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历年复旦、交大自主招生数学试题详解与应试...


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第一讲

近年来自主招生数学试卷解读 集合与命题

授课教师: 范端喜 ————————————————————————————————————————————

第一部分 近年来自主招生数学试卷解读 一、 交大: 题型: 考试时间

: 试题难度: 填空题 10 题,每题 5 分;解答题 5 道,每题 10 分; 90 分钟, 满分 100 分; 略高于高考,比竞赛一试稍简单; 各学校考试题型分析:

考试知识点分布:基本涵盖高中数学教材高考所有内容,如:集合、函数、不等式、数列 (包括极限) 、三角、复数、排列组合、向量、二项式定理、解析几何 和立体几何 复旦: 题型: 全考试时间: 试题难度: 试题类型全部为选择题(四选一) ; 总的考试时间为 3 小时(共 200 道选择题,总分 1000 分,其中数学部 分 30 题左右, ,每题 5 分) ; 基本相当于高考;

考试知识点分布:除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如:行列式、矩阵等; 考试重点: 同济: 题型: 考试时间: 试题难度: 填空题 8 题左右,分数大约 40 分,解答题约 5 题,每题大约 12 分; 90 分钟, 满分 100 分; 基本上相当于高考; 侧重于函数和方程问题 、不等式、数列及排列组合等

考试知识点分布:常规高考内容

二、

试题特点分析:

1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

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关键步骤提示:

f ? a ? ? ? x 4 ? 3x 2 ? 4 ? a ? ? x 4 ? x3 ? 2 x 2 ? ? ( x ? 2)( x ? 2)( x 2 ? 1) a ? x 2 ( x ? 2)( x ? 1)

2. 注重数学知识和其它科目的整合,考查学生应用知识解决问题的能力。

关键步骤提示: d (u, w) ? ? ai , d (v, w) ? ? bi , d (u , v) ? ? ai ? bi
i ?1 i ?1 i ?1 n n n

由绝对值不等式性质, ai ? bi ? ai ? bi

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三、

应试和准备策略

1. 注意知识点的全面 数学题目被猜中的可能性很小,一般知识点都是靠平时积累,因此,要求学生平时要 把基础知识打扎实。剩下的就是个人的现场发挥。 2. 注意适当补充一点超纲内容 如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题,如矩阵,行列式等 也不可忽视。 3. 适当做近几年的自主招生的真题 俗话说,知己知彼,百战百胜。同学们可适当地训练近几年自己所考的高校自主招生 的试题,熟悉一下题型和套路还是有益的。 4. 注重知识的延伸加深 复旦,交大,清华等全国重点院校自主招生试题比高考试题稍难,比数学竞赛试题又 稍简单。有些问题稍有一定的深度,这就要求考生平时注意知识点的延伸加深。 例如 2008 年复旦自主招生的第 88 题:

关键步骤提示:上式= x1

x3 x1

x1 x2

? x2

x2 x3

x1 x2

? x3

x2 x3

x3 x1

3 3 ? 3 x1 x2 x3 ? ( x13 ? x2 ? x2 )

设ax 3 ? bx 2 ? cx ? d ? 0的3个根为x1 , x2 , x3 ,

b ? ? x1 ? x2 ? x3 ? ? a ? c ? 则有 ? x1 x2 ? x1 x3 ? x2 x3 ? a ? d ? ? x1 x2 x3 ? ? a ? a 3 ? b3 ? c3 ? 3abc ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc)
此题若是知道三次方程的韦达定理,则容易解决。但平时同学们对二次方程的韦达定 理很熟悉,对三次方程的韦达定理则比较陌生。

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又比如,柯西不等式可以解决许多不等式问题,但由于目前上海高考不考,所以很多 高中生对此此不等式并不十分熟悉。但柯西不等式其实应用得非常广泛,我们将在不等式 一讲中将会介绍它。 总之,同学们若是注意一些知识点的延伸和加深,考试时必定会有一种居高临下的感 觉。

第二部分:集合与命题 一、 知识补充:

A? B ?C ? A ? B ? C ?? A? B ? A?C ? B ?C ?? A? B ?C

二、

真题精析:

关键步骤提示:

(a ? 2)(a ? 2) ? 3a (a ? 2) ? 0 1 4(a ? 2)(a ? ) ? 0 2

关键步骤提示:

? X ? X ? Y , 而X ? Y ? X ? X ?Y ? X ? X ? Y

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关键步骤提示:

1 ? Sin? ? Sin 2

?
2

? Cos 2

?

? 2 Sin Cos 2 2 2

?

?

关键步骤提示:
? S1? C1 ? S1 若C1 ? S2,则很明显; ? R, ? 必存在C1 ? R, 同理, S2 ? C2 ? S2, 若C2 ? S1 则很明显; ? R, 必存在C2 ? R, 否则,令C ? C1 ? C2 , 即可( )

想一想,除了令C ? C1 ? C2 , 还可以怎样令?

