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广东省汕头金山中学2016届高三上学期期中考试数学文试卷


2015-2016 年度第一学期

高三文科数学期中考试卷
第 I 卷(选择题 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的.
1.已知集合 A={x|x2-4x+3<0},B={x|y=ln(x-2)},则(?RB)∩A=( A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2} )

2.已知 i 是虚数单位,则复数 A.1 B.2

1 ? 3i 的模为 1? i
C. 5 D.5

3.下列函数中,在定义域上既是减函数又是奇函数的是 A. y ? lg x

?1? B. y ? ? ? ? 2?

x

C.

y? x| x|

D. y ? ? x 3

4. 一元二次方程 x 2 ? 2 x ? m ? 0 有实数解的一个必要不充分条件为 A. m ? 1 B .m ?1 C. m ? 1 D. m ? 2 A N P B C

5. 如右下图,在 ? ABC 中, AN ?

1 NC ,P 是 BN 上的一点,若 2

2 AP ? m AB ? AC ,则实数 m 的值为 9

A.3

B. 1

C.

1 3

D.

1 9

6. 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A, ?, ? 为常数,

A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示,则 f (0) =
A. 2 B.

2 2

C. 0

D. ?

2

7.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? ?9, a2 ? a3 ? ?12 ,则使 S n 取得最小值时 n 的值为 A. 2 B. 4 C. 5
ABC

D. 7

y A(2,3)

C(3,4)

8. 巳知点 ( x, y ) 在Δ 若 B(3,

所包围的阴影区域内( 包含边界) ,

5 )是使得 z ? ax ? y 取得最大值的最优解, 则 2
-1-

B(3,2.5)

O

x

实数 a 的取值范围为
A. a ? ?

1 2

B. a ? 0

C. a ? ?

1 2

D. ?

1 ?a?0 2

9. 定义 min?a1 , a2 ,? ? ?, an ?是 a1 , a2 ,? ? ?, an 中的最小值,执行程序框图(如下图) ,则输出的结果是

A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

2 3

2 3
4

2 3 2 3

主视图

俯视图

(第 10 题图) (第 9 题图)

10.已知正三棱锥 P - A B C 的主视图和俯视图如上图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为
A. 4? B. 12? C.

16? 3

D.

64? 3

11.设 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,点 P 在双曲线右支上,且 PF2 ? F1 F2 , F2 到直 a2 b2

线 PF 1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为 A.

5 4

B.

5 3

C.

4 3

D.

1? 7 3
= - 5 ,已知 f ( x ) = x - [ x ] ( x ∈ R ) , g ( x ) = l o g 4 ( x - 1 ) , 则函

12. [x]表示不超过 x 的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]

数 h ( x ) = f ( x ) - g ( x ) 的零点个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第 II 卷(非选择题共 90 分)
-2-

本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题?第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题?第: 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 等比数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ,已知对任意的 n ? N ,点 (n , Sn ) 均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且
?

b ? 1, b, r 均为常数)的图像上,则 r 的值是
14. 已知点 P( x, y) 在直线 x ? 2 y ? 3 上移动,当 2 x ? 4 y 取得最小值时,过点 P 引圆

1 1 1 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 的切线,则此切线段的长度为_______ 2 4 2
15、天气预报说,在今后的三天中每一天下雨的概率均为 40%,用随机模拟的方法进行 试验,由 1、 2、 3、 4 表示下雨,由 5、 6、 7、 8、 9、 0 表示不下雨,利用计算器中的随机函数产生 0?9 之间 随机整数的 20 组如下: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为________ 16. 已知函数 f ( x) ? e x (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数 x0 ,使得

f ( x0 ) ? 0 ,则 a 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已知

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? . cos B b

sin C 的值; sin A 1 (Ⅱ)若 cos B ? , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S . 4
(Ⅰ)求 18. (本小题满分 12 分) 四棱锥 A-BCDE 的正视图和俯视图如下,其中正视图 是等边三角形,俯视图是直角梯形. (I) 若 F 为 AC 的中点,当点 M 在棱 AD 上移动, 是否总有 BF 丄 CM,请说明理由. (II)求三棱锥 C ? ADE 的高.

