 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

解:设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 …………. ①
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

将①式右边反序得: S ? sin 89 ? sin 88 ? ? ? ? ? sin 3 ? sin 2 ? sin 1 …………..②
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

(反序)

又因为 sin x ? cos(90? ? x),sin 2 x ? cos2 x ? 1 ①+②得: (反序相加) 2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2? ? cos2 2? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89? ? cos2 89? ) =89 ∴ S=44.5

0 1 n 例 6.设数列 ?an ? 是公差为 d ,且首项为 a0 ? d 的等差数列,求和: S n?1 ? a0 Cn ? a1Cn ? ? ? an Cn 0 1 n n n?1 0 0 1 n 解析:因为 S n?1 ? a0 Cn , S n?1 ? an Cn ? a1Cn ? ? ? an Cn ? an?1Cn ? ? ? a0Cn ? a n Cn ? an?1Cn ? ? ? a0Cn n?1 0 1 n 0 1 n ∴ 2Sn?1 ? (a0 ? an )C n ?(a1 ? an?1 )Cn ? ?? (an ? a0 )Cn ? (a0 ? an )(Cn ? Cn ? ?? Cn ) ? (a0 ? an )2n ∴ Sn?1 ? (a0 ? an ) ? 2

点评:此类问题还可变换为探索题形:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? (n ? 1)2 n ? 1,是否存在等差数列 ?bn ? 使得:
1 2 n 对一切自然数 n 都成立。 an ? b1Cn ? b2Cn ? ? ? bn Cn

例 7.已知函数 f ?x ? ? 的中点 P 的横坐标为
1 . 2

1 4 ?2
x

?x ? R ? ,点 P1 ?x1 , y1 ? , P2 ?x2 , y2 ? 是函数 f ?x ? 图像上的两个点,且线段 P1 P2

(Ⅰ)求证:点 P 的纵坐标是定值;

?n? (Ⅱ)若数 列 ?an ? 的通项公式为 a n ? f ? ? ? m?

?m ? N , n ? 1,2,?, m? ,求数列 ?an ? 的前 m 项的和 S m ;

讲解:这是一道函数、数列、不等式的综合问题.对于(Ⅰ) ,直接验证即可;对于(Ⅱ) ,观察 S m 的构成:

?1? ?2? ? m ? 2? ? m ? 1? ? m? Sm ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ?? f? ?? f ? ?, ? m? ? m? ? m ? ? m ? ? m?
可知(Ⅰ)的结论又为(Ⅱ)作了铺垫;对于(Ⅲ) ,则应在(Ⅱ)的基础上,充分利用“恒成立” ,结合函 数、不等式的知识去解决.总之,本题层层递进,每一小题均为后一小题的基础,因此,从(Ⅰ)开始,认 真走好每一步是解决好本题的关键. (Ⅰ)由题可知: x1 ? x 2 ? 2 ?
1 1 1 4 x1 ? 4 x2 ? 4 ? 1 ,所以, y1 ? y2 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? x ? ? 2 4 1 ? 2 4 x2 ? 2 4 x1 ? 2 4 x2 ? 2

?

??

?

?

4 x1 ? 4 x2 ? 4 4 x1 ? 4 x2 ? 4 1 ? ? x1 ? x2 x1 x2 x1 x2 4 ?24 ?4 ?4 24 ?4 ?4 2

?

?

?

?

点 P 的纵坐标 y P ?

y1 ? y 2 1 ? 是定值,问题得证. 2 4

?n? ?m?n? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知:对任意自然数 m, n , f ? ? ? f ? ? ? 恒成立. ? m? ? m ? 2 ?1? ?2? ? m ? 2? ? m ? 1? ? m? 由于 S m ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ?? f? ? ? f ? ? ,故可考虑利用倒写求和的方法.即由于: ? m? ? m? ? m ? ? m ? ? m? ?1? ?2? ?m?2? ? m ?1? ?m? ?m? ? m ?1 ? ? m?2? ?2? ?1? Sm ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ?? f? ?? f ? ? ? f ? ?? f ? ?? f ? ? ??? f ? ? ? f ? ? ?m? ?m? ? m ? ? m ? ?m? ?m? ? m ? ? m ? ?m? ?m?