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三、

仿真训练

仿真训练一 某校六(1)班有学生 54 人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中参加足球队的有 25 人,参加排球队的有 22 人,参加游泳队的有 34 人,足球、排球都参加的有 12 人,足球、 游泳都参加的有 18 人,排球、游泳都参加的有 14 人,问:三项都参加的有多少人?

仿真训练二 已知集合M ? ? x 1 ? x ? 10, x ? N ?.对它的非空子集A,
k , 再求和(如A ? ?1,3, 6? , 将A中每个元素K 都乘以( ? 1 ) 3 6 ?1 ? ?3 ? ? 6 ? 2)称为 可求得和为( ? 1 ) (?1 ) (?1 )

集合A的特殊和。求集合M 的所有非空子集特殊和的总和。

关键步骤提示:

分析:本题所求的“特殊和”有如下特点: 奇数元素前面添上负号,偶数元素前面添上正号,再代数求和。
A 例如:对于A ? ?1,3, 6?, 则CU ? ?2, 4,5, 7,8,9,10? A 考虑CU 的“特殊和”为2 ? 4 ? 5 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 A A与CU 的“特殊和”的和

( 10 ? 8 ? 6 ? 4 ? 2) ? ( 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9) ?5 同理,对其它非空集合也有这样特点,将它 们两两配对(空集与本身集合除外),值为 210 ? 2 ?5 ? (29 ? 1) ?5 2

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第二讲:不等式
授课教师: 范端喜 ————————————————————————————————————————————

第一部分 概述 不等式部分包括:解不等式;不等式的证明 在复旦大学近三年自主招生试题中,不等式题目占 12%,其中绝大多数涉及到不等式 的证明; 交大试题中,不等式部分通常占 10%-15%,其中涉及到一些考纲之外的特殊不等式 常用不等式及其推广:

?a, b ? R ? , 有 a 2 ? b2 a?b 2 (平方平均) ? (算术平均) ? ab (几何平均) ? (调和平均) 1 1 2 2 ? a b 推广到n个正实数,有
2 2 ? ? ? an a12 ? a2 a ? a ? ? ? an n n ? 1 2 ? a1a2 ? an ? 1 1 1 n n ? ?? a1 a2 an

需要适当补充一点超纲知识 柯西不等式 均值不等式及其推广

第二部分 知识补充: 1、 柯西不等式

设a1 , a2 , a3 ,? , an , b1 , b2 , b3 ,? , bn是实数,则
2 2 2 2 (a12 ? a2 ? ? ? an )(b12 ? b2 ? ? bn ) ≥ (a1b1 ? a2 b2 ? ? an bb )2 当且仅当bi ? 0(i ? 1, 2,? , n)或存在一个数

k , 使得ai ? kbi (i ? 1, 2,? , n)时, 等号成立? 柯西不等式的证明
2 2 2 2 (a12 ? a2 ? ? ? an )(b12 ? b2 ? ? bn ) ≥ (a1b1 ? a2 b2 ? ? an bb )2 ②

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2 2 2 设 A ? a1 ? a2 ? ? ? an ,

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分析:

B ? a1b1 ? a 2 b2 ? ? a n bn

2 2 C ? b12 ? b2 ? ? ? bn ,

不等式 ②就是 AC ≥ B 2

证明: 若ai ? i ? 1, 2,? n ? 全部为零,则原不等式显然成立。 若ai不全部为零,构造二次函数
2 2 f ( x) ? (a12 ? a2 ? ? ? an ) x 2 ? 2(a1b1 ? a 2 b2 ? ? anbn ) x

? (b12 ? b22 ? ? bn2 ) 又f ( x ) ? (a1 x ? b1 ) 2 ? (a 2 x ? b2 ) 2 ? ? ? (a n x ? bn ) 2 ? 0
∴二次函数 f ? x ? 的判别式 △≤ 0 ,
2 2 2 2 2 即 4(a1b1 ? a2b2 ??anbn )2 ? 4(a1 ? a2 ??an ) ? (b12 ? b2 ??? bn ) ≤0

柯西不等式的推论一
例 1 已知 a1 , a2 ,? , an 都是实数,求证:
1 2 2 ? ? ? an (a1 ? a2 ? ? ? an )2 ≤ a12 ? a2 n

证明: 2 2 (12 ? 12 ? ? ? 12 )(a12 ? a2 ? ? ? an )

≥ (1 ? a1 ? 1 ? a2 ? ? ? 1 ? an )2
2 2 2 ? n(a1 ? a2 ? ? ? an ) ≥ (a1 ? a2 ? ? ? an )2

1 2 2 2 ? (a1 ? a2 ? ? ? an )2 ≤ a1 ? a2 ? ? ? an n

柯西不等式的推论二
? n ?? n 1 ? 设ai ? R ? , 则 ? ? ai ? ? ? ? ? n 2 ? i ?1 ? ? i ?1 ai ?

柯西不等式的应用

例 2 已知 a , b, c , d 是不全相等的正数,证明:
a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da

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证明: (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 )(b 2 ? c 2 ? d 2 ? a 2 )
≥ (ab ? bc ? cd ? da )2
a b c d ? ? ? 不 b c d a 成立.∴ (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 )2 ? (ab ? bc ? cd ? da )2 即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da

∵ a , b, c , d 是不全相等的正数, ?