A F
-3-

M D C

E B

19. (本小题满分 12 分) 有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙, 已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且通 过这两条公路所用的时间互不影响. 据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的 200 辆汽车所用时间的频数分布如下表:

所用的时间(天数) 通过公路 1 的频数 (I)为进行某 用时间为 12 车中随机抽取 6 辆. 通过公路 2 的频数

10 20 10

11 40 40

12 20 40

13 20 10 项研究,从所 天的 60 辆汽

(i) 若用分层抽样的方法抽取,求从通过公路 1 和公路 2 的汽车中各抽取几辆; (ii)若从(i)的条件下抽取的 6 辆汽车中,再任意抽取两辆汽车,求这两辆汽车至少有一辆通过公路 1 的 概率. (II)假设汽车 A 只能在约定日期(某月某日)的前 11 天出发,汽车 B 只能在约定日期的前 12 天出发.为了 尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙,估计汽车 A 和汽车 B 应如何选择各自的道路.

20. (本小题满分 12 分) 如图,椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点是 F (1,0) ,O 为坐标原点。 a2 b2

y
l A O B F

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形, 求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点。若直线 l 绕点 F 任意转动,恒有 | OA |2 ? | OB |2 ?| AB |2 ,求 a 的取值范围。

x

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

2e x ( e 为自然对数的底数). 1 ? ax2

(I )若函数 f ( x) 有极值,求实数 a 的取值范围;

(II)若 a ? 1, m ? 4 ( ln 2 ? 1) ,求证:当 x ? 0 时, f ( x) ?
-4-

2x 2 ? m x ? 2 1? x2

请考生在第

22-24 三 题 中 任 选 一 题 做 答 , 如 果 多 做 , 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 .

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 已知Δ ABC 中 AB ? AC , D 为Δ ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A, C 重合),延长 BD 至 E ,延 长 AD 交 BC 的延长线于 F . (I )求证: ?CDF ? ?EDF ;
( I I )求证: AB ?

AC ? DF ? AD ? FC ? FB

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,取原点为极点, x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? ,

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 直线 C 2 的参数方程为: ? ( t 为参数) 2 ?y ? 3 ? t ? 2 ?
(I )求曲线 C1 的直角坐标方程,曲线 C 2 的普通方程. (II)先将曲线 C1 上所有的点向左平移 1 个单位长度,再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍得到 曲线 C3 , P 为曲线 C3 上一动点,求点 P 到直线 C 2 距离的最小值, 并求出相应的 P 点的坐标.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 解不等式:

1 1 ? x ?x x
2

-5-

高三数学期中考试(文科答案)
一、选择题:

CCDDC
二、填空题: 13.-1

ACACD

BB

14.

6 2

15. 0.25

16. ?

?3 ? ,1? ? 2e ?

三、解答题 17. (本小题满分 12 分)

a b c ? ? ? k, 解: (I)由正弦定理,设 sin A sin B sin C 2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A ? ? , k sin B sin B 则 b ……………………..2 分 cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? . cos B sin B 所以

……………………………3 分

即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ). ………………………………..5 分 又 A? B ?C ?? , 所以 sin C ? 2sin A

sin C ? 2. 因此 sin A …………………………………………..6 分 sin C ?2 (II)由 sin A 得 c ? 2 a.
由余弦定理

………………………………7 分

1 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B及 cos B ? , b ? 2, 4 1 得4=a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ? . 4
解得 a=1……………………………………………9 分 因此 c=2 ………………………….10 分

1 cos B ? , 且G ? B ? ? . 4 又因为
-6-

sin B ?
所以

15 . 4 ………………………………………..11 分

S?
因此

1 1 15 15 ac sin B ? ?1? 2 ? ? . 2 2 4 4 ………………………..12 分

18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)总有 BF ? CM 理由如下: 取 BC 的中点 O ,连接 AO , 由俯视图可知, AO ? 面BCDE , CD ? 面BCDE , 所以 AO ? CD ……………………2 分 又 CD ? BC ,所以 CD ? 面 ABC , 故 CD ? BF . 因为 F 是 AC 的中点,所以 BF ? AC .…………………4 分 又 AC ? CD ? D 故 BF ? 面 ACD , CM ? 面 ACD ,所以 BF ? CM . ……………………6 分 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 可 知 , AO

A M F E B O C D

? 面BCDE ,

S ?CDE ?

1 ? CD ? BC ? 2 , 2

又在正 ? ABC 中, AO ? 3 ,

所以

1 1 2 3 , ……………………8 分 V?A?CDE ? S?CDE ? AO ? ? 2 ? 3 ? 3 3 3

在 Rt ?ABE 中, AE ? 5 , 在直角梯形 BCDE 中, DE ? 5 , 在 Rt ?ACD 中, AD ? 2 2 , 在 ?ADE 中,可求 S ?ADE ?