? ? m ?1? ?1? ? m ? 1 ?? ? ? 2 ? ? m ? 2 ?? ? 1 ?? ? m ? ? 1 ?m ? 1? ? 2 f (1) ? 1 ?3m ? 1? 所以, 2S m ? ? f ? f ? f ? f ? ? ? f ? f ? 2 f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? m ? ? ? ? ? 2 6 ? m ?? ? ? m ? ? m ?? ? m ?? ?m? ? ? ? ? ? m ?

所以, S m ?

1 ?3m ? 1? 12
四、分组法求和

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后 分别求和,再将其合并即可. 例 8.求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a 1 1 1 将其每一项拆开再重新组合得: S n ? (1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = (分组求和) 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a
n n

(分组)

例 9. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 解:设 ak ? k (k ? 1)(2k ? 1) ? 2k 3 ? 3k 2 ? k
n n



S n ? ? k (k ? 1)(2k ? 1) = ? (2k 3 ? 3k 2 ? k )
k ?1 k ?1 n

将其每一项拆开再重新组合得:Sn= 2
3 3 3 2

?
k ?1

k 3 ? 3? k 2 ? ? k
k ?1 k ?1

(分组)

= 2(1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? 3(1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n)
2 2



n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1)(2n ? 1) n(n ? 1) ? ? 2 2 2
五、裂项法求和

(分组求和)



n(n ? 1) 2 (n ? 2) 2

[来源:学科网 ZXXK]

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能 消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1) (2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(6) a n ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

例 10. 求数列

1 1? 2

, 1

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

解:设 a n ?

n ? n ?1 1 ?

? n ?1 ? n 1 n ? n ?1
= n ? 1 ?1

(裂项)

则 Sn ?

1 2? 3

1? 2

? ??? ?

(裂项求和)

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) 例 11. 在数列{an}中, an ? ∵ an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

解:

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2

∴ 数列{bn}的前 n 项和 = 8(1 ?

2 1 1 ? 8( ? ) n n ?1 n n ?1 ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1
∴ bn ?

(裂项)

(裂项求和)

1 8n ) = n ?1 n ?1

例 12 求证:

1 1 1 cos1? ? ? ? ? ? ? ? cos0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88? cos89? sin 2 1?
1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?
?

解:设 S ?



sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)
?

(裂项)

∴S ?

1 1 1 ? ? ??? ? (裂项求和) ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ? 1 {(tan 1? ? tan 0 ? ) ? (tan 2 ? ? tan 1? ) ? (tan 3? ? tan 2 ? ) ? [tan 89 ? ? tan 88 ? ]} = ? sin 1 1 1 cos1? ? ? ? (tan 89 ? tan 0 ) = ? cot 1 = 2 ? = sin 1? sin 1? sin 1
六、合并法求和 ∴ 原等式成立

针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求 和,然后再求 Sn. 例 13. 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179°的值. 解:设 Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179° ∵ cosn ? ? cos( 180 ? n )
? ? ?

(找特殊性质项)

∴Sn= (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+· · · +(cos89°+ cos91°)+ cos90° (合并求和) = 0 例 14. 在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值. 解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10

由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq 和对数的运算性质 loga M ? loga N ? loga M ? N 得

(找特殊性质项)

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 )
= (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 )

(合并求和)

= log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 =10

七、数列的“通项分析法”求和 先根据数列的结构及特征进行分析, 找出数列的通项及其特征, 然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和, 是 一个重要的方法. 例 15. 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

解:由于 111 ?? ?1 ? ?? ?
k个1

1 1 ? 999 ?? ?? ? 9 ? (10k ? 1) ? ? ? 9 9 k个1

(找通项及特征)

∴ 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 = ? ?
n个1

1 1 1 1 1 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9 9 9 9

(分组求和)