例3 已知x ? 2 y ? 3 z ? 1, 求x 2 ? y 2 ? z 2的最小值.
证明 : ( x 2 ? y 2 ? z 2 )(12 ? 2 2 ? 3 2 ) ? ( x ? 2 y ? 3 z ) 2 ? 1 ? x2 ? y2 ? z2 ? 当且仅当 1 14

x y z 1 1 3 ? ? 即x ? , y ? , z ? 时 1 2 3 14 7 14 1 x 2 ? y 2 ? z 2取最小值 14

柯西不等式练习 1、 设 a , b ? R ? , a ? b ? 1, 求证
2 2

1 1 ? ?4 a b

2.已知 x ? 2 y ? 1 ,求 x ? y 的最小值. 3.设 x , y ? R ,且 x+2y=36,求
?

1 2 ? 的最小值. x y

第三部分 真题精析:

令 sin x ? cos x ? y,

y 2 ? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x t 2 ?1 ? , 且t ? ? ?1, 2 ? 2

令 sin x ? cos x ? t , 则 sin x cos x ?
y2 ? t ? 2

t 2 ?1 , 显然,y关于t是单调递增的 2

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(2004,复旦)

(2004,同济)

关键步骤提示:
2( k ? 1 ? k ) ? 2 1 2 2 ? ? ? ? 2( k ? k ? 1) k ?1 ? k k 2 k k ? k ?1

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第三讲:不等式(2)
授课教师: 范端喜 ————————————————————————————————————————————

关键步骤提示:

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第四讲:不等式(3)
授课教师: 范端喜 ————————————————————————————————————————————

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(2007 复旦)

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2008,北大

关键步骤提示:

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关键步骤提示:

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第五讲:函数
授课教师:范端喜

第一部分 概述
函数是自主招生的一个非常重要内容! ? 就近几年来, 本人作了一个统计, 复旦和交大自主招生中有关函数的内容大约占 20% —30%。 ? 其中,热点问题是:方程的根的问题、函数的最值问题( 值域) 、函数的性质(如周期、有界性等) 、函数的迭代、 简单的函数方程、方程的不动点问题、 函数的图像及解析式等。而其中特别提醒同学 们注意的是,方程的根的问题是考得最多的一个问题。

第二部分:知识补充:
函数零点的定义: 对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点。 结论: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0,那么,函 数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根。 函数 y=f(x)零点的判断方法: 1、方程法:解方程 f(x)=0,得函数 y=f(x)的零点。 2、图象法:画出函数 y=f(x)的图象,其图象与 x 轴交点的横坐标就是 y=f(x)的零点。 3、定理法:函数在区间[a,b]上图象是一条连续不断的曲线,并且有 f(a) ·f(b)<0。

例 1: 若函数 f(x)=x2+(k-2)x+2k-1 的两个零点中,一个在 0 和 1 之间,另一个

在 1 和 2 之间,求 k 的取值范围。
三次方程的韦达定理

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第三部分:真题精析 1、方程根的问题

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第六讲:函数(2)
授课教师:范端喜

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第七讲:函数(3)
授课教师:范端喜

2.其它问题

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第八讲:数列
授课教师:范端喜

一.概述
数列是自主招生必考的一个重要内容之一,在自主招生中占有一席之地! 在自主招生中,数列考得较多的知识点有:极限、数学归纳法、递推数列、等差等比数列、及数列的应用 等

二.知识点补充

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数学归纳法的其它形式:第二数学归纳法

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三.真题精析

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第九讲

数列(2)

主讲老师:范端喜

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第十讲

数列(3)

主讲老师:范端喜

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第十一讲:数列(3) 、矩阵、行列式、 排列组合,二项式定理,概率统计

矩阵、行列式

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一、概述
就近几年自主招生来看,只有复旦有这方面的题目。而且,复旦近三年都考。请准备考复旦的同 学注意! 复旦自主招生考试,有关矩阵、行列式题目并不难。重点是矩阵的运算、行列式在方程组中的运 用及行列式的计算。

二、真题精析

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排列组合、二项式定理、及概率统计
一、 概述
排列组合、二项式定理、及概率统计也是自主招生很受重视的内容之一。在近几年复 旦自主招生中一般有 4—5 道左右的试题,占 10%比例。难度一般不大,大多数是比较常 规的问题。

二、真题精析

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第十二讲: 排列组合,二项式定理,概率统计(续)复数
主讲老师:范端喜

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复数
一 概述
复数在自主招生中所占的比例比高考试卷略高,难度也稍大一点。但也只是相对而言。 自主招生重点主要有:复数的代数运算、方程问题、复数与轨迹、单位根等。

二、真题精讲

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第十三讲:复数
主讲老师:范端喜

一 概述
复数在自主招生中所占的比例比高考试卷略高,难度也稍大一点。但也只是相对而言。 自主招生重点主要有:复数的代数运算、方程问题、复数与轨迹、单位根等。

二、真题精讲

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第十四讲:三角
授课教师:范端喜

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