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高中数学(人教版选修4-5)配套课件第一讲 1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式


第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不 等 式 1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 1.会用三项的平均值不等式证明一些简单问题. 2.能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的 最值,从而学会解决简单的应用问题. www.gzjxw.net 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 1.三个正数的算术—几何平均不等式. a1+a2+a3 + (1)如果 a1,a2,a3∈R ,则 叫做这 3 个正数的算 3 术平均数, a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数 ________. (2)三个正数基本不等式: 3 a1+a2+a3 3 ≥ a1a2a3.当且仅当 a1 3 =a2=a3 时,等号成立. 算术 平 均 数 不 小 于 它 们 的 语 言 表 述 : 三 个 正 数 的 ________ 几何 平均数. ________ www.gzjxw.net 思考 1 3 若已知 a1=3,a2=9,a3=27,则 a1+a2+a3 3 13 , =________ 9 a1a2a3=________. 则有: a1+a2+a3 3 2.n 个正数的算术—几何平均不等式. 3 > ________ a1a2a3. a1+a2+?+an (1)如果 a1,a2,?,an∈R ,n>1 且 n∈N ,则 叫 n + * 几何平均数 做这 n 个正数的算术平均数, a1a2?an叫做这 n 个正数的________ . n www.gzjxw.net a1+a2+?+an n (2)基本不等式: ≥ a1a2?an(n∈N*, ai∈R n + ,1≤i≤n).当且仅当 a1=a2=?=an 时等号成立. 算术 平均数不小于它们的 语言表述: n 个正数的 ________ 几何 平均数. ________ x x x 27 ≥ 思考 2 若 x>0,则 + + + 3 ______4. 3 3 3 x www.gzjxw.net 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 题型一 利用定理3证明不等式 例1 1 1 1 设 a,b,c∈R+,求证:(a+b+c)( + + )≥9. a b c 分析:观察式子的结构,通过变形转化来证明. 证明: :∵a,b,c∈R+, ∴a+b+c≥3 abc, + + ≥3 3 1 1 1 3 a b c abc -1 ,两不等式相乘, 1 1 1 3 3 有:(a+b+c)( + + )≥3 abc×3 a b c abc -1 =9. 1 1 1 ∴(a+b+c)( + + )≥9. a b c 当且仅当 a=b=c=0 时,等号成立. 点评:不等式的证明方法比较多.关键是从式子的 结构入手进行分析.多联想定理3的形式以便用好它. www.gzjxw.net 变 式 训 练 1 1 1 1.已知 a,b,c∈R ,a+b+c=1,求证: + + ≥9. + a b c 3 3 证明: ∵a, b, c∈R+, a+b+c≥3 abc.又 a+b+c=1, ∴ abc 1 1 ≤ ,∴ ≥3, 3 3 abc 3 1 1 1 1 ∴a+b+c ≥3 abc≥9. 即原不等式成立. www.gzjxw.net 题型二 例2 利用定理3求函数的最值 已知 x∈R+,求函数 y=x(1-x2)的最大值. 分析: 为使数的“和”为定

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