1 1 10(10n ? 1) n 1 1 1 ? ? = (10 n ?1 ? 10 ? 9n) = (10 ? 102 ? 103 ? ? ? ? ? 10n ) ? (1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? 1 ) ? ? ? ? ? ? ? 81 9 10 ? 1 9 9 9 n个1

例 16.已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,其中 a k1 , a k 2 ,?, a k n 恰为等比数列,若 k1=1,k2=5,k3=17,求 k1+k2+?+kn。 解题思路分析:从寻找新、旧数列的关系着手。设{an}首项为 a1,公差为 d,∵ a1,a5,a17 成等比数列 ∴ a5 =a1a17 ∴(a1+4d) =a1(a1+16d)
2 2

∴ a1=2d, 设等比数列公比为 q ,则 q ?

a 5 a n ? 4d ? ?3 a1 a1

对 a k n 项来说, 在等差数列中: a k n ? a 1 ? (k n ? 1)d ? ∴ k n ? 2 ? 3n ?1 ? 1

kn ?1 a 1 , 在等比数列中: a k n ? a1q n ?1 ? a1 3n ?1 2

∴ k1 ? k 2 ? ?k n ? (2 ? 30 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? ? ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? 2(1 ? 3 ? ? ? 3n ?1 ) ? n ? 3 n ? n ? 1

注:本题把 k1+k2+?+kn 看成是数列{kn}的求和问题,着重分析{kn}的通项公式。这是解决数列问题的一般方法,称为“通 项分析法” 。 八.分部求和 例 17.已知数列 {an } 的通项 an ? ?

?6n ? 5 (n为奇数)
n ?2

(n为偶数)

,求其前 n 项和 Sn .

解:奇数项组成以 a1 ? 1 为首项,公差为 12 的等差数列,偶数项组成以 a2 ? 4 为首项,公比为 4 的等比数列; 当 n 为奇数时,奇数项有

n ?1 n ?1 项,偶数项有 项, 2 2

n ?1 n ?1 (1 ? 6n ? 5) 4(1 ? 4 2 ) (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n?1 ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3 n n (1 ? 6n ? 5) 2 n 4(1 ? 4 ) n(3n ? 2) 4(2n ? 1) 当 n 为偶数时,奇数项 和偶数项分别有 项, ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 2 1? 4 2 3 ? (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n ?1 ? 1) ? (n为奇数) ? ? 2 3 所以, Sn ? ? . n n (3 n ? 2) 4(2 ? 1) ? ? (n为偶数) ? 2 3 ?

例 18.已知等差数列 ?an ? 的首项为 1,前 10 项的和为 145,求 a2 ? a4 ? ? ? a2n . 解析:首先由 S10 ? 10 a1 ?

10 ? 9 ? d ? 145 ? d ? 3 则: an ? a1 ? (n ?1)d ? 3n ? 2 ? a2n ? 3 ? 2n ? 2 2 2(1 ? 2 n ) ? 2n ? 3 ? 2 n ?1 ? 2n ? 6 ∴ a2 ? a4 ? ?? a2n ? 3(2 ? 22 ? ?? 2n ) ? 2n ? 3 1? 2
n

?1? 例 19、数列 ?an ? 的相邻的项 an, an?1 是方程 x 2 ? cn x ? ? ? ? 0 的两根,且 a1 ? 2 ,求无穷数列 ?cn ? 的各项的和。 ?2? ?1? ?1? 解:因为 an, an?1 是方程 x 2 ? cn x ? ? ? ? 0 的两根,由韦达定理得 an ? an?1 ? cn ? ①, an ?an?1 ? ? ? ②,由①得 ?2? ?2?
n n

c1 ? c2 ? c3 ??cn ? a1 ? 2 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ??an ? ? an?1 ,
?1? ?1? 由②得 a2n ?a2 n?1 ? ? ? ? ③,又 a2 n?1 ?a2 n?2 ? ? ? ?2? ?2?
2n 2 n ?1

? ④,④÷③得:

a2 n ? 2 1 ? ? ⑤,在②中令 a2 n 2

,有

1 1 1 1 1 1 a1 ?a2 ? ,? a2 ? ? ? 。由此可知数列 ?an ? 的偶数项组成以 a2 ? 为首项,以 q ? 为公比的等比数列。 4 2 2 2 a1 4
2 n ?1 2n

?1? 由②又可得 a2 n?1 ?a2 n ? ? ? ?2?

a 1 ?1? ? ⑥,又 a2n ?a2 n?1 ? ? ? ? ⑦,⑦÷⑥得: 2 n ?1 ? ? ⑧,在②中令 a2 n ?1 2 ?2?