1 1 ?1 ? ? AD ? DE 2 ? ? AD ? ? ? 2 2 ? 3 ? 6 , ……10 分 2 2 ?2 ?

2

设三棱锥 C ? ADE 的高为 h , 则 V?C ? ADE ?

1 6 ? 6 ?h ? h, 3 3

又 V?A?CDE ? V?C ? ADE ,

可得

6 2 3 h? ,解得 h ? 2 . 3 3
……………………12 分
-7-

所以,三棱锥 C ? ADE 的高为 2 .

19.解: (Ⅰ) (i)公路 1 抽取 6 ? 公路 2 抽取 6 ?

20 ? 2 辆汽车, 20 ? 40

40 ? 4 辆汽车.……………………2 分 20 ? 40

(ii) 通过公路 1 的两辆汽车分别用 A 1 , A2 表示,通过公路 2 的 4 辆汽车分别用 B 1 , B2 , B3 , B4 表示, 任意抽取 2 辆汽车共有 15 种可能的结果:

( A1, A2 ) , ( A1 , B1 ) ,( A1, B2 ) , ( A1, B3 ) ,( A1, B4 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) ,( A2 , B3 ) , ( A2 , B4 ) ,( B1, B2 ) , ( B1, B3 ) , ( B4 , B1 ) , ( B2 , B3 ) , ( B2 , B4 ) , ( B3 , B4 ) ,………………4 分
其中至少有 1 辆经过公路 1 的有 9 种, 所以至少有 1 辆经过 1 号公路的概率 (Ⅱ)频率分布表,如下: 所用时间 公路 1 的频率 公路 2 的频率 10 0.2 0.1 11 0.4 0.4 12 0.2 0.4 13 0.2 0.1 ………………………………8 分 设 C1 , C2 分别表示汽车 A 在前 11 天出发选择公路 1、2 将货物运往城市乙;D1 , D2 分别表示汽车 B 在前 12 天出发选择公路 1、2 将货物运往城市乙.

3 .…………………6 分 5

P(C1 ) ? 0.2 ? 0.4 ? 0.6


,

P(C2 ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.5

.

汽车 A 应选择公路 1. …………………………10 分

P( D1 ) ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.8 ,


P( D2 ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.9 ,

汽车 B 应选择公路 2.…………………………12 分

20. 解:(Ⅰ)设 M,N 为短轴的两个三等分点,因为△MNF 为正三角形, 所以 OF ? 解得 b ?

3 3 2b MN , 即 1 ? ? 2 2 3

3 , a2 ? b2 ? 1 ? 4
x2 y2 ? ? 1 ……………………..4 分 4 3

因此,椭圆方程为 (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时,

OA ? OB ? 2a 2 , AB ? 4a 2 (a 2 ? 1), 因此,恒有 OA ? OB ? AB .
2 2 2

2

2

2

-8-

…………………….5 分 (ⅱ)当直线 AB 不与 x 轴重合时, 设直线 AB 的方程为: x ? m y ? 1 ,代入
2 2 2 2 2 2

x2 y2 ? ?1 a2 b2

整理得 (a ? b m ) y ? 2b my ? b ? a b ? 0,
2 2

所以

y1 ? y2 ?

2b2 m b 2 ? a 2b 2 , y y ? 1 2 a 2 ? b 2 m2 a 2 ? b 2 m2
2 2 2

………………………….7 分

因为恒有

OA ? OB ? AB

,所以 ? AOB 恒为钝角.

即 OA? OB ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 恒成立.

x1x2 ? y1 y2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1

(m 2 ? 1)(b 2 ? a 2b 2 ) 2b 2 m 2 ? ?1 a 2 ? b2 m2 a 2 ? b2 m2 ? m 2 a 2b 2 ? b 2 ? a 2b 2 ? a 2 ? ? 0. a 2 ? b2 m2 ?
又 a ? b m ? 0 ,所以 ?m a b ? b ? a b ? a ? 0 对 m ? R 恒成立,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

即 a b m ? a ? a b ? b 对 m ? R 恒成立. ………………………………..9 分
2 2 2 2 2 2 2

当 m ? R 时, a b m 最小值为 0,所以 a ? a b ? b ? 0 .
2 2 2 2 2 2 2

a 2 ? a 2b 2 ? b 2 , a 2 ? ? a 2 ? 1? b 2 ? b 4 , ………………………………….10 分
因为 a>0,b>0,所以 a ? b ,即 a ? a ? 1 ? 0 ,
2
2

1? 5 1? 5 1? 5 解得 a> 2 或 a< 2 (舍去),即 a> 2 , 1? 5 综合(i)(ii),a 的取值范围为( 2 ,+ ? )……………………………..12 分
2e x 2e x (1 ? ax 2 ? 2ax) / ,可得 ,…………….2 分 f ( x ) ? 1 ? ax 2 (1 ? ax 2 )2

21.解:(Ⅰ) 由 f ( x) ?