可得

1 1 a3 ? ? ? 1 ,由⑧知数列 ?an ? 的奇数项( 4 a2

)组成以 a3 ? 1 为首项,以 q ' ?

1 为公比的等比数列。 2

? 1 ? ? 4 1 ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? ? ? a1 ? 2 ? ?7。 ?? a2 ? a4 ? a6 ? ?? ? ? a1 ? a3 ? a5 ? ?? ? ? ? 2? 2? 1 ? 1? ?1 ? 1? ? ? 2 2?
注:有些数列必须对奇数项和偶数项分别考虑,问题才能解决。
九.组合化归法求和 例 20.求和: S n ? 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 5 ? ? ? n(n ? 1)(2n ? 1) 。 解析:? an ? n(n ? 1)(2n ? 4 ? 3) ? 2n(n ? 1)(n ? 2) ? 3n(n ? 1) 而连续自然数可表示为组合数的形式,于是,数列的求和 便转化为组合数的求和问题了。
3 2 ? n(n ? 1)(n ? 2) ? 6Cn ) ? 2Cn ?2 , n(n ? 1 ?1

∴ an ? 12Cn?2 ? 6Cn?1
3 2

4 3 3 3 3 2 2 2 4 3 3 3 2 2 Cn ? S n ? 12(C3 ? C4 ? ? ? Cn ?3 ? 6Cn?2 ? 2 ) ? 6(C2 ? C3 ? ? ? Cn?1 ) ? 12(C4 ? C4 ? ? ? Cn?2 ) ? 6(C3 ? C3 ? ? ? Cn?1 ) ? 12

? Sn ?

12(n ? 3)( n ? 2)( n ? 1)n 6(n ? 2)( n ? 1)n (n ? 3)( n ? 2)( n ? 1)n 1 ? ? ? (n ? 2)( n ? 1)n ? n(n ? 1) 2 (n ? 2) 4! 3! 2 2

点评:可转化为连续自然数乘积的数列求和问题,均可考虑组合化归法。 十.递推法求和

例 21. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 与 an 满足: a n , S n , S n ?

1 (n ? 2) 成等比数列,且 a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 。 2 1 1 1 2 2 解析:由题意: S n ? a n ( S n ? ),? a n ? S n ? S n ?1 , S n ? ( S n ? S n ?1 )( S n ? ) ? ( S n ?1 ? S n ) ? S n S n ?1 2 2 2

?

1 1 1 1 ? ?2? ? ? (n ? 1)2 ? 2n ? 1 S n S n ?1 S n S1

? Sn ?

1 2n ? 1

点评:本题的常规方法是先求通项公式,然后求和,但逆向思维,直接求出数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 的递推公式,是一 种最佳解法。 十一。探索周期规律求和 例 22. 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002. 由 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an 可得: a4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2,

解: 设 S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002

a7 ? 1, a8 ? 3, a9 ? 2, a10 ? ?1, a11 ? ?3, a12 ? ?2, ?? a6k ?1 ? 1, a6k ?2 ? 3, a6k ?3 ? 2, a6k ?4 ? ?1, a6k ?5 ? ?3, a6k ?6 ? ?2
∵ a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 ? a6k ?5 ? a6k ?6 ? 0 ∴ S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002

(找特殊性质项) (合并求和)

= (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?a6 ) ? (a7 ? a8 ? ? ? ?a12 ) ? ? ? ? ? (a6k ?1 ? a6k ?2 ? ? ? ? ? a6k ?6 )

? ? ? ? ? (a1993 ? a1994 ? ? ? ? ? a1998 ) ? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002
= a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002 = a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 =5


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