依题意,需方程 1 ? ax ? 2ax ? 0 在 x ? R 上有两个不等实根,
2

-9-

则: ?

?a ? 0
2 ?? ? 4a ? 4a ? 0

,…………………4 分

解得: a ? 1, 或a ? 0 . (Ⅱ)若 a ? 1 , f ( x) ?

……………………5 分

2e x 1 ? x2

,

∴ f ( x) ?

2 x 2 ? mx ? 2 2e x ? 2 x 2 ? mx ? 2 ? , 1 ? x2 1 ? x2

设 h( x) ? 2e x ? 2 x2 ? mx ? 2 ,

h/ ( x) ? 2ex ? 4x ? m ? g ( x) , g / ( x) ? 2ex ? 4 ,
令 g / ( x) ? 0 , 得 x ? ln 2 . 当 x ? (??,ln 2) 时, 当 x ? (ln 2, ??) 时, ………………………7 分

g / ( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; g / ( x) ? 0 , g ( x) 单调递增;
,

∴ g ( x)min ? g (ln 2) ? 4 ? 4ln 2 ? m ∴ h/ ( x) ? 4 ? 4ln 2 ? m

,…………………9 分

∵ m ? 4(ln 2 ? 1) ,∴ h/ ( x) ? 4 ? 4ln 2 ? m ? 0 , ∴ h( x) 在 (0,??) 上单调递增, ∴ h( x ) ? 0 , ∵1 ? x ? 0 , ∴
2

∵ h(0) ? 0 , ……………………………11 分

2e x ? 2 x 2 ? mx ? 2 ?0 1 ? x2



∴ f ( x) ?

2 x 2 ? mx ? 2 2e x ? 2 x 2 ? mx ? 2 ? ? 0, 1 ? x2 1 ? x2
. ……………………12 分

2 x 2 ? mx ? 2 即 f ( x) ? 1 ? x2

- 10 -

请考生在第 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分) (Ⅰ)证明:? A 、 B 、 C 、 D 四点共圆 ? ?CDF ? ?ABC .………………2 分

? AB ? AC ??ABC ? ?ACB 且 ?ADB ? ?ACB , ?EDF ? ?ADB ? ?ACB ? ABC ,……………4 分 ? ?CDF ? ?EDF .………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ?ADB ? ?ABF ,又? ?BAD ? ?FAB , 所以 ?BAD 与 ?FAB 相似, AB AD ? ? ? AB 2 ? AD ? AF ,…………7 分 AF AB 又? AB ? AC , ? AB ? AC ? AD ? AF , ? AB ? AC ? DF ? AD ? AF ? DF 根据割线定理得 DF ? AF ? FC ? FB ,……………9 分 AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB .……………10 分
23. (本小题满分 10 分) (Ⅰ) ? 2 ? 2? cos? ,

x2 ? y 2 ? 2 x ,

曲线 C1 的直角方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 .………………2 分 曲线 C2 的普通方程为 (Ⅱ)曲线 C3 的方程为

x ? y +4=0 .…………………4 分

x2 ? y 2 ? 1 ,……………………6 分 3
点 P 到直线的距离为

设点 P ( 3 cos? ,sin ? ),

d?

3 cos ? ? sin ? ? 4 2

? 2 cos(? ? ) ? 4 6 = ,………………8 分 2

? = ? 时, d 取得最小值 2 , 6 5? 3 1 此时 ? ? , 所以 P 点坐标为 ( ? , ) .……………………10 分 6 2 2
由三角函数的性质知,当 ? ? 24. (本小题满分 10 分) 解:当 x ? x <0,即 0<x<1 时,不等式成立;……………3 分
2

2 当 x ? x >0,即 x ? 1或x<0 时, x ? x ? x .………………5 分
2

? x ? x2 ? x ? x2 ? x ,……………7 分
解得 x ? 2或x ? 0 , 所以 x ? 0或x ? 2 .……………………8 分
- 11 -

? 原不等式的解集为 (??,0) ? (0,1) ? [2, ??) ………………10 分

- 12 -


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